3.1.3 函数的单调性（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

3．1.3　函数的单调性 [学习目标] 1．理解单调性的概念； 2．利用函数图象，直观地观察函数的单调性； 3．掌握判断，证明函数单调性的方法． [问题]　根据上面函数图象，写出函数的变化趋势． 提示：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势． [知识点一]　增函数、减函数的概念　 1．增函数：如果在给定的区间上自变量增大(减小)时，函数值也随着增大(减小)，这时称函数在这个区间上是增函数(如图①) 2．减函数：如果在给定的区间上自变量增大(减小)时，函数值反而随着减小(增大)，这时称函数在这个区间上是减函数(如图②) 1.增函数或减函数定义中给定的区间一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分． [知识点二]　由解析式判断函数是增函数还减函数　 1．已知函数y＝f(x)，在给定区间上任意选取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，Δx表示自变量x的增量，Δy表示因变量y的增量．这时对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1，x2，这个函数是增函数的充要条件是>0；这个函数是减函数的充要条件是＜0. 2．如果一个函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性．这个区间就称为这个函数的单调区间． 3．由一个函数的解析式判断一个函数是增函数还是减函数的步骤：　　　　 S1取Δx，计算Δy； S2计算k＝， 当k＞0时，函数y＝f(x)在这个区间上是增函数(知识点一中图①)； 当k＜0时，函数y＝f(x)在这个区间上是减函数(知识点一中图②)． 2.函数y＝在定义域上是减函数吗？ 提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)． 1．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－1,0) B．(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)，(1，＋∞) 解析：D　[若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1,0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．] 2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)＜f(x2)　　　　　 B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 解析：D　[因为x1，x2不在同一个区间上，所以不能确定f(x1)与f(x2)的大小．] 3．函数f(x)＝(2－a)x＋b是R上的增函数，则有(　　) A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2 解析：D　[因为函数f(x)＝(2－a)x＋b是R上的增函数，所以2－a＞0，得a＜2.] 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是　________________　. 解析：由图象可知，f(x)在R上不是增函数，递增区间有两个，分别为(－∞，1]和(1，＋∞)． 答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 　函数单调性的判定与证明 　已知函数f(x)＝＋2.判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明你的结论； [解]　函数f(x)在(0，＋∞)是减函数， 证明：任取x1，x2，且0＜x1＜x2， 则Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝＋2－＝－＝＝－， ＝1－＜0，所以f(x)＝＋2在区间(0，＋∞) 上是减函数． 利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 [变式训练] 1．判断函数y＝的单调性，并证明． 解：这个函数是增函数， 证明如下：函数y＝的定义域为[0，＋∞)． 任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＞x2，则Δx＝x1－x2＞0，＋＞0， 又Δy＝y1－y2＝－＝＝＞0. ＝＞0，所以这个函数是增函数． 　求函数的单调区间 　(1)如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数的减区间为　__________　. (2)函数y＝的单调递减区间是　________　. [解析]　(1)由函数y＝f(x)的图象得此函数的减区间为：[－3，－1]，[1,3]． (2)y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图， 所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． [答案]　(1)[－3，－1]，[1,3]　(2)　(－∞，1)，(1，＋∞) 　求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域． 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用． 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． [变式训练] 2．如图是函数f(x)的图象．列出f(x)的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值． 解：观察图象知，函数f(x)的递减区间是[－5，－3]，[－1,2]，[3,5]，单调递增区间是[－3，－1]，[2,3]， 函数f(x)的最大值点是x＝－1，最小值点是x＝2， 函数f(x)的最大值是1.5，最小值是－1. 3．求函数f(x)＝的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． 解：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 　函数单调性的应用 　(1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，则a的取值范围为(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(－2,1) C．(0，) D．(0,2) (2)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数．则(　　) A．m＞ B．m＜ C．m＞－ D．m＜－ (3)设函数f(x)满足：对∀x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是　________　. [解析]　(1)因为y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数， 所以由f(1－a)＜f(a2－1) ⇒ ，故选A. (2)由题意，函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，根据一次函数的性质，则满足2m－1＜0，解得m＜.