2.3 不等式的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

2．3　不等式的应用 [学习目标] 1．通过实例，掌握不等式的应用； 2．利用不等式解决一些生活和生产实践中的实际问题． 　一元一次不等式的实际应用 　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 若制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发　________　件，最高产值为　________　万元． [解析]　设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 答案：20　330 利用不等式解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为不等式问题，再通过解不等式求解． [变式训练] 1．某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠(按全票价的60%收费，且全票价为1 200元)． ①设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(写出表达式)； ②就学生数x讨论哪家旅行社更优惠． 解：设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，根据题意，得 ①y甲＝1 200＋1 200×50%×x＝1 200＋600x， y乙＝(x＋1)×1 200×60%＝720(x＋1)＝720x＋720. ②就学生数x讨论哪家旅行社更优惠． 若y甲＞y乙，即1 200＋600x＞720x＋720， 所以120x＜480，解得 x＜4，此时乙旅行社便宜． 若y甲＜y乙，即1 200＋600x＜720x＋720， 解得，x>4，此时甲旅行社便宜． 　　　一元二次不等式在经济生活中的应用 　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) [解]　设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h， 根据题意，得x＋x2>39.5. 移项整理，得x2＋9x－7 110>0. 显然Δ>0，x2＋9x－7 110＝0有两个实数根， 即x1≈－88.94，x2≈79.94. 根据二次函数y＝x2＋9x－7 110的图象， 得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}． 在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． [变式训练] 2．假设国家计划收购m kg某种农副产品，收购价格是每千克12元，其中征税标准是每100元征税8元(称为税率是8%)，为了减轻农民负担，国家决定将税率降低x百分点，预计收购量可增加2x百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定实数x的取值范围． 解：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)kg，税率降低后的税收为12m(1＋2x%)(8－x)%元，原来的税收为12m×8%元． 根据题意，可得12m(1＋2x%)(8－x)%≥12m×8%×78%， 即x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 又x>0，所以0<x≤2， 所以实数x的取值范围是{x|0<x≤2}． 　　　一元二次不等式在几何中的实际应用 　某公园有一个底面是矩形的建筑ABCD，如图，现在要将矩形区域扩大成更大的矩形AMPN，以便在建筑两面种植花草，要求站在点M位置能够看到点N位置，即M，C，N在一条直线上，已知AB＝3米，AD＝2米． 要使矩形AMPN面积大于32 m2，则DN的长应该在什么范围？ [解]　设DN＝x米，则AN＝x＋2，由三角形相似得AM＝，其中x＞0， 则矩形AMPN的面积S＝， 由题意，＞32，即3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜或x＞6， 所以DN的长的取值范围是∪(6，＋∞)． 在实际几何问题中，结合题意，设出其中一条边，结合题中的不等关系，列出不等式，通过解不等式求解问题． [变式训练] 3.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解：设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100. 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 1．小辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．30x－60≥400　　　 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400 解析：B　[x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.] 2．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 解析：B　[由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.] 3．小明有存款600元，小刚有存款2 000元，从本月开始小明每月存款500元，小刚每月存款200元，试问到第几个月，小明的存款能超过小刚的存款(　　) A．4　　B．5　　　C．6　　　D．7 解析：B　[设到第 x个月小明的存款超过小刚的存款，根据题意，得600＋500x＞2 000＋200x,300x＞1 400，解得x＞14/3，因为x为整数，所以x＝5.所以到第 5个月小明的存款超过小刚的存款．] 4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是　________　. 解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000. 答案：4.5 t<28 000 5．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围． 解：由题可知200≥3 000， 化简可得5x2－14x－3≥0， 所以5x2－14x－3≥0⇒x≤－或x≥3， 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. 1．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3 km都需要7元车费)，超过3 km，每增加1 km，加收2.4元(不足1 km按1 km计)．某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元．设此人从A地到B地经过的路程最多是(　　) A．6 km　B．7 km　　C．8 km　　D．9 km 解析：C　[19元－7元＝12元(3 km后收费)， 12÷2.4＝5(超过3 km后行驶距离)，从甲地到乙地所经过的路程最多是3＋5＝8 (km)．] 2．