3.1.4 第2课时 函数奇偶性的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

第2课时　函数奇偶性的应用 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 01 随堂·步步夯实 02 课后·素养提升 03 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 [学习目标] 1．掌握函数奇偶性的简单应用； 2．了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件． 　根据函数奇偶性求函数解析式 　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.试求f(x)在R上的解析式． [解]　因为f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝－f(0)，解得f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0，因为当x＞0时，f(x)＝x2－2x， 所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2xx＞0,0x＝0,－x2－2xx＜0)). 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋2，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x－2　　　　　　　 B．－x＋2 C．x－2 D．x＋2 解析：C　[x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x＋2， 所以f(x)＝－f(－x)＝x－2.] [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) 　函数单调性与奇偶性的关系 　(1)已知R上的奇函数f(x)是增函数，若f(a)＋f(3a－1)＜0，则a的取值范围是　________　. [解析]　因为函数为奇函数，所以f(a)＋f(3a－1)＜0⇒f(a)＜－f(3a－1)＝f(1－3a)，而函数在R上为增函数，则a＜1－3a⇒a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))). (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)． 所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． 所以原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，解得－1≤m<\f(1,2).,|1－m|>|m|，)) 所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(0,1) D．[－1,1) 解析：A　[由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，且f(x)<f(1)等价于x<1.] 3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x)＞f(4)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(4，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－4,4) 解析：D　[因为因为偶函数满足f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f(x)＝f(|x|)＞f(4)，又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x|＜4，即－4＜x＜4，所以x∈(－4,4)．] 　利用奇偶性、单调性比较大小 　设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2) B．f(2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1) C．f(2)<f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D．f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2) [解析]　B　[因为函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)， 由于函数y＝f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2＜－eq \f(3,2)＜－1，所以f(－2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜f(－1)，即f(2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜f(－1)．] 比较大小的求解策略 　看自变量是否在同一单调区间上． (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． [变式训练] 4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10) C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定 解析：A　[f(x)是偶函数，所以f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10， 所以f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　) A．－1　B．1　　C．－2　　D．2 解析：A　[由题意可得，f(2)＝22－3＝1，由于函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，因此，f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.] 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 解析：C　[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在正实数集上是增函数且f(3)＜f(|2a＋1|)，所以3＜|2a＋1|，解得a＞1或a＜－2.] 3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 解析：C　[因为函数f(x)为偶函数，所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又因为f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.] 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为　________　. 解析：当x<0时，－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥1}． $$ 第2课时　函数奇偶性的应用 [学习目标] 1．掌握函数奇偶性的简单应用； 2．了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件． 　根据函数奇偶性求函数解析式 　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.试求f(x)在R上的解析式． [解]　因为f(x)的图象关于原点对称， 所以f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 又f(x)的定义域为R， 所以f(0)＝－f(0)，解得f(0)＝0. 设x＜0，则－x＞0， 因为当x＞0时，f(x)＝x2－2x， 所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝. 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋2，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x－2　　　　　　　 B．－x＋2 C．x－2 D．x＋2 解析：C　[x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x＋2， 所以f(x)＝－f(－x)＝x－2.] 　函数单调性与奇偶性的关系 　(1)已知R上的奇函数f(x)是增函数，若f(a)＋f(3a－1)＜0，则a的取值范围是　________　. [解析]　因为函数为奇函数，所以f(a)＋f(3a－1)＜0⇒f(a)＜－f(3a－1)＝f(1－3a)，而函数在R上为增函数，则a＜1－3a⇒a∈. [答案]　 (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(|x|)． 所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． 所以原不等式等价于 所以实数m的取值范围是. 解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(0,1) D．[－1,1) 解析：A　[由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，且f(x)<f(1)等价于x<1.] 3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x)＞f(4)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(4，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－4,4) 解析：D　[因为因为偶函数满足f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f(x)＝f(|x|)＞f(4)，又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x|＜4，即－4＜x＜4，所以x∈(－4,4)．] 　利用奇偶性、单调性比较大小 　设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) [解析]　B　[因为函数y＝f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)， 由于函数y＝f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1，所以f(－2)＜f＜f(－1)，即f(2)＜f＜f(－1)．] 比较大小的求解策略 　看自变量是否在同一单调区间上． (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． [变式训练] 4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10) C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定 解析：A　[f(x)是偶函数，所以f(－10)＝f(10)． 又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10， 所以f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．] 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　) A．－1　B．1　　C．－2　　D．2 解析：A　[由题意可得，f(2)＝22－3＝1，由于函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，因此，f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.] 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 解析：C　[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在正实数集上是增函数且f(3)＜f(|2a＋1|)，所以3＜|2a＋1|，解得a＞1或a＜－2.] 3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 解析：C　[因为函数f(x)为偶函数，所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又因为f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.] 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为　________　. 解析：当x<0时，－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝x＋1. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥1}． 1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝(　　) A．－3　　B．－1　　　C．1　　　D．3 解析：C　[因为函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2， 所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1. 而f(0)＝0，所以f(0)＋f(3)＝1.] 2．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x(x＋1)，则f(－3)＝(　　) A．