3.2 一次函数和二次函数（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

3．2　一次函数和二次函数 3．2.1　一次函数模型 3．2.2　二次函数模型 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 [学习目标] 1．理解一次函数、正比例函数、二次函数的定义； 2．理解并掌握一次函数和二次函数的图象及性质； 3．学会用数学语言表达函数的定义域、值域、单调性和奇偶性； 4．会运用一次函数和二次函数的图象和性质解决数学问题． 同学们，我们在初中时学过一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数，我们在本章节又重点学习函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等，那你会用我们刚学的知识去解释这三种函数吗？ 接下来，让我们一起来探究吧！ [知识点一]　一次函数　 1．定义：一般地，以x为自变量的函数y＝kx＋b(k≠0，x∈R)，称为一元一次函数，简称一次函数． 2．正比例函数定义：在一次函数表达式y＝kx＋b(k≠0，x∈R)中，令b＝0，则函数 y＝kx, 称为正比例函数． 3．正比例函数的图象和性质 函数y＝kx的图象是一条过原点的直线，显然函数y＝kx是奇函数． 4．一次函数及其图象 (1)y＝kx＋b的图象是由y＝kx的图象沿y轴方向平移|b|个单位得到． (2)对于一次函数y＝kx＋b(k≠0，x∈R)，当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－eq \f(b,k).所以一次函数的图象是通过点(0，b)和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0))的一条直线． 5．一次函数的性质 (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域和值域均为R. (2)一次函数函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比． (3)当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数． 1.函数y＝kx＋b(k≠0)是奇函数吗？ 提示：不是，当b＝0时是奇函数，当b≠0时，即不是奇函数也不是偶函数． [知识点二]　二次函数　 1．二次函数的定义 一般地，以x为自变量的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，称为一元二次函数，简称二次函数． 2．(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条顶点为原点的抛物线，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，这个函数为偶函数，y轴为它的图象的对称轴． (2)函数y＝ax2中的a对函数图形的影响：|a|越小，开口越大，|a|越大，开口越小． 3．二次函数的性质 (1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(－h，k)，抛物线的对称轴是直线x＝－h； (2)当a＞0时，函数在x＝－h处取最小值k；在区间(－∞，－h]上是减函数，在[－h，＋∞)上是增函数； (3)当a＜0时，函数在x＝－h处取最大值k；在区间(－∞，－h]上是增函数，在[－h，＋∞)上是减函数． “配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键． 4．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)求满足y＝0时x的值，等价于求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)求满足y＜0时x的取值范围，等价于求一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集； 求满足y＞0时的取值范围，等价于求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集． 2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集有何关系？ 提示：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集的端点值． 1．y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　) A．k＞eq \f(1,2)　　　　　 B．k＞－eq \f(1,2) C．k＜eq \f(1,2) D．k＜－eq \f(1,2) 解析：C　[因为y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数， 所以2k－1＜0，所以k＜eq \f(1,2).] 2．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B．[－1，＋∞] C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) D．(－∞，＋∞) 解析：C　[y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，其对称轴为x＝－eq \f(1,2)，在对称轴左侧单调递减，所以当x≤－eq \f(1,2)时单调递减．] 3．如果二次函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1)上是减函数，在区间(－1，＋∞)上是增函数，则m＝(　　) A．2　　B．－2　　　C．10　　　D．－10 解析：C　[由题意知，二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴为x＝－1，所以x＝－eq \f(m,10)＝－1，即m＝10.] 4．设函数f(x)＝－x＋k－2是R上的奇函数，则实数k＝　______　. 解析：当k－2＝0，即k＝2时，f(x)＝－x是奇函数． 答案：2 　一次函数的图象和性质 　已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. (1)若函数图象经过一，二，三象限，求m的取值范围值； (2)若函数是奇函数，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． [解]　(1)若函数图象经过一，二，三象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＋1＞0,m－3＞0))，解得m>3， 所以m的取值范围为(3，＋∞)． (2)当m－3＝0, 即m＝3时，y＝7x是奇函数． (3)由于函数为一次函数，且y随着x的增大而减小，故2m＋1＜0，解得m＜－eq \f(1,2).