3.1.1 函数的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

3．1　函数 3．1.1　函数的概念 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第三章 函数 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第三章 函数 [学习目标] 1．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2．了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域． 一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. [问题] (1)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？ (2)炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是什么？ (3)对任一时刻t，高度h是否唯一确定？ 提示：(1)A＝{t|0≤t≤26)．(2)B＝{h|0≤h≤845}．(3)唯一确定． [知识点一]　函数的概念　 1．函数的定义：设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数x，按照某个确定的对应法则f，有唯一确定的实数y与它对应，则称这种对应关系f为集合A上的一个函数，记作　y＝f(x)　.上式中x为自变量，y为因变量． 2．函数的定义域：自变量x的取值集合A称为函数的定义域． 3．函数的值域：对应的因变量值的集合称为函数的值域， 4．函数值： 函数y＝f(x)，在x＝a时对应的因变量值y，记作y＝f(a), f(a)称为函数f(x)在x＝a处的函数值． 1.有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 2．f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． [知识点二]　函数的要素及同一个函数　 1．函数的要素：　定义域　和　对应法则　. 2．函数的判断：要检验给定两个变量之间的关系是不是函数。只要检验： (1)定义域是否给出； (2)对应法则是否给出并且根据这个对应法则，能否由自变量x的每一个值，确定唯一的函数值． 3．同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数　定义域　相同，　对应关系　也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的是同一个函数 3.定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 1．如图可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：D　[根据函数的概念，可知对任意的x值，有唯一的y值相对应，结合选项的图象，可得只有选项D可作为函数y＝f(x)的图象．] 2．下列选项中不是函数的是(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝x2－eq \r(2) C．x＝y＋1 D．y2＝1－x2 解析：D　[A、B、C选项任意的x都能找到唯一的y值与之对应，所以是函数，D项中，当x＝eq \f(1,2)时，y＝±eq \f(\r(3),2)，因此不是函数．] 答案：{x|x<4} 3．已知函数f(x)＝x2－3x，则f(1)＝(　　) A．－2　B．－1　　C．0　　D．2 解析：A　[因为函数f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝12－3×1＝1－3＝－2.] 4．函数f(x)＝eq \f(1,\r(4－x))的定义域是　________　. 解析：由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}． 　函数概念的理解 　(1)若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是(　　) (2)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是　________　.(填序号) ①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x； ④f：x→y＝eq \r(x). [解析]　(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确． (2)①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以③不是函数． [答案]　(1)D　(2)③ 1．判断对应关系是否为函数的方法 若两个变量x与y ，并对于x每确定一个值，y都有唯一的值与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 如图所示： [变式训练] 1．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为(　　) A．至少1个　　 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定 解析：B　[由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数为0个，故选B.] 2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：C　[由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．] 　函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)f(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(4－x)＋2； (2)f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2). [解]　(1)要使此函数有意义，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,4－x≥0，)) 即1≤x≤4，所以此函数的定义域是{x|1≤x≤4}． (2)要使此函数有意义，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,x＋2≠0))，⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－3,x≠－2))，⇒x≥－3，且x≠－2. 所以f(x)的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． 定义域的求法 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合． (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． [变式训练] 3．求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(－x2－x＋6)； (2)y＝eq \f(\r(10－x2),|x|－3). 