－12 B．12 C．9 D．－9 解析：B　[f(3)＝－3×4＝－12，因为函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝12.] 3．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＞f(－2)＞f(3) B．f(3)＞f(1)＞f(－2) C．f(1)＞f(3)＞f(－2) D．f(－2)＞f(1)＞f(3) 解析：A　[由题意，函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可得f(－2)＝f(2)，又由当x≥0时，函数为单调递减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，所以f(1)＞f(－2)＞f(3)．故选A.] 4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－1,2] C．[0,4] D．[1,3] 解析：D　[由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1即为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.故选D.] 5．已知奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数，且f(t)＋f(2t＋1)＞0，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[依题意奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数， f(t)＋f(2t＋1)＞0，f(2t＋1)＞－f(t)＝f(－t)， ⇒－＜t＜.] 6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝　________　. 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为　________　. 解析：利用奇函数图象关于原点对称，画出函数f(x)的简图(图略)，从图中容易看出x∈(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 8．设偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)≤f(1)的x的取值范围是　___________　. 解析：因为函数是偶函数，所以f(2x－1)≤f(1)⇔f(|2x－1|)≤f(1)， 因为函数在区间[0，＋∞)单调递增，所以|2x－1|≤1，得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 答案：[0,1] 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(x)＝3x2－2x＋m，则f(x)在[1,2]上的最大值为　________　. 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 又因为x≤0时，f(x)＝3x2－2x＋m，所以f(0)＝0＝m， 所以x≤0时，f(x)＝3x2－2x， 设x＞0，则－x＜0，则f(－x)＝3x2＋2x， 则f(x)＝－f(－x)＝－3x2－2x， 即当x＞0时，f(x)＝－3x2－2x，所以f(x)在[1,2]上单调递减， 所以f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝－5. 答案：－5 10．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1－m)＜f(m)． (1)若f(x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f(x)是偶函数，求m的取值范围． 解：(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[－2,2]上单调递减，故， 解得m∈，故m的取值范围为. (2)若f(x)是偶函数，因为f(x)在[0,2]上单调递减，故在[－2,0)上单调递增，由f(1－m)＜f(m)，得f(|1－m|)＜f(|m|)，故，解得m∈， 故m的取值范围为. 11．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3 解析：B　[因为f(x)在R上为奇函数，所以f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)． 又f(x)在R上单调递减，所以2－a>a－4，得a<3.] 12．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是(　　) A．f > f B．f < f C．f ≥ f D．f ≤ f 解析：C　[因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f ≥ f .] 13．已知f(x)＝，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是　______　 解析：当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x＝f(x)， 所以f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)； 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， 所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1,1]． 答案：[－1,1] 14．f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数． (1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 因为－1＜x1＜x2＜1，所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0，(1＋x)(1＋x)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数． (2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)， 又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有⇒0＜t＜.所以不等式的解集是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝(　　) A．－3　　B．－1　　　C．1　　　D．3 解析：C　[因为函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2， 所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1. 而f(0)＝0，所以f(0)＋f(3)＝1.] 2．已知函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x(x＋1)，则f(－3)＝(　　) A．－12 B．12 C．9 D．－9 解析：B　[f(3)＝－3×4＝－12，因为函数f(x)是定义在[－3,3]上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝12.] 3．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＞f(－2)＞f(3) B．f(3)＞f(1)＞f(－2) C．f(1)＞f(3)＞f(－2) D．f(－2)＞f(1)＞f(3) 解析：A　[由题意，函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可得f(－2)＝f(2)，又由当x≥0时，函数为单调递减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，所以f(1)＞f(－2)＞f(3)．故选A.] 4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．[－1,2] C．[0,4] D．[1,3] 解析：D　[由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1即为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.故选D.] 5．已知奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数，且f(t)＋f(2t＋1)＞0，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[依题意奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的增函数， f(t)＋f(2t＋1)＞0，f(2t＋1)＞－f(t)＝f(－t)， ⇒－＜t＜.] 6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝　________　. 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为　________　. 解析：利用奇函数图象关于原点对称，画出函数f(x)的简图(图略)，从图中容易看出x∈(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 8．设偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)≤f(1)的x的取值范围是　___________　. 解析：因为函数是偶函数，所以f(2x－1)≤f(1)⇔f(|2x－1|)≤f(1)， 因为函数在区间[0，＋∞)单调递增，所以|2x－1|≤1，得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 答案：[0,1] 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f(x)＝3x2－2x＋m，则f(x)在[1,2]上的最大值为　________　. 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 又因为x≤0时，f(x)＝3x2－2x＋m，所以f(0)＝0＝m， 所以x≤0时，f(x)＝3x2－2x， 设x＞0，则－x＜0，则f(－x)＝3x2＋2x， 则f(x)＝－f(－x)＝－3x2－2x， 即当x＞0时，f(x)＝－3x2－2x，所以f(x)在[1,2]上单调递减， 所以f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝－5. 答案：－5 10．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1－m)＜f(m)． (1)若f(x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f(x)是偶函数，求m的取值范围． 解：(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[－2,2]上单调递减，故， 解得m∈，故m的取值范围为. (2)若f(x)是偶函数，因为f(x)在[0,2]上单调递减，故在[－2,0)上单调递增，由f(1－m)＜f(m)，得f(|1－m|)＜f(|m|)，故，解得m∈， 故m的取值范围为. 11．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3 解析：B　[因为f(x)在R上为奇函数，所以f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)． 又f(x)在R上单调递减，所以2－a>a－4，得a<3.] 12．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是(　　) A．f > f B．f < f C．f ≥ f D．f ≤ f 解析：C　[因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f ≥ f .] 13．已知f(x)＝，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是　______　 解析：当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x＝f(x)， 所以f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)； 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减， 所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，即实数a的取值范围为[－1,1]． 答案：[－1,1] 14．f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数． (1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 因为－1＜x1＜x2＜1，所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0，(1＋x)(1＋x)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数． (2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)， 又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有⇒0＜t＜.所以不等式的解集是. 学科网（北京）股份有限公司 $$