故m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). 一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象是一条直线，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数，当b＝0时 y＝kx是奇函数，当b≠0时y＝kx＋b(k≠0)是非奇非偶函数． [变式训练] 1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则直线y＝bx＋k不经过(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，结合图象是直线，则直线y＝bx＋k不经过第二象限，故选B.] 2．若函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为　________　. 解析：由于函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k2－3k＋2＜0，解得1＜k＜2.因此，实数k的取值范围是(1,2)． 答案：(1, 2) 　二次函数的图象和性质 　已知函数f(x)＝x2－2x，x∈R. (1)画出函数f(x)的简图(不用列表)； (2)根据函数f(x)图象写出函数的定义域、值域、单调区间． [解]　(1) f(x)＝x2－2x，x∈R，图象如下： (2)由(1)图象可知， 函数的定义域为R；值域为[－1，＋∞); 单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为(1，＋∞)． 　已知函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2(a＞0)． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)因为f(x)的对称轴为x＝－eq \f(－3a－1,2a)＝eq \f(3a－1,2a)，且a＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,2a)，＋∞)). (2)由(1)可得函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,2a)，＋∞)). 所以[1，＋∞)⊆eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,2a)，＋∞))，即eq \f(3a－1,2a)≤1， 解得0＜a≤1.所以a的取值范围为(0,1]． 1．作二次函数图象可用描点法，也可通过对称轴，顶点及开口方向画出草图解决问题． 2．探究二次函数的单调性，要探究对称轴的位置，及开口方向． 3．二次函数ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数． [变式训练] 3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6 解析：A　[把点(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0,4＋2b＋c＝5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝－3))， 所以这个二次函数的解析式为：y＝x2＋2x－3.] 4．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是　________　. 解析：函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，所以m－1＝0，即m＝1，所以f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 　一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，交x轴于B，A(－1,0)两点，交y轴于点C(0,3)根据图象解答下列问题． (1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＜3的解集． [解]　A(－1,0)，对称轴为直线x＝1，则点B(3,0)，故ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－1、x2＝3； 点C(0,3)，则点C关于对称轴的对称点为：(2,3)， 则不等式ax2＋bx＋c＜3的解为x＜0或x＞2.所以解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 1．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1＜x2，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}． 2．二次方程的根，是相应的不等式的解集的端点．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键． [变式训练] 5．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为(　　) A．x＜－1　　　　　 B．x＜3 C．－1＜x＜3 D．x >3 解析：C　[如图，从二次函数y＝x2－2x－3的图象中，可以看出，函数值小于0时，x的取值范围为：－1＜x＜3.] 6．不等式x2＋mx－n＜0的解集为x∈(4,5)，求关于x的不等式nx2＋mx－1＞0的解集． 解析：由题意可知方程x2＋mx－n＝0的两根为x＝4和x＝5 由韦达定理有4＋5＝－m,4×5＝－n，所以m＝－9，n＝－20,所以nx2＋mx－1＞0化为－20x2－9x－1＞0，即20x2＋9x＋1＜0 (4x＋1)(5x＋1)＜0，解得－eq \f(1,4)＜x＜－eq \f(1,5)， 故不等式nx2＋mx－1＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,5))). 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域上具有奇偶性，则下列说法正确的是(　　) A．b＞0　　　　　　　 B．b＜0 C．b＝0 D．无法判断 解析：C　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有当b＝0时，才具有奇偶性，故选C.] 2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) 解析：B　[f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞eq \f(1,3)，故选B.] 3．函数y＝eq \f(1,2)x2＋x－3的最小值是(　　) A．