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,－x2－x＋6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x＋3x－2≤0，))解得－3≤x≤2且x≠－1， 即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}． (2)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10－x2≥0，,|x|－3≠0，))解得－eq \r(10)≤x≤ eq \r(10)，且x≠±3，即定义域为{x|－eq \r(10)≤x≤eq \r(10)，且x≠±3}． 　判定函数为同一函数 　下列函数中与函数y＝x表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝eq \r(3,x3) B．g(x)＝eq \r(x2) C．y＝eq \f(x2,x) D．y＝|x| [解析]　A　[选项A，函数f(x)＝eq \r(3,x3)＝x的定义域为R， 与y＝x定义域、对应法则相同，是同一函数； 选项B，函数g(x)＝eq \r(x2)＝|x|的定义域为R，与y＝x的对应法则不相同，不是同一函数；选项C，函数y＝eq \f(x2,x)的定义域为{x|x≠0}，与y＝x的定义域不相同，不是同一函数； 选项D，函数y＝|x|的定义域为R，与y＝x的对应法则不相同，不是同一函数．故选A.] 如何判断两个函数是否相等 (1)判断定义域是否相等； (2)判断对应关系是否相等； (3)结论：如果(1)和(2)都肯定，则两个函数相等；如果(1)和(2)中有一个否定，则两个函数不等． [变式训练] 4．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2；②f(x)＝x，g(x)＝eq \r(5,x5)；③f(x)＝eq \f(x,x)，g(x)＝x0；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中表示同一函数的是　___________　. 解析：对于①，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，定义域不相同，所以不是同一函数； 对于②，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝eq \r(5,x5)＝x定义域为R；定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于③，f(x)＝eq \f(x,x)＝1定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x0＝1定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④，f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数． 综上可知，②③④表示同一函数． 答案：②③④ 　函数值和函数的值域 　(1)已知f(x)＝x2＋2x＋1，则f(2)＝　________　，f(f(－2))＝　__________　. (2)若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝　_____　. [解析]　(1)f(2)＝22＋2×2＋1＝9，因为f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＋1＝1，所以f(f(－2))＝12＋2×1＋1＝3. (2)f(3)＝eq \f(1,1－32)＝－eq \f(1,8). [答案]　(1) 9　3　(2)－eq \f(1,8) 　(1)函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是(　　) A．0,2,3 B．0≤y≤3 C．{0,2,3} D．[0,3] (2)函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域为　____________　. [解析]　(1)由题意f(－1)＝0，f(1)＝2，f(2)＝3.所以值域为{0,2,3}．故选C. (2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1,5)，如图所示． 所以所求函数的值域为[2,11)． 答案：(1)C　(2)[2,11) 1．求函数值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域的原则 ①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． [变式训练] 5．(1)函数y＝－eq \f(2,x＋1)，x∈[0,2]的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3))) B．[－2,0) C．(0,1] D．[－2，－1] (2)若f(x)＝eq \f(x,\r(1－x))，则f(－3)＝　_________　. 解析：(1)由题意，令t＝x＋1，由于x∈[0,2]，故t∈[1,3]， 故y＝－eq \f(2,t)，由反比例函数的性质，y＝－eq \f(2,t)在t∈[1,3]单调递增， 故当t＝1时，ymin＝－2；当t＝3时，ymax＝－eq \f(2,3)， 故函数在x∈[0,2]的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3))). (2)由题意得f(－3)＝eq \f(－3,\r(1－－3))＝－eq \f(3,2). 答案：(1)A　(2)－eq \f(3,2) 1．已知对应关系f：x→y＝x2－1，x∈A，y∈B，若4∈A，则在B中的对应元素是(　　) A．15　B．17　　C.eq \r(5)　　D．±eq \r(5) 解析：A　[4在B中的对应元素是42－1＝15.故选A.] 2．与函数y＝2x表示同一函数是(　　) A．y＝2(eq \r(x))2 B．u＝2eq \r(3,v3) C．y＝2eq \r(x2) D．m＝eq \f(2n2,n) 解析：B　[对于A，函数y＝2(eq \r(x))2＝2x(x≥0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数u＝2eq \r(3,v3)＝2v(v∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数y＝2eq \r(x2)＝2|x|(x∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数； 对于D，函数m＝eq \f(2n2,n)＝2n(n≠0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不相同，不是同一函数．] 3．函数y＝eq \r(x2－1)的定义域是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－1,1) D．(1，＋∞) 解析：B　[x2－1≥0⇒x≥1或x≤－1.] 4．设函数f(x)＝x2－1，若f(x)＝3，则实数x的值为　________　. 解析：f(x)＝x2－1＝3，解得x＝±2. 答案：±2 5．已知函数f(x)＝eq \f(x－3,x＋2). (1)求f(2)的值； (2)求函数f(x)的定义域和值域． 