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是5 m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100 m以外的安全地区，导火索长度至少需要(　　) A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．18 cm 解析：B　[设导火索至少需要x cm，根据题意，得x÷0.8≥100/5， 解得x≥16，所以导火索至少需要16 cm.] 3．某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2 000本，如果提价后的单价为x元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是(　　) A．x[8－0.2(x－2.5)]≥20 B．x[80 000－2 000(x－2.5)]≥20 C．x[8－2(x－2.5)]≥20 D．x[80 000－20 000(x－2.5)]≥20 解析：C　[提价后的价格为x元，则提高了(x－2.5)元，则销售减少了×2 000本，即减少了2(x－2.5)万本，实际售出8－2(x－2.5)万本，所以正确选项为C.] 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 解析：B　[设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，(0＜x＜80)，根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，所以当20≤x≤45时，每天获得的利润不少于1 300元，故选B.] 5．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为(　　) A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 解析：C　[设销售价定为每件x元，利润为y元，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，由题意可得(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，所以(x－12)(x－16)＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．] 6．小王家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路．已知小王步行速度为90米/分，跑步速度为210米/分，小王至少需要跑　__________　分钟． 解析：设小王至少要跑x分，根据题意，得90(18－x) ＋210x≥2 100， 整理得120x≥480，解得x≥4，所以小王至少要跑4分钟． 答案：4 7．已知y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)是某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是　________　. 解析：设产量为x(台)，则销售收入为25x万元，总成本为y＝3 000＋20x－0.1x2，由题意可知：若生产者不亏本，则25x≥y，即25x≥3 000＋20x－0.1x2， 整理可得：x2＋50x－30 000≥0，即(x＋200)(x－150)≥0，解得x≥150或x≤－200(舍)，因为0＜x＜240，x∈N*，所以150≤x＜240，x∈N*，所以生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是150台． 答案：150 8．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6 050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6 000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是　_____________　. 解析：由题意，求出摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数为y＝－2x2＋220x，则－2x2＋220x≥6 000，解得50≤x≤60，故应该生产的摩托车数量至少是50辆． 答案：50辆 9．要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉的宽度相同)，中间种草皮．要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是　________　. 解析：设花卉宽度为x m，显然x＜300，则草皮面积为S＝(800－2x)(600－2x)，由(800－2x)，(600－2x)≥×800×600，(x－100)(x－600)≥0， 又0＜x＜300，故解得0＜x≤100. 答案：(0,100] 10．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？ 解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)·R%≥112，即R2－10R＋16≤0，解得2≤R≤8， 所以税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元． 11．某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200 kw·h的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为(　　) A．110 kw·h B．114 kw·h C．118 kw·h D．120 kw·h 解析：C　[设每月峰时段的平均用电量为x kw·h，则谷时段的用电量为(200－x)kw·h； 根据题意，得(0.52－0.55)x＋(0.52－0.35)(200－x)≥200×0.52×10%，解得x≤118. 所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118 kw·h.] 12．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为　____　. 解析：由条件，可知0＜x≤18，因为要求菜园的面积不小于216， 所以x·≥216，所以 答案： 13．某地有一座水库，设计最大容量为128 000 m3.根据预测，汛期时水库的进水量Sn(单位：m3)与天数n(n∈N*)的关系是Sn＝5 000(n＜10)．水库原有水量为80 000 m3，水闸泄水量每天4 000 m3.当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由(水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险)． 解：设第n天发生危险．由题意得 5 000－4 000n＞128 000－80 000， 即n2＋24n－256＞0，得n＞8. 所以汛期的第9天会有危险． 14．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解： (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，所以－42≤x≤2.