3.1.2 函数的表示方法（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

3．1.2　函数的表示方法 [学习目标] 1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 如图，艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展规律是“先快后慢”． [问题]　根据初中学习的知识，你能说出以上问题是用什么法表示函数的吗？ 提示：图象法 [知识点一]　函数的表示方法　 1．解析法：用数学表达式(如s＝100t(0≤t≤2))给出了函数的自变量t和因变量s的关系，这种表示函数的方法称为解析法(也称公式法)，并且这个等式称为函数的解析式． 2．列表法：把函数的自变量和对应的因变量的值列成表格来表示函数，这种方法称为列表法． 3．图象法：用函数的图象来表示函数，这种方法称为图象法． 1.所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？ 提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． [知识点二]　描点法作图　 作函数图象时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这种方法称为描点作图法． [知识点三]　分段函数　 1．分段函数 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数的定义域是　自变量　的各段不同取值范围集合的并集；分段函数的值域是自变量在各段不同取值范围的　函数值　集合的并集． 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数． 2.分段函数y＝是两个函数吗？ 提示：分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式不同． 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加速行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 解析：C　[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.] 2．已知f(x)＝，则f(4)的值为(　　) A．7　B．3　　C．－8　　D．4 解析：A　[因为4>2，所以f(4)＝2×4－1＝7.] 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A.1 B．2 C．3 D．不存在 解析：C　[因为2<3≤4，由表格知f(3)＝3.] 4．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为　________　. 解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，解得m＝5. 答案：5 　函数的三种表示法的应用 　某公共汽车行进的站数与票价关系如下表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？ [解]　根据题意，可知除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示， 解析式法：设票价为y元，站点的个位为x， 则y＝. 图象法： 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时应注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须写出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． [变式训练] 1．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 　求函数解析式 　(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)． [解]　(1)方法一：(换元法)设x＋1＝t， 则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. 方法二：(配凑法) f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (2)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (3)(解方程组法)因为f(x)＋2f＝x，① 所以f＋2f(x)＝，② ①－②×2得－3f(x)＝x－， 所以f(x)＝－(x≠0)． 1．已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)常用的两种方法 (1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围． (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． 2．待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 3．构造方程组求函数解析式 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [变式训练] 2．(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－3，求f(x)的解析式； (3)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式； (4)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝(k≠0)，则f(3)＝＝－6，解得k＝－18， 所以f(x)＝－(x≠0)． (2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝4x－3， 即，解得或， 所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3. (3)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以，解得， 所以f(x)＝x2＋1. (4)方法一：(拼凑法)因为f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1， 所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 方法二：(换元法)令t＝－1， 则＝t＋1，且t≥－1. 所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3， 即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 　分段函数及其图象 　已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象并写出f(x)的定义域； (2)若f(x)≥，求x的取值范围； (3)求f(f(3))的值； (4)求f(x)的值域． [解]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[－1,1]∪(1，＋∞)＝R. (2)由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪. (3)因为f(3)＝1，所以 f(f(3))＝f(1)＝12＝1. (4)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以 f(x)的值域为[0,1]． 1．(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象． 2．定义域取每一段定义域的并集． 3．值域取每一段函数值的并集． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝. (1)在图中画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间； (3)写出不等式f(x)≥1的解集． 解：(1) x 0 1 2 3 4 f(x) 0 1 2 1 所以f(x)的大致图象如图所示： (2)由图知：函数的单调递减区间为[2,4]． (3)由图知：不等式的解集为[1,4]． 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4}) 解析：D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.] 2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　) A．－2　B．6　　C．1　　D．0 解析：B　[令x－1＝2，得x＝3，所以f(2)＝32－3＝6.] 3．下列图象是函数y＝的图象的是(　　) 解析：C　[当x＜0时，图象为抛物线y＝x2在y轴左侧的图象，当x≥0，图象为直线y＝x－1在y轴右侧的图象．] 4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (1)则当g(f(x))＝2时，x＝　________　. (2)则f(g(2))＝　________　. 解析：(1)由g(f(x))＝2，所以f(x)＝2，所以x＝1. (2)因为g(2)＝2，所以f(g(2))＝f(2)＝3. 答案：(1)1　(2)3 5．已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝　　　　 B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 解析：C　[设y＝，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.] 2．已知函数f(x)＝，则f(f(2))＝(　　) A．－2　B．10　　C．－5　　D．28 解析：C　[由题意得f(2)＝22－3×2＝－2， 所以f(f(2))＝f(－2)＝3×(－2)＋1＝－5.] 3．已知f＝，则f(x)的解析式为(　　) A. B. C. D．x＋1 解析：C　[f＝＝，所以f(x)＝(x≠0，且x≠－1)．] 4．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 解析：B　[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1， 则f[g(2)]＝f(1)＝2.] 5．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．3 解析：B　[当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0⇒a2＋1＝0，该方程无实根； 当a≤0时，f(a)＋f(1)＝0⇒a＋1＋1＝0⇒a＝－2，显然符合a≤0.] 6．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝，求f(3)的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：B　[因为f(x)＋2f(1－x)＝，所以f(1－x)＋2f(x)＝，所以f(x)＝－， 所以f(3)＝－1－＝－.] 7．若f(x＋1)＝x2－1，则f(2)＝　________　；f(x)＝　___________　. 解析：因为f(x＋1)＝x2－1，令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，即f(x)＝x2－2x，所以f(2)＝22－2×2＝0. 答案：0　x2－2x 8．若f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝　________　. 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，故，解得，或.故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 答案：2x－或－2x＋1 9．设函数f(x)＝，若f(a)＝a，则实数a的值为　_____　. 解析：由题意知，f(a)＝a； 当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2(舍去)； 当a＜0时，有＝a，解得a＝1(舍去)或a＝－1. 所以实数a的值是a＝－1. 答案：－1 10．已知函数f(x)是二次函数，f(－1)＝0，f(－3)＝f(1)＝4. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x－1)≥4. 解：(1)由f(－3)＝f(1)，知此二次函数图象的对称轴为x＝－1， 又因为f(－1)＝0，所以(－1,0)是f(x)的顶点， 所以f(x)＝a(x＋1)2 因为f(1)＝4，即a(1＋1)2＝4 所以得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2. (2)因为f(x)＝(x＋1)2，所以f(x－1)＝x2， f(x－1)≥4化为x2≥4，即x≤－2或x≥2 不等式的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 11．已知函数f(x＋1)＝2x－3，若f(m)＝4，则m的值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由f(x＋1)＝2x－3，令t＝x＋1， 则x＝t－1，所以f(t)＝2(t－1)－3＝2t－5， 则f(x)＝2x－5，又f(m)＝4， 所以2m－5＝4⇒m＝.] 12．设f(x)＝，若f(x)＝3，则x＝(　　) A．1 B．± C. D. 解析：D　[若，即，无解； 若，即，所以x＝； 若，即，无解．综上x＝.] 13．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(4)＝　________　. 解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得，解之得，所以g(x)＝3x2－2x，所以g(4)＝3×42－2×4＝40. 答案：40 14．已知函数f(x)＝求： (1)求f(f(3))的值； (2)当－4≤x＜3时，求f(x)取值的集合． 解：(1)因为f(3)＝4－32＝4－9＝－5， 所以f(f(3))＝f(－5)＝1－2×(－5)＝1＋10＝11. (2)当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x∈(1,9]， 当x＝0时，f(x)＝f(0)＝2； 当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2∈(－5,4)； 所以当－4≤x＜3时， f(x)取值的集合为(－5,9]． 学科网（北京）股份有限公司 $$3．1.2　函数的表示方法 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 [学习目标] 1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 如图，艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展规律是“先快后慢”． [问题]　根据初中学习的知识，你能说出以上问题是用什么法表示函数的吗？ 提示：图象法 [知识点一]　函数的表示方法　 1．解析法：用数学表达式(如s＝100t(0≤t≤2))给出了函数的自变量t和因变量s的关系，这种表示函数的方法称为解析法(也称公式法)，并且这个等式称为函数的解析式． 2．列表法：把函数的自变量和对应的因变量的值列成表格来表示函数，这种方法称为列表法． 3．图象法：用函数的图象来表示函数，这种方法称为图象法． 1.所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？ 