故选B. (3)由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，得＞0， 可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)． [答案]　(1)A　(2)B　(3)f(－3)>f(－π) 1．利用函数的单调性可以将比较两个函数值的大小转化为比较两个自变量的大小．要注意两个自变量应在同一个单调区间上． 2．利用函数的单调性解不等式，对于x1<x2⇔f(x1)<f(x2)函数f(x)为增函数，要注意“双向性”：左到右两边同“加”“f ”不等号方向不变，右到左两边同“脱”“f ”不等号方向也不变；若f(x)为减函数，则恰恰相反． 3．已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． (2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化． [变式训练] 4．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a) 解析：D　[选项D中，因为a2＋1>a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f(a2＋1)<f(a)．而其他选项中，当a＝0时，自变量均是0，应取等号．故选D.] 5．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(2m－3)＞f(－m)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：C　[因为f(x)在R上单调递增，f(2m－3)＞f(－m)，所以2m－3＞－m，解得m＞1，所以实数m的取值范围为(1，＋∞)．] 6．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2] 解析：D　[依题意得实数a满足 解得0<a≤2.] 1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上(　　) A．单调递减　　　　　　　 B．单调递增 C．先减后增 D．先增后减 解析：C　[作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示， 易知f(x)在[－3,0]上先减后增．] 2．若函数f(x)的图象如图所示，则其单调递减区间是(　　) A．[－4，－1]，[1,4] B．[－1,1] C．[－4,4] D．[－2,2] 解析：B　[观察函数f(x)的图象，可知函数f(x)的单调递减区间为[－1,1]．] 3．函数f(x)＝2x2－mx＋3在[2，＋∞)上递增，在(－∞，2]上递减，则m＝(　　) A．－2　B．－8　　C．2　　D．8 解析：D　[函数f(x)＝2x2－mx＋3的对称轴为x＝，由题意得＝2，解得m＝8.] 4．函数y＝－x2＋4x＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是　__________　. 解析：因为y＝－x2＋4x＋3的图象开口向下，又因为y＝－x2＋4x＋3的对称轴为x＝－＝2，所以f(x)的单调递增区间是[0,2]． 答案：[0,2] 5．已知f(x)＝. 用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数； 证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2， Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝－＝. ＝，因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以＞0， 所以f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数． 1．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，＝＞0成立，则y＝f(x)(　　) A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 解析：D　[由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．] 2．下列关于函数f(x)＝|x－1|－1的结论，正确的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C．f(x)在(－∞，0]上单调递增 D．f(x)在(－∞，0]上单调递减 解析：D　[由题意可得，f(x)＝|x－1|－1＝， 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．] 3．已知函数y＝f(x)是R上的减函数，若f(a＋2)＞f(2a－3)，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a＞5}　　　　　 B．{a|a＜5} C．{a|a＜4} D．{a|a＞4} 解析：A　[由于函数y＝f(x)是在R上的减函数，且f(a＋2)＞f(2a－3)，所以a＋2＜2a－3，解得a＞5，所以实数a的取值范围是{a|a＞5}．] 4．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值，最大值分别是(　　) A．－1,3 B．0,2 C．－1,2 D．3,2 解析：C　[当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.] 5．下列四个函数在(－∞，0)上是增函数的为(　　) A．f(x)＝x2＋4 B．f(x)＝1－2x C．f(x)＝－x2－x＋1 D．f(x)＝2－ 解析：D　[对于A，f(x)＝x2＋4二次函数开口向上，对称轴为y轴，在(－∞，0)上是减函数，故A不对；对于B，f(x)＝1－2x为一次函数，k＜0，在(－∞，0)上是减函数，故B不对；对于C，f(x)＝－x2－x＋1，二次函数开口向下，对称轴为x＝－， 在上是增函数，故C不对；对于D，f(x)＝2－为反比例类型，k＜0，在(－∞，0)上是增函数，故D对．故选D.] 6．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 解析：B　[对于A，函数分别在(－∞，1)及[1，＋∞)上单调递增，但存在x1∈(0,1)，使f(x1)＞f(1)，故A不符合题意；对于C，函数分别在(－∞，1)及(1，＋∞)上单调递增，但存在x1＞1，使f(x1)＜f(1)，故C不符合题意；对于D，函数分别在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，但存在x1＝－1，x2＝1，使f(x1)＜f(x2)，故D不符合题意；只有B完全符合增函数的定义，具有单调性．] 7．y＝x|x|＋3的单调增区间是　_________　. 解析：y＝x|x|＋3＝，当x≥0时，y＝x2＋3，在[0，＋∞)上单调递增．当x<0时，y＝－x2＋3，在(－∞，0)上单调递增，所以原函数的增区间为R. 答案：R 8．已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是　________　. 解析：因为f(2)＝0，所以f(x－1)＞0＝f(2)，因为f(x)在R上的单调递减，所以x－1＜2，即x＜3. 答案：(－∞，3) 9．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的值是　________　. 解析：函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]， 所以函数的对称轴为x＝2， 则有x＝－＝2，解得a＝－. 