又因为0<x<10，所以0<x≤2，所以x的取值范围是0<x≤2. 　不等式的性质及应用 实数的大小比较和不等式的性质是重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查比较实数大小及不等式的性质运用． 　(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　　 B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 [解析]　C　[因为c<a且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0，所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立． D成立，因为c<a，所以a－c>0， 所以ac(a－c)<0.] (2)比较3x2－x＋1与2x2＋x－1两个代数式的大小； [解]　因为(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，因此3x2－x＋1＞2x2＋x－1. (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab的取值范围． [解]　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. [变式训练] 1．(1)如果a＞b，那么下列说法正确的是(　　) A．ac＞bc　　　　　　 B．ac2＜bc2 C．ac＝bc D．b－a＜0 解析：D　[因为a＞b，不等式两边同时减去a得0＞b－a，D正确；若c＝0，则A、B错误；若c≠0，C错误．故选D.] (2)已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：因为a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 又a，b均为正实数，当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2＞0，a＋b＞0，则a3＋b3＞a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 　区间表示 用区间表示变量的取值范围，简单，方便，特别是在集合运算中要善于运用区间运算，用区间表示集合时，要注意端点是小括号还是中括号． 　(1)已知集合A＝(－2,4)，B＝[2，＋∞)，则A∩(∁RB)＝(　　) A．(－2,2) B．(－2,4) C．(2,4) D．(－2,2] (2)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，则∁UA＝　___________　. [解析]　(1) ∁RB＝(－∞，2)，A∩(∁RB)＝(－2,2)． (2)因为全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，所以∁UA＝{－3}∪(4，＋∞)． [答案]　(1)A　(2){－3}∪(4，＋∞) [变式训练] 2．设集合A＝(0,2)，B＝，则A∩B＝(　　) A．(0,2] B. C. D. 解析：C　[因为A＝(0,2)，B＝，所以A∩B＝.] 　一元一次不等式(组)的解法 1．解一元一次不等式要考虑未知数系数的正、负，若未知数的系数为负，不等式两边同乘符号要变号． 2．求几个不等式的解集的公共部分的方法： 用数轴表示解集时，大于向右画，小于向左画；不带等号用空心点，带等号用实心点。 　(1)不等式：－≤1的解集为　________　. (2)已知关于x的不等式组的解集是－1＜x＜1，那么(a＋1)(b－2)的值等于　________　. [解析]　(1)去分母2(2x－1)－3(5x＋1)≤6，即4x－2－15x－3≤6 移项4x－15x≤6＋2＋3 合并同类项－11x≤11，所以x≥－1 所以，原不等式的解集为：[－1，＋∞)． (2)解不等式组可得解集为2b＋3＜x＜，因为不等式组的解集为－1＜x＜1，所以2b＋3＝－1，＝1，解得a＝1，b＝－2代入(a＋1)(b－2)＝2×(－4)＝－8. [答案](1)(－1，＋∞)　(2)－8 [变式训练] 3．(1)关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是(　　) A．0　　B．－3　　　C．－2　　　D．－1 (2)能同时满足不等式x＞－1和x＜2的整数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：(1)2x－a≤－1，解不等式得x≤，结合所给数轴，可得＝－1，解得a＝－1.故选D. (2)能同时满足不等式x＞－1和x＜2的解为－1＜x＜2，包含的整数有0,1.故选B. 答案：(1)D　(2)B 　一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． 　(1)不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|x>3或x<－1} C．{x|－3<x<1} D．{x|x>1或x<－3} (2)关于x的不等式x2＋2mx－15m2＜0(m＜0)的解集区间为(a，b)，且b－a＝18，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．－ (3)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} [解析]　(1)原不等式变形为x2－2x－3<0， 即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3. (2)不等式可化为(x＋5m)(x－3m)＜0，因为m＜0，所以不等式的解集为(3m，－5m)， 所以a＝3m，b＝－5m，即b－a＝－8m＝18， 解得m＝－. (3)因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解， 即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0， 解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． [答案]　(1)A　(2)D　(3)A [变式训练] 4．(1)不等式x2＋6x＋10<0的解集是(　　) A．∅ B．R C．{x|x>5} D．{x|x<2} 解析：A　[因为x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0，所以原不等式的解集为∅.] (2)关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是　__________　. 解析：关于x的不等式ax－b＜0，即ax＜b的解集是(1，＋∞)，所以a＝b＜0，所以不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0， 解得－1＜x＜3， 所以所求不等式的解集是(－1,3)． 答案：(－1,3) (3)已知ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集． 