3.1.4 第1课时 函数的奇偶性（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　　) A．－1　　B．1　　　C．0　　　D．2 解析：A　[因为该奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.] 2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象(　　) A．关于原点对称　　　 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．不具有对称轴 解析：B　[因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．] 3．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 解析：A　[因为f(x)为奇函数，在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5， 所以f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，所以f(－1)＝－f(1)＝5，所以f(1)＝－5.] 4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：C　[因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(1)＝f(3)．所以f(－1)＝3.] 5．下列函数中，为偶函数的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x3 解析：C　[对于A，是一次函数，图象不关于y轴对称，所以不是偶函数； 对于B，是反比例函数，图象在一、三象限，关于原点对称，奇函数，所以不是偶函数； 对于C，是二次函数，对称轴为y轴，图象关于y轴对称，所以是偶函数； 对于D，是幂函数，图象在一、三象限，关于原点对称，为奇函数，所以不是偶函数．] 6．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)＋x，满足f(1)＝3，则f(－1)＝　______　. 解析：因为y＝f(x)＋x是定义在R上的偶函数，且f(1)＝3；所以f(－1)－1＝f(1)＋1； 即f(－1)－1＝3＋1；所以f(－1)＝5. 答案：5 7．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝　______　. 解析：因为二次函数f(x)为偶函数，所以f(x)的对称轴为y轴，且区间[2－2 a , a]关于原点对称， 因为⇒，所以a－b＝1. 答案：1 8．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝　______　. 解析：由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2， f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3. 答案：3 9．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝　______　. A．3　　B.　　C．－　　D．－ 解析：由已知得，当x＞0时，则－x＜0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b，所以a＝－1，b＝1，所以2a＋b＝2－1＋1＝. 答案： 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4－2x2；(2)f(x)＝x5－x； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝|x|＋x. 解：(1)f(x)的定义域为R，它关于原点对称． f(－x)＝(－x)4－2(－x)2＝x4－2x2＝f(x)， 故f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域为R，它关于原点对称．f(－x)＝(－x)5－(－x)＝－x5＋x＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，它关于原点对称．f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (4)f(1)＝|1|＋1＝2，f(－1)＝0，故f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)，故f(x)为非奇非偶函数． 11．设函数f(x)＝ax3＋bx－1，且f(－1)＝3，则f(1)＝(　　) A．－3　B．3　　C．－5　　D．5 解析：C　[因为f(x)＋1＝ax3＋bx是奇函数，所以f(－x)＋1＝－ax3－bx，所以f(－1)＋1＝－[f(1)＋1]，所以f(－1)＋1＝－f(1)－1，所以3＋1＝－f(1)－1，所以f(1)＝－5.] 12．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋mx＋2，且f(1)＝－2，则f(2)的值为(　　) A．－4 B．0 C．4 D．2 解析：A　[因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝2，即1－m＋2＝2，m＝1.f(－2)＝(－2)2＋(－2)＋2＝4， 所以f(2)＝－f(－2)＝－4.] 13．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x，其中的奇函数为　________　，偶函数为　________　.(填序号) 解析：因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)， 则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数． 答案：②④　①③ 14．如图所示，是偶函数f(x)在第一象限及坐标轴上的图象，请将图象补充完整，并回答下列问题． (1)请写出f(1)和f(－2)的值； (2)请写出函数f(x)的定义域和值域； (3)若f(x)＜1，求实数x的取值范围． 解： (1)补全函数f(x)的图象如图所示： 由图象，f(1)＝1，f(－2)＝2. (2)由图象，函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[0,2]． (3)由图象，不等式f(x)＜1对应为－1＜x＜1，即实数x的取值范围为－1＜x＜1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．1.4　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 [学习目标] 1．理解函数奇偶性及几何意义； 2．掌握判断奇偶性的方法； 3．了解奇偶性的性质． 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… [问题]　(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？ (2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 提示：(1)整个图形对称． (2)①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形． [知识点一]　奇函数的定义及图象特征　 1．奇函数的定义 如果对于函数y＝f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数是奇函数． 2．一个函数是奇函数的充要条件 它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形． 若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？ 提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0. [知识点二]　偶函数的定义及图象特征　 1．偶函数的定义 如果对于函数y＝f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数是偶函数． 2．一个函数是奇函数的充要条件 它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形． [知识点三]　　 S1判断定义域是否关于原点对称，即当x∈A时，－x∈A是否成立； S2当S1不成立时，函数f(x)即不是奇函数也不是偶函数． 