提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ；))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． [知识点二]　描点法作图　 作函数图象时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这种方法称为描点作图法． [知识点三]　分段函数　 1．分段函数 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数的定义域是　自变量　的各段不同取值范围集合的并集；分段函数的值域是自变量在各段不同取值范围的　函数值　集合的并集． 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数． 2.分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0))是两个函数吗？ 提示：分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式不同． 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加速行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 解析：C　[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.] 2．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥2,－x2－3x，x＜2))，则f(4)的值为(　　) A．7　B．3　　C．－8　　D．4 解析：A　[因为4>2，所以f(4)＝2×4－1＝7.] 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A.1 B．2 C．3 D．不存在 解析：C　[因为2<3≤4，由表格知f(3)＝3.] 4．已知函数f(x)＝x－eq \f(m,x)，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为　________　. 解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－eq \f(m,x)，解得m＝5. 答案：5 　函数的三种表示法的应用 　某公共汽车行进的站数与票价关系如下表： 行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？ [解]　根据题意，可知除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示， 解析式法：设票价为y元，站点的个位为x， 则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，x＝1，2，3,2，x＝4，5，6,3，x＝7，8，9)). 图象法： 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时应注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须写出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． [变式训练] 1．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 　求函数解析式 　(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． (3)已知f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x(x≠0)，求f(x)． [解]　(1)方法一：(换元法)设x＋1＝t， 则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. 方法二：(配凑法) f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (2)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.)) 所以f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8. (3)(解方程组法)因为f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，① 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x)，② ①－②×2得－3f(x)＝x－eq \f(2,x)， 所以f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)． 1．已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)常用的两种方法 (1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围． (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． 2．待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 3．构造方程组求函数解析式 已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [变式训练] 2．(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－3，求f(x)的解析式； (3)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式； (4)已知f(eq \r(x)－1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，则f(3)＝eq \f(k,3)＝－6，解得k＝－18， 所以f(x)＝－eq \f(18,x)(x≠0)． (2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝4x－3， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝4,kb＋b＝－3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝2,b＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝3))， 所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3. (3)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝c＝1,f1＝a＋b＋c＝2,f2＝4a＋2b＋c＝5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0,c＝1))， 所以f(x)＝x2＋1. (4)方法一：(拼凑法)因为f(eq \r(x)－1)＝x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)－1)2＋4(eq \r(x)－1)＋3，而eq \r(x)－1≥－1， 所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 方法二：(换元法)令t＝eq \r(x)－1， 则eq \r(x)＝t＋1，且t≥－1. 