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a(x－1)<0. 所以当a>1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解集为. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. 　解绝对值不等式 解绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式． 　解下列绝对值不等式 (1)|2－3x|＜5；(2)1≤|2x－3|＜5； (3)|4x－3|≤x＋1. [解]　(1)由|2－3x|＜5的－5＜2－3x＜5，解得－1＜x＜.原不等式的解集为. (2)由1≤|2x－3|＜5，得1≤2x－3＜5或－5＜2x－3≤－1，解1≤2x－3＜5，得2≤x<4； 解－5＜2x－3≤－1，得－1＜x≤1，原不等式的解集为[2,4)∪(－1,1]． (3)由|4x－3|≤x＋1，得－(x＋1)≤4x－3≤x＋1，解得≤x≤，原不等式的解集为. [变式训练] 5．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}， 求a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2，可化为|x－1|≥2， 由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0， 此不等式化为不等式组或，即或. 由于a＞0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2. 　构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中体现在：(1)一元一次不等式的实际应用；(2)一元二次不等式的实际应用． 　某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． [解]　(1)依题意y＝100·100； 又售价不能低于成本价， 所以100－80≥0，解得x≤2， 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)． (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又x∈{x|0≤x≤2}，所以x的取值范围为≤x≤2. [变式训练] 6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是　________　. 解析：设矩形的另一边长为y m，则由相似三角形的性质知，＝，所以y＝40－x，因为xy≥300， 所以x(40－x)≥300，所以x2－40x＋300≤0， 所以10≤x≤30. 答案：{x|10≤x≤30} 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3 km都需要7元车费)，超过3 km，每增加1 km，加收2.4元(不足1 km按1 km计)．某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元．设此人从A地到B地经过的路程最多是(　　) A．6 km　B．7 km　　C．8 km　　D．9 km 解析：C　[19元－7元＝12元(3 km后收费)， 12÷2.4＝5(超过3 km后行驶距离)，从甲地到乙地所经过的路程最多是3＋5＝8 (km)．] 2．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是5 m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100 m以外的安全地区，导火索长度至少需要(　　) A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．18 cm 解析：B　[设导火索至少需要x cm，根据题意，得x÷0.8≥100/5， 解得x≥16，所以导火索至少需要16 cm.] 3．某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2 000本，如果提价后的单价为x元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是(　　) A．x[8－0.2(x－2.5)]≥20 B．x[80 000－2 000(x－2.5)]≥20 C．x[8－2(x－2.5)]≥20 D．x[80 000－20 000(x－2.5)]≥20 解析：C　[提价后的价格为x元，则提高了(x－2.5)元，则销售减少了×2 000本，即减少了2(x－2.5)万本，实际售出8－2(x－2.5)万本，所以正确选项为C.] 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 解析：B　[设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，(0＜x＜80)，根据题意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，所以当20≤x≤45时，每天获得的利润不少于1 300元，故选B.] 5．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为(　　) A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 解析：C　[设销售价定为每件x元，利润为y元，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，由题意可得(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，所以(x－12)(x－16)＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．] 6．小王家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路．已知小王步行速度为90米/分，跑步速度为210米/分，小王至少需要跑　__________　分钟． 解析：设小王至少要跑x分，根据题意，得90(18－x) ＋210x≥2 100， 整理得120x≥480，解得x≥4，所以小王至少要跑4分钟． 答案：4 7．已知y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)是某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是　________　. 解析：设产量为x(台)，则销售收入为25x万元，总成本为y＝3 000＋20x－0.1x2，由题意可知：若生产者不亏本，则25x≥y，即25x≥3 000＋20x－0.1x2， 整理可得：x2＋50x－30 000≥0，即(x＋200)(x－150)≥0，解得x≥150或x≤－200(舍)，因为0＜x＜240，x∈N*，所以150≤x＜240，x∈N*，所以生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是150台． 答案：150 8．