答案：－ 10．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)＞0的实数a的取值范围． 解：由题意，可得f(1－2a)＞f(3－a)． 因为f(x)在定义域[1,4]上单调递减， 所以，解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围为[－1,0]． 11．定义域为R的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则有(　　) A．f(－2)＜f(1)＜f(3) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(3)＜f(－2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析：A　[定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，可得＝＞0，所以函数f(x)是定义域在R上的增函数，所以f(－2)＜f(1)＜f(3)．] 12．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－ B．a≥－ C．－≤a<0 D．－≤a≤0 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a>0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a<0时，只有－≥4，即a≥－时满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.] 13．函数f(x)＝的单调增区间为(　　) A．[2，＋∞) B. C. D．(－∞，－1] 解析：C　[因为x2－x＋2＝2＋＞0显然恒成立， 所以函数f(x)＝的定义域为R； 令t＝x2－x＋2，则t＝x2－x＋2是开口向上的二次函数，且对称轴为x＝， 所以t＝x2－x＋2在上单调递减，在上单调递增； 根据复合函数单调性的判定方法可得，f(x)＝的单调增区间为.] 14．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数． 证明：对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 有f(x1)－f(x2)＝. 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 有f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$3．1.3　函数的单调性 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 [学习目标] 1．理解单调性的概念； 2．利用函数图象，直观地观察函数的单调性； 3．掌握判断，证明函数单调性的方法． [问题]　根据上面函数图象，写出函数的变化趋势． 提示：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势． [知识点一]　增函数、减函数的概念　 1．增函数：如果在给定的区间上自变量增大(减小)时，函数值也随着增大(减小)，这时称函数在这个区间上是增函数(如图①) 2．减函数：如果在给定的区间上自变量增大(减小)时，函数值反而随着减小(增大)，这时称函数在这个区间上是减函数(如图②) 1.增函数或减函数定义中给定的区间一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分． [知识点二]　由解析式判断函数是增函数还减函数　 1．已知函数y＝f(x)，在给定区间上任意选取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，Δx表示自变量x的增量，Δy表示因变量y的增量．这时对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1，x2，这个函数是增函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)>0；这个函数是减函数的充要条件是eq \f(Δy,Δx)＜0. 2．如果一个函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性．这个区间就称为这个函数的单调区间． 3．由一个函数的解析式判断一个函数是增函数还是减函数的步骤：　　　　 S1取Δx，计算Δy； S2计算k＝eq \f(Δy,Δx)， 当k＞0时，函数y＝f(x)在这个区间上是增函数(知识点一中图①)； 当k＜0时，函数y＝f(x)在这个区间上是减函数(知识点一中图②)． 2.函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？ 提示：y＝eq \f(1,x)在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)． 1．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－1,0) B．(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)，(1，＋∞) 解析：D　[若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1,0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．] 2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)＜f(x2)　　　　　 B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 解析：D　[因为x1，x2不在同一个区间上，所以不能确定f(x1)与f(x2)的大小．] 3．函数f(x)＝(2－a)x＋b是R上的增函数，则有(　　) A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2 解析：D　[因为函数f(x)＝(2－a)x＋b是R上的增函数，所以2－a＞0，得a＜2.] 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是　________________　. 解析：由图象可知，f(x)在R上不是增函数，递增区间有两个，分别为(－∞，1]和(1，＋∞)． 答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 　函数单调性的判定与证明 　已知函数f(x)＝eq \f(3,x)＋2.判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明你的结论； [解]　函数f(x)在(0，＋∞)是减函数， 证明：任取x1，x2，且0＜x1＜x2，则Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝eq \f(3,x2)＋2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x1)＋2))＝eq \f(3,x2)－eq \f(3,x1)＝eq \f(3x1－x2,x1x2)＝－eq \f(3x2－x1,x1x2)， eq \f(Δy,Δx)＝1－eq \f(3,x1x2)＜0，所以f(x)＝eq \f(3,x)＋2在区间(0，＋∞)上是减函数． 利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 [变式训练] 1．判断函数y＝eq \r(x)的单调性，并证明． 