所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3， 即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 　分段函数及其图象 　已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.)) (1)画出f(x)的图象并写出f(x)的定义域； (2)若f(x)≥eq \f(1,4)，求x的取值范围； (3)求f(f(3))的值； (4)求f(x)的值域． [解]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[－1,1]∪(1，＋∞)＝R. (2)由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，结合此函数图象可知，使f(x)≥eq \f(1,4)的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). (3)因为f(3)＝1，所以 f(f(3))＝f(1)＝12＝1. (4)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以 f(x)的值域为[0,1]． 1．(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象． 2．定义域取每一段定义域的并集． 3．值域取每一段函数值的并集． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x∈[0，2],\f(4,x)，x∈2，4])). (1)在图中画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间； (3)写出不等式f(x)≥1的解集． 解：(1) x 0 1 2 3 4 f(x) 0 1 2 eq \f(4,3) 1 所以f(x)的大致图象如图所示： (2)由图知：函数的单调递减区间为[2,4]． (3)由图知：不等式的解集为[1,4]． 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4}) 解析：D　[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.] 2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　) A．－2　B．6　　C．1　　D．0 解析：B　[令x－1＝2，得x＝3，所以f(2)＝32－3＝6.] 3．下列图象是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x＜0，,x－1，x≥0))的图象的是(　　) 解析：C　[当x＜0时，图象为抛物线y＝x2在y轴左侧的图象，当x≥0，图象为直线y＝x－1在y轴右侧的图象．] 4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (1)则当g(f(x))＝2时，x＝　________　. (2)则f(g(2))＝　________　. 解析：(1)由g(f(x))＝2，所以f(x)＝2，所以x＝1. (2)因为g(2)＝2，所以f(g(2))＝f(2)＝3. 答案：(1)1　(2)3 5．已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq \f(－x－x,2)＝1－x，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.)) (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层训蛛 课后·素养提升 一高数提能 基础过关 -》》 1.y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关于x的函数关系式为( A.y=1x B.y=-lx C.y=2x D.y=-2x 解析：C[设y=kx,当x=2时，y=1,所以1=k2,得k=2.故y=2x] 2.已知函数x)=3x十1，x<0x2-3x,x20),则2)=() A.-2B.10C.-5D.28 解析：C[由题意得2)=22-3×2=-2， 所以2)=-2)=3×(-2)+1=-5] 3.已知favs4acol(f1x)=lx+1,则fx)的解析式为() A1x+1 B.x+lx C.xx+1 D.x+1 解析：C [falvs44 alcol(f(1x)=1x+1=lxlx,所以fx)=xl+xx≠0，且x≠一l).] 4.已知函数y=x)的对应关系如下表，函数y=g)的图象是如图所示的曲线ABC,其 中A(13),B(2.1),C(3,2),则几g(2)]的值为( fx) 2 0 =) 2 A.3 B.2 C.1 D.0 解析：B[由函数gx)的图象知，g(2)=1, 则儿g(2)]=1)=2] 5.已知函数x)=x2,x>0x+1,x≤0)，若a)+1)=0,则实数a的值等于() A.-1 B.-2 C.1 D.3 解析：B[当a>0时，由a十1)=0-a2+1=0,该方程无实根： 当a≤0时，a)+1)=0=a+1+1=0=a=-2,显然符合a≤0] 6.已知函数x)满足十2f1一x9=3x,求3)的值为() A.-34 B.-43 C.-35D.-53 解析：B[因为f)+21一x)=3x,所以1一x)+2)=31一x,所以fx)=21-x-1x, 所以3)=-1-13=-43J ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 7.若x+1)=x2-1,则2)= ；) 解析：因为x+1)=x2-1,令t=x+1,则x=t-1,所以0=(t-1)2-1=2-2,即 fx)=x2-2x,所以2)=22-2×2=0 答案：0x2-2x 8.若x)是一次函数，且fx)》=4r一1，则)= 解析：设ax)=a十b(a≠0)，则x)=ax)+b=a2x+ab+b=4x一1，故a2=4ab+b =-1),解得a=213),或a=-26=1)故f)=2-13或x)=-2x+1 答案：2x-13或-2x十1 9.设函数x)=f121x加x<0口，若fa)=a,则实数a的值为 解析：由题意知，a=a: 当a≥0时，有12a-1=a,解得a=-2(舍去)： 当a<0时，有1a=a,解得a=1(舍去)或a=一1 所以实数a的值是a=一1。 答案：一1 10.已知函数x)是二次函数，一1)=0，（一3）=1)=4 (I)求x)的解析式： (2)解不等式x-1)≥4。 解：(1)由（一3）=1)，知此二次函数图象的对称轴为x=一1， 又因为一1)=0，所以(-1,0)是x)的顶点， 所以fx)=ax+1)2 因为1)=4，即a(1+12=4 所以得a=1,所以x)=c+1)2 (2)因为x)=+1)2,所以x一1)=x2, fx-1)≥4化为xr2≥4，即x≤-2或x≥2 不等式的解集为(-∞，一2]U[2,十∞). 能力提升 11,已知函数f+1)=2x一3，若fm)=4,则m的值为( A72 B.92 C.112 D.132 解析：B[由x+1)=2x-3,令t=x十1， 则x=t-1,所以0=2t-1)-3=21-5, 则)=2x-5,又m)=4, 所以2m-5=4-m=92.] 12.设x)=x十2，x≤-1x2,一1<x<22x,X22,若x)=3,则x=() A.1 B.3 C.32 D.3 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：D[若≤-1x十2=3)，即x≤-1x=1),无解： 若-1<x<2x2=3),即-1<x<2x=士r(3》,所以x=3: 若X之22x=3),即之232)，无解.综上x=3] 13.若二次函数g)满足g1)=1,g(一1)=5，且图象过原点，则g(4)= 解析：设gx)=r2+bx+c(a≠0)，由题意得a十b十c=1a-b+c=5c=0,解之得a=3b =-2c=0,所以gx)=3x2-2x,所以g(4)=3×42-2×4=40 答案：40 14.已知函数fx)=4-x2,0x>002,0x=001-2x,0x<00求： (1)求3)的值： (2)当一4≤x<3时，求x)取值的集合 解：(1)因为3)=4-32=4-9=-5， 所以3)=f-5)=1-2×(-5)=1+10=11. (2)当-4≤x<0时，fx)=1-2x∈(1.9]， 当x=0时，x)=0)=2: 当0<x<3时，)=4-x2∈(-5,4)： 所以当一4≤x<3时， x)取值的集合为(-59 ·独家授权侵权必究·