－3　　B．－eq \f(7,2)　　　C.eq \f(7,2)　　　D．3 解析：B　[由二次函数a＝eq \f(1,2)＞0，所以二次函数y＝eq \f(1,2)x2＋x－3为开口向上的抛物线，所以最小值为ymin＝eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4×\f(1,2)×－3－12,4×\f(1,2))＝－eq \f(7,2)；故选B.] 4．函数f(x)＝－x2＋2(a－3)x＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：B　[函数f(x)图象的对称轴为x＝－eq \f(a－3,－1)，依题意有－eq \f(a－3,－1)≤－2，解得a≤1.] 5．已知函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，求： (1)a的值； (2)f(3)的值． 解：(1)因函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，则f(1)＝a·12＋2＝4，解得a＝2；综上所述，a＝2. (2)由(1)得f(x)＝2x2＋2， 则f(3)＝2×32＋2＝20. 综上所述，f(3)＝20. $$ 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域R上是单调递减函数，则(　　) A．k＞0　　　　　 B．k＜0 C．k＝0 D．b＝0 解析：B　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数，故选B.] 2．二次函数y＝x2＋mx－3在(－∞，－1)上是减函数，在[－1，＋∞)上是增函数，则m的值是(　　) A．2　B．－2　　C．10　　D．－10 解析：A　[由二次函数y＝x2＋mx－3的a＝1＞0，得此函数图象是一条开口向上的抛物线，在对称轴的左侧部分是减函数，对称轴右侧部分是增函数，所以对称轴x＝－＝－＝－1，解得m＝2，故选A.] 3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：B　[由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，知a＜0， 所以g(x)＝a(x2－4x＋3)开口向下， 对称轴为x＝2， 所以g(x)在(－∞，2)上单调递增．] 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由y＝x2＋(2a－1)x＋1可知是二次函数，其对称轴为x＝－， 要使得函数在x∈(－∞，2)上时是减函数，则必须－≥2，即a≤－.] 5．关于y＝－x2＋2x，下列叙述错误的为(　　) A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线x＝1 C．函数的单调递增区间是[－1，＋∞) D．函数图象过点(2,0) 解析：C　[函数对称轴x＝－＝－＝1，所以B正确；图象开口向下，且在对称轴处取得最大值ymax＝1，所以A正确；将点(2,0)代入方程且等式成立，所以D正确．] 6．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝　________　. 解析：f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0. 答案：0 7．若函数f(x)＝ax2－1，a＞0，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是　________　. 解析：f(－1)＝a－1，所以f[f(－1)]＝f(a－1) ＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0， 又因为a＞0，所以(a－1)2＝0，所以a＝1. 答案：1 8．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是_____________________． 解析：由f(x)＝|x－2|·x＝ 当x＞2时，f(x)＝x2－2x开口向上，对称轴方程为x＝1，所以在(2，＋∞)上单调递增． 当x≤2时，f(x)＝2x－x2开口向下，对称轴方程为x＝1， 所以此时f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1,2]上单调递减． 答案：[1,2] 9．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，则b的值为　______　. 解析：根据不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，可得方程ax2＋bx＋2＝0的两个根为－2和3，且a＜0，则，解得. 答案： 10．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴为x＝1. (1)试求二次函数的解析式； (2)求出二次函数的单调递增区间． 解：(1)函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴方程为x＝－＝1，得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x－3； (2)由f(x)＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，得单调递增区间为[1，＋∞)． 11．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，3)上没有单调性 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，3)上没有单调性，B错误；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是，D正确．] 12．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为(　　) A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1 C．a＝1，c＝6 D．a＝－1，c＝－6 解析：B　[易知a＜0，且⇒] 13．二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为　________　，值域为　__________　；在　____________　上是增函数，在　____________　上是减函数；是　__________　函数(奇偶性)；它的图象与x轴的交点为　______________　，与y轴的交点坐标为　_____________　. 