当S1成立时，对于任意一个x∈A，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则函数即不是奇函数也不是偶函数． 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 解析：B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，A、C、D其余选项都不具有奇偶性．] 2．下列说法正确的是(　　) A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数 解析：B　[奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数y＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，如函数g(x)＝x2的定义域是R，且有g(0)＝0，但g(x)不是奇函数，D错误．] 3．已知函数f(x)＝x2，x∈R，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)既是奇函数又是偶函数 D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数 解析：B　[由题意，x∈R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．] 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，若f(1)＝1，则f(－1)＝　______　. 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(1)＝1，所以f(－1)＝f(1)＝1. 答案：1 　判断函数的奇偶性 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝0；(4)f(x)＝. [解]　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝0＝－f(x)，又f(－x)＝0＝f(x)，所以f(x)即是偶函数又是奇函数． (4)函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 判断函数奇偶性的方法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： (1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． (2)验证f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． (3)下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． [变式训练] 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝. 解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域是R， 又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 　奇偶函数的图象应用 　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． [变式训练] 2．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图． 由图象可知f(1)<f(3)． 方法二　由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)． 　利用函数的奇偶性求参数 　(1)若函数y＝(3x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　) A．1　B．－1　　C.　　D．2 (2)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b为奇函数，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (3)已知函数f(x)＝是奇函数，则m＝　______　. [解析]　(1)若y＝f(x)，则f(x)＝3x2＋(1－3a)x－a为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，即3x2＋(1－3a)x－a＝3(－x)2＋(1－3a)(－x)－a， 所以2(1－3a)x＝0恒成立，可得a＝. (2)因为f(x)＝x3＋ax＋b为奇函数，且f(x)的定义域为R. 所以f(0)＝0，所以b＝0，经检验符合题意． (3)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x，而当x＜0时，f(x)＝x2＋mx，所以m＝2. [答案]　(1)C　(2)B　(3)2 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解． [变式训练] 3．若函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a,2＋a]上为奇函数，则a＋b＝　___________　. 解析：因为函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a,2＋a]上为奇函数， 所以3a＋2＋a＝0，得a＝－， 又f(－x)＝－f(x)，即(－x)3－b(－x)2－(－x)＝－x3＋bx2＋x，即2bx2＝0恒成立， 所以b＝0，所以a＋b＝－. 答案：－ 4．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝　________　. 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1. 答案：1 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝ 解析：B　[对于A，y＝f(x)＝x2定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以y＝x2为偶函数，故A不合题意； 对于B，y＝g(x)＝x3定义域为R，且g(－x)＝(－x)3＝－x3＝－g(x)，所以y＝x3为奇函数，故B符合题意； 对于C，y＝h(x)＝|x|定义域为R，且h(－x)＝|－x|＝|x|＝h(x)，所以y＝|x|为偶函数，故C不合题意； 对于D，y＝定义域为[0，＋∞)，定义域不关于原点对称，故y＝为非奇非偶函数，故D不合题意；] 2．已知函数f(x)为偶函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝(　　) A．1　　B．3　　　C．4　　　D．7 解析：C　[由偶函数的性质得f(－2)＝f(2)＝4.] 3．已知函数f(x)＝x3＋a为奇函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：B　[因为f(x)＝x3＋a为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以x3＋a＝－((－x)3＋a)＝x3－a，解得a＝0，故选B.] 4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为　________　. 解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)∪(0,3)． 答案：(－6，－3)∪(0,3) 5．求证：函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称． 证明：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)． 所以函数y＝f(x)为偶函数． 故函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称． 1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　　) A．－1　　B．1　　　C．0　　　D．2 解析：A　[因为该奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.] 2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象(　　) A．