解：(1)f(2)＝eq \f(2－3,2＋2)＝－eq \f(1,4)； (2)要使f(x)有意义，则x≠－2；所以f(x)的定义域为{x|x≠－2}； f(x)＝eq \f(x－3,x＋2)＝1－eq \f(5,x＋2)；eq \f(5,x＋2)≠0； 所以f(x)≠1；所以f(x)的值域为{f(x)|f(x)≠1}． $$ 3．1　函数 3．1.1　函数的概念 [学习目标] 1．会用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2．了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域． 一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. [问题] (1)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？ (2)炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是什么？ (3)对任一时刻t，高度h是否唯一确定？ 提示：(1)A＝{t|0≤t≤26)．(2)B＝{h|0≤h≤845}．(3)唯一确定． [知识点一]　函数的概念　 1．函数的定义：设集合A是一个非空的实数集，对A内任意实数x，按照某个确定的对应法则f，有唯一确定的实数y与它对应，则称这种对应关系f为集合A上的一个函数，记作　y＝f(x)　.上式中x为自变量，y为因变量． 2．函数的定义域：自变量x的取值集合A称为函数的定义域． 3．函数的值域：对应的因变量值的集合称为函数的值域， 4．函数值： 函数y＝f(x)，在x＝a时对应的因变量值y，记作y＝f(a), f(a)称为函数f(x)在x＝a处的函数值． 1.有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 2．f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． [知识点二]　函数的要素及同一个函数　 1．函数的要素：　定义域　和　对应法则　. 2．函数的判断：要检验给定两个变量之间的关系是不是函数。只要检验： (1)定义域是否给出； (2)对应法则是否给出并且根据这个对应法则，能否由自变量x的每一个值，确定唯一的函数值． 3．同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数　定义域　相同，　对应关系　也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的是同一个函数 3.定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 1．如图可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：D　[根据函数的概念，可知对任意的x值，有唯一的y值相对应，结合选项的图象，可得只有选项D可作为函数y＝f(x)的图象．] 2．下列选项中不是函数的是(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝x2－ C．x＝y＋1 D．y2＝1－x2 解析：D　[A、B、C选项任意的x都能找到唯一的y值与之对应，所以是函数，D项中，当x＝时，y＝±，因此不是函数．] 3．已知函数f(x)＝x2－3x，则f(1)＝(　　) A．－2　B．－1　　C．0　　D．2 解析：A　[因为函数f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝12－3×1＝1－3＝－2.] 4．函数f(x)＝的定义域是　________　. 解析：由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}． 答案：{x|x<4} 　函数概念的理解 　(1)若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是(　　) (2)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是　________　.(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x； ④f：x→y＝. [解析]　(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确． (2)①②④满足函数的定义，所以是函数， 对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数． [答案]　(1)D　(2)③ 1．判断对应关系是否为函数的方法 若两个变量x与y ，并对于x每确定一个值，y都有唯一的值与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 如图所示： [变式训练] 1．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为(　　) A．至少1个　　 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定 解析：B　[由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数为0个，故选B.] 2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：C　[由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．] 　函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)f(x)＝·＋2； (2)f(x)＝＋. [解]　(1)要使此函数有意义，应满足 即1≤x≤4，所以此函数的定义域是{x|1≤x≤4}． (2)要使此函数有意义，则 ，⇒，⇒x≥－3，且x≠－2. 所以f(x)的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． 定义域的求法 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合． (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． [变式训练] 3．求下列函数的定义域： (1)y＝－； (2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即 解得－3≤x≤2且x≠－1， 即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}． (2)要使函数有意义，则解得－≤x≤ ，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}． 　判定函数为同一函数 　下列函数中与函数y＝x表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝ B．g(x)＝ C．y＝ D．y＝|x| [解析]　A　[选项A，函数f(x)＝＝x的定义域为R， 与y＝x定义域、对应法则相同，是同一函数； 选项B，函数g(x)＝＝|x|的定义域为R，与y＝x的对应法则不相同，不是同一函数； 选项C，函数y＝的定义域为{x|x≠0}，与y＝x的定义域不相同，不是同一函数； 选项D，函数y＝|x|的定义域为R，与y＝x的对应法则不相同，不是同一函数．