解析：二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为R，值域为，即值域为(－∞，9]；在上是增函数，即在(－∞，－2]上为增函数；在上是减函数；即在[－2，＋∞)上是减函数；它是非奇非偶函数；它的图象与x轴的交点为(－5,0)和(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,5)． 答案：R；(－∞，9]；(－∞，－2]；[－2，＋∞)；非奇非偶；(－5,0)和(1,0)；(0,5)． 14．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R， 列表： x －1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图象如图． 根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0 所以f(3)＜f(0)＜f(1)． (2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时， 有f(x1)＜f(x2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．2　一次函数和二次函数 3．2.1　一次函数模型 3．2.2　二次函数模型 [学习目标] 1．理解一次函数、正比例函数、二次函数的定义； 2．理解并掌握一次函数和二次函数的图象及性质； 3．学会用数学语言表达函数的定义域、值域、单调性和奇偶性； 4．会运用一次函数和二次函数的图象和性质解决数学问题． 同学们，我们在初中时学过一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数，我们在本章节又重点学习函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等，那你会用我们刚学的知识去解释这三种函数吗？ 接下来，让我们一起来探究吧！ [知识点一]　一次函数　 1．定义：一般地，以x为自变量的函数y＝kx＋b(k≠0，x∈R)，称为一元一次函数，简称一次函数． 2．正比例函数定义：在一次函数表达式y＝kx＋b(k≠0，x∈R)中，令b＝0，则函数 y＝kx, 称为正比例函数． 3．正比例函数的图象和性质 函数y＝kx的图象是一条过原点的直线，显然函数y＝kx是奇函数． 4．一次函数及其图象 (1)y＝kx＋b的图象是由y＝kx的图象沿y轴方向平移|b|个单位得到． (2)对于一次函数y＝kx＋b(k≠0，x∈R)，当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－.所以一次函数的图象是通过点(0，b)和点的一条直线． 5．一次函数的性质 (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域和值域均为R. (2)一次函数函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比． (3)当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数． 1.函数y＝kx＋b(k≠0)是奇函数吗？ 提示：不是，当b＝0时是奇函数，当b≠0时，即不是奇函数也不是偶函数． [知识点二]　二次函数　 1．二次函数的定义 一般地，以x为自变量的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，称为一元二次函数，简称二次函数． 2．(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条顶点为原点的抛物线，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，这个函数为偶函数，y轴为它的图象的对称轴． (2)函数y＝ax2中的a对函数图形的影响：|a|越小，开口越大，|a|越大，开口越小． 3．二次函数的性质 (1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(－h，k)，抛物线的对称轴是直线x＝－h； (2)当a＞0时，函数在x＝－h处取最小值k；在区间(－∞，－h]上是减函数，在[－h，＋∞)上是增函数； (3)当a＜0时，函数在x＝－h处取最大值k；在区间(－∞，－h]上是增函数，在[－h，＋∞)上是减函数． “配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键． 4．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)求满足y＝0时x的值，等价于求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)求满足y＜0时x的取值范围，等价于求一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集； 求满足y＞0时的取值范围，等价于求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集． 2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集有何关系？ 提示：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集的端点值． 1．y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　) A．k＞　　　　　 B．k＞－ C．k＜ D．k＜－ 解析：C　[因为y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数， 所以2k－1＜0，所以k＜.] 2．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是(　　) A. B．[－1，＋∞] C. D．(－∞，＋∞) 解析：C　[y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，所以当x≤－时单调递减．] 3．如果二次函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1)上是减函数，在区间(－1，＋∞)上是增函数，则m＝(　　) A．2　　B．－2　　　C．10　　　D．－10 解析：C　[由题意知，二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴为x＝－1，所以x＝－＝－1，即m＝10.] 4．设函数f(x)＝－x＋k－2是R上的奇函数，则实数k＝　______　. 解析：当k－2＝0，即k＝2时，f(x)＝－x是奇函数． 答案：2 　一次函数的图象和性质 　已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. (1)若函数图象经过一，二，三象限，求m的取值范围值； (2)若函数是奇函数，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． [解]　(1)若函数图象经过一，二，三象限，则，解得m>3， 所以m的取值范围为(3，＋∞)． (2)当m－3＝0, 即m＝3时，y＝7x是奇函数． (3)由于函数为一次函数，且y随着x的增大而减小，故2m＋1＜0，解得m＜－.