解：这个函数是增函数， 证明如下：函数y＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)． 任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＞x2，则Δx＝x1－x2＞0，eq \r(x1)＋eq \r(x2)＞0， 又Δy＝y1－y2＝eq \r(x1)－eq \r(x2)＝eq \f(\r(x1)－\r(x2)\r(x1)＋\r(x2),\r(x1)＋\r(x2))＝eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2))＞0. eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,\r(x1)＋\r(x2))＞0，所以这个函数是增函数． 　求函数的单调区间 　(1)如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数的减区间为　__________　. (2)函数y＝eq \f(1,x－1)的单调递减区间是　________　. [解析]　(1)由函数y＝f(x)的图象得此函数的减区间为：[－3，－1]，[1,3]． (2)y＝eq \f(1,x－1)的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移一个单位得到，如图， 所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． [答案]　(1)[－3，－1]，[1,3]　(2)　(－∞，1)，(1，＋∞) 　求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域． 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用． 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． [变式训练] 2．如图是函数f(x)的图象．列出f(x)的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值． 解：观察图象知，函数f(x)的递减区间是[－5，－3]，[－1,2]，[3,5]，单调递增区间是[－3，－1]，[2,3]， 函数f(x)的最大值点是x＝－1，最小值点是x＝2， 函数f(x)的最大值是1.5，最小值是－1. 3．求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1,5－x，x<1))的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． 解：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 　函数单调性的应用 　(1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，则a的取值范围为(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(－2,1) C．(0，eq \r(2)) D．(0,2) (2)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数．则(　　) A．m＞eq \f(1,2) B．m＜eq \f(1,2) C．m＞－eq \f(1,2) D．m＜－eq \f(1,2) (3)设函数f(x)满足：对∀x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是　________　. [解析]　(1)因为y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数， 所以由f(1－a)＜f(a2－1) ⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＜1－a＜1,－1＜a2－1＜1⇒0＜a＜1,1－a＞a2－1))，故选A. (2)由题意，函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，根据一次函数的性质，则满足2m－1＜0，解得m＜eq \f(1,2).故选B. (3)由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，得eq \f(Δy,Δx)＞0， 可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)． [答案]　(1)A　(2)B　(3)f(－3)>f(－π) 1．利用函数的单调性可以将比较两个函数值的大小转化为比较两个自变量的大小．要注意两个自变量应在同一个单调区间上． 2．利用函数的单调性解不等式，对于x1<x2⇔f(x1)<f(x2)函数f(x)为增函数，要注意“双向性”：左到右两边同“加”“f ”不等号方向不变，右到左两边同“脱”“f ”不等号方向也不变；若f(x)为减函数，则恰恰相反． 3．已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． (2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化． [变式训练] 4．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a) 解析：D　[选项D中，因为a2＋1>a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f(a2＋1)<f(a)．而其他选项中，当a＝0时，自变量均是0，应取等号．故选D.] 5．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(2m－3)＞f(－m)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：C　[因为f(x)在R上单调递增，f(2m－3)＞f(－m)，所以2m－3＞－m，解得m＞1，所以实数m的取值范围为(1，＋∞)．] 6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1，))是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2] 解析：D　[依题意得实数a满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0<a≤2.] 1．函数f(x)＝|x＋2|在[－3,0]上(　　) A．单调递减　　　　　　　 B．单调递增 C．先减后增 D．先增后减 解析：C　[作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示， 易知f(x)在[－3,0]上先减后增．] 2．若函数f(x)的图象如图所示，则其单调递减区间是(　　) A．[－4，－1]，[1,4] B．[－1,1] C．[－4,4] D．[－2,2] 解析：B　[观察函数f(x)的图象，可知函数f(x)的单调递减区间为[－1,1]．] 3．函数f(x)＝2x2－mx＋3在[2，＋∞)上递增，在(－∞，2]上递减，则m＝(　　) A．－2　B．－8　　C．2　　D．8 解析：D　[函数f(x)＝2x2－mx＋3的对称轴为x＝eq \f(m,4)，由题意得eq \f(m,4)＝2，解得m＝8.] 4．函数y＝－x2＋4x＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是　__________　. 