故选A.] 如何判断两个函数是否相等 (1)判断定义域是否相等； (2)判断对应关系是否相等； (3)结论：如果(1)和(2)都肯定，则两个函数相等；如果(1)和(2)中有一个否定，则两个函数不等． [变式训练] 4．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x0；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中表示同一函数的是　___________　. 解析：对于①，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，定义域不相同，所以不是同一函数； 对于②，f(x)＝x定义域为R，g(x)＝＝x定义域为R；定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于③，f(x)＝＝1定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x0＝1定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④，f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数． 综上可知，②③④表示同一函数． 答案：②③④ 　函数值和函数的值域 　(1)已知f(x)＝x2＋2x＋1，则f(2)＝　________　，f(f(－2))＝　__________　. (2)若f(x)＝，则f(3)＝　_____　. [解析]　(1)f(2)＝22＋2×2＋1＝9，因为f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＋1＝1，所以f(f(－2))＝12＋2×1＋1＝3. (2)f(3)＝＝－. [答案]　(1) 9　3　(2)－ 　(1)函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是(　　) A．0,2,3 B．0≤y≤3 C．{0,2,3} D．[0,3] (2)函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域为　____________　. [解析]　(1)由题意f(－1)＝0，f(1)＝2，f(2)＝3.所以值域为{0,2,3}．故选C. (2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2， 因为x∈[1,5)，如图所示． 所以所求函数的值域为[2,11)． 答案：(1)C　(2)[2,11) 1．求函数值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域的原则 ①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． [变式训练] 5．(1)函数y＝－，x∈[0,2]的值域是(　　) A. B．[－2,0) C．(0,1] D．[－2，－1] (2)若f(x)＝，则f(－3)＝　_________　. 解析：(1)由题意，令t＝x＋1，由于x∈[0,2]， 故t∈[1,3]， 故y＝－，由反比例函数的性质，y＝－在t∈[1,3]单调递增， 故当t＝1时，ymin＝－2；当t＝3时，ymax＝－， 故函数在x∈[0,2]的值域为. (2)由题意得f(－3)＝＝－. 答案：(1)A　(2)－ 1．已知对应关系f：x→y＝x2－1，x∈A，y∈B，若4∈A，则在B中的对应元素是(　　) A．15　B．17　　C.　　D．± 解析：A　[4在B中的对应元素是42－1＝15.故选A.] 2．与函数y＝2x表示同一函数是(　　) A．y＝2()2 B．u＝2 C．y＝2 D．m＝ 解析：B　[对于A，函数y＝2()2＝2x(x≥0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数u＝2＝2v(v∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数y＝2＝2|x|(x∈R)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数； 对于D，函数m＝＝2n(n≠0)，与函数y＝2x(x∈R)的定义域不相同，不是同一函数．] 3．函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－1,1) D．(1，＋∞) 解析：B　[x2－1≥0⇒x≥1或x≤－1.] 4．设函数f(x)＝x2－1，若f(x)＝3，则实数x的值为　________　. 解析：f(x)＝x2－1＝3，解得x＝±2. 答案：±2 5．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)的值； (2)求函数f(x)的定义域和值域． 解：(1)f(2)＝＝－； (2)要使f(x)有意义，则x≠－2； 所以f(x)的定义域为{x|x≠－2}； f(x)＝＝1－；≠0； 所以f(x)≠1；所以f(x)的值域为{f(x)|f(x)≠1}． 1．下列各图形中，不能表示y是x的函数的是(　　) 解析：C　[如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义．其它三个选项都符合函数的定义．] 2.下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　) ①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝. A．①②　　　　　 B．①④ C．③④ D．①②④ 解析：D　[根据函数的定义，对于x任意一个值，y有唯一的值与之对应，可知表示y是x的函数的是①②④.] 3．已知f(x)＝，则当f(x)＝时x的值是(　　) A．－2　B．0　　C．1　　D．2 解析：D　[因为f(x)＝，f(x)＝，即＝，解得x＝2.] 4．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1,3) D．[1,3)∪(3，＋∞) 解析：D　[要使函数有意义，必须，解之得x≥1，且x≠3， 则函数f(x)的定义域为[1,3)∪(3，＋∞)．] 5．下列四组函数中表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解析：C　[选项A，定义域不同，选项B，对应法则不同， 选项D，定义域、对应法则都不同，故选C.] 6．若函数f(x)＝x2＋a且f(1)＝0，则a的值为___________________． 解析：因为f(1)＝1＋a＝0，所以a＝－1. 答案：－1 7．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝，则f(g(0))＝　________　；g(f(0))＝　________　. 解析：因为f(x)＝2x＋1，g(x)＝，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以f(g(0))＝2×1＋1＝3， g(f(0))＝＝. 答案：3　 8．已知函数f(x)＝x3＋ax－3，且f(m)＝2，那么f(－m)的值为　______　. 