故m的取值范围是. 一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象是一条直线，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数，当b＝0时 y＝kx是奇函数，当b≠0时y＝kx＋b(k≠0)是非奇非偶函数． [变式训练] 1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则直线y＝bx＋k不经过(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，结合图象是直线，则直线y＝bx＋k不经过第二象限，故选B.] 2．若函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为　________　. 解析：由于函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k2－3k＋2＜0，解得1＜k＜2.因此，实数k的取值范围是(1,2)． 答案：(1, 2) 　二次函数的图象和性质 　已知函数f(x)＝x2－2x，x∈R. (1)画出函数f(x)的简图(不用列表)； (2)根据函数f(x)图象写出函数的定义域、值域、单调区间． [解]　(1) f(x)＝x2－2x，x∈R，图象如下： (2)由(1)图象可知， 函数的定义域为R；值域为[－1，＋∞); 单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为(1，＋∞)． 　已知函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2(a＞0)． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． [解]　(1)因为f(x)的对称轴为x＝－＝，且a＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为. (2)由(1)可得函数f(x)的单调递增区间为. 所以[1，＋∞)⊆，即≤1， 解得0＜a≤1.所以a的取值范围为(0,1]． 1．作二次函数图象可用描点法，也可通过对称轴，顶点及开口方向画出草图解决问题． 2．探究二次函数的单调性，要探究对称轴的位置，及开口方向． 3．二次函数ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数． [变式训练] 3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6 解析：A　[把点(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c， 得，解得， 所以这个二次函数的解析式为：y＝x2＋2x－3.] 4．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是　________　. 解析：函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，所以m－1＝0，即m＝1，所以f(x)＝－x2＋2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 　一元二次方程、一元二次不等式 与二次函数的关系 　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，交x轴于B，A(－1,0)两点，交y轴于点C(0,3)根据图象解答下列问题． (1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＜3的解集． [解]　A(－1,0)，对称轴为直线x＝1，则点B(3,0)，故ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－1、x2＝3； 点C(0,3)，则点C关于对称轴的对称点为：(2,3)， 则不等式ax2＋bx＋c＜3的解为x＜0或x＞2.所以解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 1．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1＜x2，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}． 2．二次方程的根，是相应的不等式的解集的端点．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键． [变式训练] 5．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为(　　) A．x＜－1　　　　　 B．x＜3 C．－1＜x＜3 D．x >3 解析：C　[如图，从二次函数y＝x2－2x－3的图象中，可以看出，函数值小于0时，x的取值范围为：－1＜x＜3.] 6．不等式x2＋mx－n＜0的解集为x∈(4,5)，求关于x的不等式nx2＋mx－1＞0的解集． 解析：由题意可知方程x2＋mx－n＝0的两根为x＝4和x＝5 由韦达定理有4＋5＝－m,4×5＝－n， 所以m＝－9，n＝－20 所以nx2＋mx－1＞0化为－20x2－9x－1＞0， 即20x2＋9x＋1＜0 (4x＋1)(5x＋1)＜0，解得－＜x＜－， 故不等式nx2＋mx－1＞0的解集为. 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域上具有奇偶性，则下列说法正确的是(　　) A．b＞0　　　　　　　 B．b＜0 C．b＝0 D．无法判断 解析：C　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有当b＝0时，才具有奇偶性，故选C.] 2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B.] 3．函数y＝x2＋x－3的最小值是(　　) A．－3　　B．－　　　C.　　　D．3 解析：B　[由二次函数a＝＞0，所以二次函数y＝x2＋x－3为开口向上的抛物线，所以最小值为ymin＝＝＝－；故选B.] 4．函数f(x)＝－x2＋2(a－3)x＋1在区间[－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：B　[函数f(x)图象的对称轴为x＝－，依题意有－≤－2，解得a≤1.] 5．已知函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，求： (1)a的值； (2)f(3)的值． 