关于原点对称　　　 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．不具有对称轴 解析：B　[因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．] 3．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 解析：A　[因为f(x)为奇函数，在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5， 所以f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，所以f(－1)＝－f(1)＝5，所以f(1)＝－5.] 4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：C　[因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(1)＝f(3)．所以f(－1)＝3.] 5．下列函数中，为偶函数的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x3 解析：C　[对于A，是一次函数，图象不关于y轴对称，所以不是偶函数； 对于B，是反比例函数，图象在一、三象限，关于原点对称，奇函数，所以不是偶函数； 对于C，是二次函数，对称轴为y轴，图象关于y轴对称，所以是偶函数； 对于D，是幂函数，图象在一、三象限，关于原点对称，为奇函数，所以不是偶函数．] 6．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)＋x，满足f(1)＝3，则f(－1)＝　______　. 解析：因为y＝f(x)＋x是定义在R上的偶函数，且f(1)＝3；所以f(－1)－1＝f(1)＋1； 即f(－1)－1＝3＋1；所以f(－1)＝5. 答案：5 7．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝　______　. 解析：因为二次函数f(x)为偶函数，所以f(x)的对称轴为y轴，且区间[2－2 a , a]关于原点对称， 因为⇒，所以a－b＝1. 答案：1 8．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝　______　. 解析：由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2， f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3. 答案：3 9．已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b＝　______　. A．3　　B.　　C．－　　D．－ 解析：由已知得，当x＞0时，则－x＜0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b，所以a＝－1，b＝1，所以2a＋b＝2－1＋1＝. 答案： 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4－2x2；(2)f(x)＝x5－x； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝|x|＋x. 解：(1)f(x)的定义域为R，它关于原点对称． f(－x)＝(－x)4－2(－x)2＝x4－2x2＝f(x)， 故f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域为R，它关于原点对称．f(－x)＝(－x)5－(－x)＝－x5＋x＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，它关于原点对称．f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (4)f(1)＝|1|＋1＝2，f(－1)＝0，故f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)，故f(x)为非奇非偶函数． 11．设函数f(x)＝ax3＋bx－1，且f(－1)＝3，则f(1)＝(　　) A．－3　B．3　　C．－5　　D．5 解析：C　[因为f(x)＋1＝ax3＋bx是奇函数，所以f(－x)＋1＝－ax3－bx，所以f(－1)＋1＝－[f(1)＋1]，所以f(－1)＋1＝－f(1)－1，所以3＋1＝－f(1)－1，所以f(1)＝－5.] 12．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x2＋mx＋2，且f(1)＝－2，则f(2)的值为(　　) A．－4 B．0 C．4 D．2 解析：A　[因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝2，即1－m＋2＝2，m＝1.f(－2)＝(－2)2＋(－2)＋2＝4， 所以f(2)＝－f(－2)＝－4.] 13．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x，其中的奇函数为　________　，偶函数为　________　.(填序号) 解析：因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)， 则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数． 答案：②④　①③ 14．如图所示，是偶函数f(x)在第一象限及坐标轴上的图象，请将图象补充完整，并回答下列问题． (1)请写出f(1)和f(－2)的值； (2)请写出函数f(x)的定义域和值域； (3)若f(x)＜1，求实数x的取值范围． 解： (1)补全函数f(x)的图象如图所示： 由图象，f(1)＝1，f(－2)＝2. (2)由图象，函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[0,2]． (3)由图象，不等式f(x)＜1对应为－1＜x＜1，即实数x的取值范围为－1＜x＜1. 学科网（北京）股份有限公司 $$3．1.4　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 [学习目标] 1．理解函数奇偶性及几何意义； 2．掌握判断奇偶性的方法； 3．了解奇偶性的性质． 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… [问题]　(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？ (2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 提示：(1)整个图形对称． (2)①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形． [知识点一]　奇函数的定义及图象特征　 1．奇函数的定义 如果对于函数y＝f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数是奇函数． 2．一个函数是奇函数的充要条件 它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形． 若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？ 提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0. [知识点二]　偶函数的定义及图象特征　 1．偶函数的定义 如果对于函数y＝f(x)的定义域A内的任意一个值x，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数是偶函数． 2．一个函数是奇函数的充要条件 它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形． [知识点三]　　 S1判断定义域是否关于原点对称，即当x∈A时，－x∈A是否成立； S2当S1不成立时，函数f(x)即不是奇函数也不是偶函数． 当S1成立时，对于任意一个x∈A，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则函数即不是奇函数也不是偶函数． 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 解析：B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，A、C、D其余选项都不具有奇偶性．] 