解析：因为y＝－x2＋4x＋3的图象开口向下，又因为y＝－x2＋4x＋3的对称轴为x＝－eq \f(4,－1×2)＝2，所以f(x)的单调递增区间是[0,2]． 答案：[0,2] 5．已知f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1). 用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数； 证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2， Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝eq \f(2x2＋1,x2＋1)－eq \f(2x1＋1,x1＋1)＝eq \f(x2－x1,x1＋1x2＋1). eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,x1＋1x2＋1)，因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以eq \f(Δy,Δx)＞0， 所以f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数． $$ 1．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，＝＞0成立，则y＝f(x)(　　) A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 解析：D　[由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．] 2．下列关于函数f(x)＝|x－1|－1的结论，正确的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C．f(x)在(－∞，0]上单调递增 D．f(x)在(－∞，0]上单调递减 解析：D　[由题意可得，f(x)＝|x－1|－1＝， 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．] 3．已知函数y＝f(x)是R上的减函数，若f(a＋2)＞f(2a－3)，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a＞5}　　　　　 B．{a|a＜5} C．{a|a＜4} D．{a|a＞4} 解析：A　[由于函数y＝f(x)是在R上的减函数，且f(a＋2)＞f(2a－3)，所以a＋2＜2a－3，解得a＞5，所以实数a的取值范围是{a|a＞5}．] 4．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值，最大值分别是(　　) A．－1,3 B．0,2 C．－1,2 D．3,2 解析：C　[当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.] 5．下列四个函数在(－∞，0)上是增函数的为(　　) A．f(x)＝x2＋4 B．f(x)＝1－2x C．f(x)＝－x2－x＋1 D．f(x)＝2－ 解析：D　[对于A，f(x)＝x2＋4二次函数开口向上，对称轴为y轴，在(－∞，0)上是减函数，故A不对；对于B，f(x)＝1－2x为一次函数，k＜0，在(－∞，0)上是减函数，故B不对；对于C，f(x)＝－x2－x＋1，二次函数开口向下，对称轴为x＝－， 在上是增函数，故C不对；对于D，f(x)＝2－为反比例类型，k＜0，在(－∞，0)上是增函数，故D对．故选D.] 6．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 解析：B　[对于A，函数分别在(－∞，1)及[1，＋∞)上单调递增，但存在x1∈(0,1)，使f(x1)＞f(1)，故A不符合题意；对于C，函数分别在(－∞，1)及(1，＋∞)上单调递增，但存在x1＞1，使f(x1)＜f(1)，故C不符合题意；对于D，函数分别在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，但存在x1＝－1，x2＝1，使f(x1)＜f(x2)，故D不符合题意；只有B完全符合增函数的定义，具有单调性．] 7．y＝x|x|＋3的单调增区间是　_________　. 解析：y＝x|x|＋3＝，当x≥0时，y＝x2＋3，在[0，＋∞)上单调递增．当x<0时，y＝－x2＋3，在(－∞，0)上单调递增，所以原函数的增区间为R. 答案：R 8．已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是　________　. 解析：因为f(2)＝0，所以f(x－1)＞0＝f(2)，因为f(x)在R上的单调递减，所以x－1＜2，即x＜3. 答案：(－∞，3) 9．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的值是　________　. 解析：函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]， 所以函数的对称轴为x＝2， 则有x＝－＝2，解得a＝－. 答案：－ 10．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)＞0的实数a的取值范围． 解：由题意，可得f(1－2a)＞f(3－a)． 因为f(x)在定义域[1,4]上单调递减， 所以，解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围为[－1,0]． 11．定义域为R的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则有(　　) A．f(－2)＜f(1)＜f(3) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(3)＜f(－2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析：A　[定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，可得＝＞0，所以函数f(x)是定义域在R上的增函数，所以f(－2)＜f(1)＜f(3)．] 12．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－ B．a≥－ C．－≤a<0 D．－≤a≤0 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a>0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a<0时，只有－≥4，即a≥－时满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.] 13．函数f(x)＝的单调增区间为(　　) A．[2，＋∞) B. C. D．(－∞，－1] 解析：C　[因为x2－x＋2＝2＋＞0显然恒成立， 所以函数f(x)＝的定义域为R； 令t＝x2－x＋2，则t＝x2－x＋2是开口向上的二次函数，且对称轴为x＝， 所以t＝x2－x＋2在上单调递减，在上单调递增； 根据复合函数单调性的判定方法可得，f(x)＝的单调增区间为.] 14．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数． 证明：对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 有f(x1)－f(x2)＝. 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 有f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$