解析：设g(x)＝f(x)＋3＝x3＋ax，可得g(－x)＝(－x)3＋a(－x)＝－x3－ax＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，因为f(m)＝2，可得g(m)＝f(m)＋3＝5，可得g(－m)＝－5，所以f(－m)＋3＝－5，可得f(－m)＝－8. 答案：－8 9．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是　_____　. 解析：因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1. 所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. 答案：1 10．已知函数f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f ；(2)若f(x)＝5，求x的值． 解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5, f ＝＋－1＝. (2)因为f(x)＝x2＋x－1＝5，所以x2＋x－6＝0, 所以x＝2或x＝－3. 11．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：B　[由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即0<y≤1.] 12．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为　________　. 解析：由得0≤x≤， 所以函数f(2x)＋f的定义域为. 答案： 13．已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2， 则f(2)＝　________　，f(g(2))＝　________　. 解析：因为f(x)＝，故可得f(2)＝； 又g(x)＝x2＋2，故可得g(2)＝22＋2＝6， 故f(g(2))＝f(6)＝. 答案：　 14．已知函数f(x)＝－. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(12)的值． 解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0， 所以x≥－4且x≠1， 即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f(－1)＝－＝－3－. f(12)＝－＝－4＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．下列各图形中，不能表示y是x的函数的是(　　) 解析：C　[如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义．其它三个选项都符合函数的定义．] 2.下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　) ①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝. A．①②　　　　　 B．①④ C．③④ D．①②④ 解析：D　[根据函数的定义，对于x任意一个值，y有唯一的值与之对应，可知表示y是x的函数的是①②④.] 3．已知f(x)＝，则当f(x)＝时x的值是(　　) A．－2　B．0　　C．1　　D．2 解析：D　[因为f(x)＝，f(x)＝，即＝，解得x＝2.] 4．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(1,3) D．[1,3)∪(3，＋∞) 解析：D　[要使函数有意义，必须，解之得x≥1，且x≠3， 则函数f(x)的定义域为[1,3)∪(3，＋∞)．] 5．下列四组函数中表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 C．f(x)＝，g(x)＝|x| D．f(x)＝0，g(x)＝＋ 解析：C　[选项A，定义域不同，选项B，对应法则不同， 选项D，定义域、对应法则都不同，故选C.] 6．若函数f(x)＝x2＋a且f(1)＝0，则a的值为___________________． 解析：因为f(1)＝1＋a＝0，所以a＝－1. 答案：－1 7．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝，则f(g(0))＝　________　；g(f(0))＝　________　. 解析：因为f(x)＝2x＋1，g(x)＝，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以f(g(0))＝2×1＋1＝3， g(f(0))＝＝. 答案：3　 8．已知函数f(x)＝x3＋ax－3，且f(m)＝2，那么f(－m)的值为　______　. 解析：设g(x)＝f(x)＋3＝x3＋ax，可得g(－x)＝(－x)3＋a(－x)＝－x3－ax＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，因为f(m)＝2，可得g(m)＝f(m)＋3＝5，可得g(－m)＝－5，所以f(－m)＋3＝－5，可得f(－m)＝－8. 答案：－8 9．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是　_____　. 解析：因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1. 所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. 答案：1 10．已知函数f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f ；(2)若f(x)＝5，求x的值． 解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5, f ＝＋－1＝. (2)因为f(x)＝x2＋x－1＝5，所以x2＋x－6＝0, 所以x＝2或x＝－3. 11．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：B　[由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即0<y≤1.] 12．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为　________　. 解析：由得0≤x≤， 所以函数f(2x)＋f的定义域为. 答案： 13．已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2， 则f(2)＝　________　，f(g(2))＝　________　. 解析：因为f(x)＝，故可得f(2)＝； 又g(x)＝x2＋2，故可得g(2)＝22＋2＝6， 故f(g(2))＝f(6)＝. 答案：　 14．已知函数f(x)＝－. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(12)的值． 解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0， 所以x≥－4且x≠1， 即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f(－1)＝－＝－3－. f(12)＝－＝－4＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$