2．下列说法正确的是(　　) A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D．若函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝0，则f(x)是奇函数 解析：B　[奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数y＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，如函数g(x)＝x2的定义域是R，且有g(0)＝0，但g(x)不是奇函数，D错误．] 3．已知函数f(x)＝x2，x∈R，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．f(x)既是奇函数又是偶函数 D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数 解析：B　[由题意，x∈R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．] 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，若f(1)＝1，则f(－1)＝　______　. 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数且f(1)＝1，所以f(－1)＝f(1)＝1. 答案：1 　判断函数的奇偶性 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝0；(4)f(x)＝eq \r(2x－1). [解]　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝0＝－f(x)，又f(－x)＝0＝f(x)，所以f(x)即是偶函数又是奇函数． (4)函数f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2)))，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 判断函数奇偶性的方法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： (1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． (2)验证f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． (3)下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． [变式训练] 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3). 解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域是R， 又因为f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 　奇偶函数的图象应用 　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． [变式训练] 2．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图． 由图象可知f(1)<f(3)． 方法二　由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)． 　利用函数的奇偶性求参数 　(1)若函数y＝(3x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　) A．1　B．－1　　C.eq \f(1,3)　　D．2 (2)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b为奇函数，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (3)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0,0，x＝0,x2＋mx，x＜0))是奇函数，则m＝　______　. [解析]　(1)若y＝f(x)，则f(x)＝3x2＋(1－3a)x－a为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，即3x2＋(1－3a)x－a＝3(－x)2＋(1－3a)(－x)－a， 所以2(1－3a)x＝0恒成立，可得a＝eq \f(1,3). (2)因为f(x)＝x3＋ax＋b为奇函数，且f(x)的定义域为R. 所以f(0)＝0，所以b＝0，经检验符合题意． (3)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x，而当x＜0时，f(x)＝x2＋mx，所以m＝2. [答案]　(1)C　(2)B　(3)2 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解． [变式训练] 3．若函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a,2＋a]上为奇函数，则a＋b＝　___________　. 解析：因为函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a,2＋a]上为奇函数， 所以3a＋2＋a＝0，得a＝－eq \f(1,2)， 又f(－x)＝－f(x)，即(－x)3－b(－x)2－eq \f(1,2)(－x)＝－x3＋bx2＋eq \f(1,2)x，即2bx2＝0恒成立，所以b＝0，所以a＋b＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) 4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x>0,ax2＋x，x<0))是奇函数，则a＝　________　. 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1. 答案：1 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝eq \r(x) 解析：B　[对于A，y＝f(x)＝x2定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以y＝x2为偶函数，故A不合题意； 对于B，y＝g(x)＝x3定义域为R，且g(－x)＝(－x)3＝－x3＝－g(x)，所以y＝x3为奇函数，故B符合题意； 对于C，y＝h(x)＝|x|定义域为R，且h(－x)＝|－x|＝|x|＝h(x)，所以y＝|x|为偶函数，故C不合题意； 对于D，y＝eq \r(x)定义域为[0，＋∞)，定义域不关于原点对称，故y＝eq \r(x)为非奇非偶函数，故D不合题意；] 2．已知函数f(x)为偶函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝(　　) A．1　　B．3　　　C．4　　　D．7 解析：C　[由偶函数的性质得f(－2)＝f(2)＝4.] 3．已知函数f(x)＝x3＋a为奇函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：B　[因为f(x)＝x3＋a为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以x3＋a＝－((－x)3＋a)＝x3－a，解得a＝0，故选B.] 4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为　________　. 解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)∪(0,3)． 答案：(－6，－3)∪(0,3) 5．求证：函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)的图象关于y轴对称． 证明：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)2＋eq \f(1,－x2)＝x2＋eq \f(1,x2)＝f(x)． 所以函数y＝f(x)为偶函数． 故函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)的图象关于y轴对称． $$