解：(1)因函数f(x)＝ax2＋2，且f(1)＝4，则f(1)＝a·12＋2＝4，解得a＝2；综上所述，a＝2. (2)由(1)得f(x)＝2x2＋2， 则f(3)＝2×32＋2＝20. 综上所述，f(3)＝20. 1．若函数y＝kx＋b(k≠0)在定义域R上是单调递减函数，则(　　) A．k＞0　　　　　 B．k＜0 C．k＝0 D．b＝0 解析：B　[一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数，故选B.] 2．二次函数y＝x2＋mx－3在(－∞，－1)上是减函数，在[－1，＋∞)上是增函数，则m的值是(　　) A．2　B．－2　　C．10　　D．－10 解析：A　[由二次函数y＝x2＋mx－3的a＝1＞0，得此函数图象是一条开口向上的抛物线，在对称轴的左侧部分是减函数，对称轴右侧部分是增函数，所以对称轴x＝－＝－＝－1，解得m＝2，故选A.] 3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：B　[由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，知a＜0， 所以g(x)＝a(x2－4x＋3)开口向下， 对称轴为x＝2， 所以g(x)在(－∞，2)上单调递增．] 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由y＝x2＋(2a－1)x＋1可知是二次函数，其对称轴为x＝－， 要使得函数在x∈(－∞，2)上时是减函数，则必须－≥2，即a≤－.] 5．关于y＝－x2＋2x，下列叙述错误的为(　　) A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线x＝1 C．函数的单调递增区间是[－1，＋∞) D．函数图象过点(2,0) 解析：C　[函数对称轴x＝－＝－＝1，所以B正确；图象开口向下，且在对称轴处取得最大值ymax＝1，所以A正确；将点(2,0)代入方程且等式成立，所以D正确．] 6．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝　________　. 解析：f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0. 答案：0 7．若函数f(x)＝ax2－1，a＞0，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是　________　. 解析：f(－1)＝a－1，所以f[f(－1)]＝f(a－1) ＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0， 又因为a＞0，所以(a－1)2＝0，所以a＝1. 答案：1 8．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是_____________________． 解析：由f(x)＝|x－2|·x＝ 当x＞2时，f(x)＝x2－2x开口向上，对称轴方程为x＝1，所以在(2，＋∞)上单调递增． 当x≤2时，f(x)＝2x－x2开口向下，对称轴方程为x＝1， 所以此时f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1,2]上单调递减． 答案：[1,2] 9．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，则b的值为　______　. 解析：根据不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，可得方程ax2＋bx＋2＝0的两个根为－2和3，且a＜0，则，解得. 答案： 10．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴为x＝1. (1)试求二次函数的解析式； (2)求出二次函数的单调递增区间． 解：(1)函数f(x)＝x2＋bx＋b－1的对称轴方程为x＝－＝1，得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x－3； (2)由f(x)＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，得单调递增区间为[1，＋∞)． 11．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是(　　) A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，3)上没有单调性 C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，3)上没有单调性，B错误；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是，D正确．] 12．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为(　　) A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1 C．a＝1，c＝6 D．a＝－1，c＝－6 解析：B　[易知a＜0，且⇒] 13．二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为　________　，值域为　__________　；在　____________　上是增函数，在　____________　上是减函数；是　__________　函数(奇偶性)；它的图象与x轴的交点为　______________　，与y轴的交点坐标为　_____________　. 解析：二次函数f(x)＝－x2－4x＋5的定义域为R，值域为，即值域为(－∞，9]；在上是增函数，即在(－∞，－2]上为增函数；在上是减函数；即在[－2，＋∞)上是减函数；它是非奇非偶函数；它的图象与x轴的交点为(－5,0)和(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,5)． 答案：R；(－∞，9]；(－∞，－2]；[－2，＋∞)；非奇非偶；(－5,0)和(1,0)；(0,5)． 14．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R， 列表： x －1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图象如图． 根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0 所以f(3)＜f(0)＜f(1)． (2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时， 有f(x1)＜f(x2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 学科网（北京）股份有限公司 $$