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6 050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6 000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是　_____________　. 解析：由题意，求出摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数为y＝－2x2＋220x，则－2x2＋220x≥6 000，解得50≤x≤60，故应该生产的摩托车数量至少是50辆． 答案：50辆 9．要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉的宽度相同)，中间种草皮．要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是　________　. 解析：设花卉宽度为x m，显然x＜300，则草皮面积为S＝(800－2x)(600－2x)，由(800－2x)，(600－2x)≥×800×600，(x－100)(x－600)≥0， 又0＜x＜300，故解得0＜x≤100. 答案：(0,100] 10．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？ 解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)·R%≥112，即R2－10R＋16≤0，解得2≤R≤8， 所以税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元． 11．某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200 kw·h的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为(　　) A．110 kw·h B．114 kw·h C．118 kw·h D．120 kw·h 解析：C　[设每月峰时段的平均用电量为x kw·h，则谷时段的用电量为(200－x)kw·h； 根据题意，得(0.52－0.55)x＋(0.52－0.35)(200－x)≥200×0.52×10%，解得x≤118. 所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118 kw·h.] 12．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为　____　. 解析：由条件，可知0＜x≤18，因为要求菜园的面积不小于216， 所以x·≥216，所以 答案： 13．某地有一座水库，设计最大容量为128 000 m3.根据预测，汛期时水库的进水量Sn(单位：m3)与天数n(n∈N*)的关系是Sn＝5 000(n＜10)．水库原有水量为80 000 m3，水闸泄水量每天4 000 m3.当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由(水库水量超过最大容量，堤坝就会发生危险)． 解：设第n天发生危险．由题意得 5 000－4 000n＞128 000－80 000， 即n2＋24n－256＞0，得n＞8. 所以汛期的第9天会有危险． 14．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解： (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，所以－42≤x≤2.又因为0<x<10，所以0<x≤2，所以x的取值范围是0<x≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $$2．3　不等式的应用 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课堂·互动学案 01 随堂·步步夯实 02 课后·素养提升 03 章末归纳提升 04 第二章 不等式 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 [学习目标] 1．通过实例，掌握不等式的应用； 2．利用不等式解决一些生活和生产实践中的实际问题． 　一元一次不等式的实际应用 　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 eq \f(1,2) 7.5 B类 eq \f(1,3) 6 若制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发　________　件，最高产值为　________　万元． [解析]　设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得eq \f(x,2)＋eq \f(50－x,3)≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 答案：20　330 利用不等式解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为不等式问题，再通过解不等式求解． [变式训练] 1．某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠(按全票价的60%收费，且全票价为1 200元)． ①设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(写出表达式)； ②就学生数x讨论哪家旅行社更优惠． 解：设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，根据题意，得①y甲＝1 200＋1 200×50%×x＝1 200＋600x， y乙＝(x＋1)×1 200×60%＝720(x＋1)＝720x＋720. ②就学生数x讨论哪家旅行社更优惠． 若y甲＞y乙，即1 200＋600x＞720x＋720， 所以120x＜480，解得 x＜4，此时乙旅行社便宜． 若y甲＜y乙，即1 200＋600x＜720x＋720， 解得，x>4，此时甲旅行社便宜． 　　　一元二次不等式在经济生活中的应用 　某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝eq \f(1,20)x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) [解]　设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h， 根据题意，得eq \f(1,20)x＋eq \f(1,180)x2>39.5. 移项整理，得x2＋9x－7 110>0. 显然Δ>0，x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94. 根据二次函数y＝x2＋9x－7 110的图象， 得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}．在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． [变式训练] 2．假设国家计划收购m kg某种农副产品，收购价格是每千克12元，其中征税标准是每100元征税8元(称为税率是8%)，为了减轻农民负担，国家决定将税率降低x百分点，预计收购量可增加2x百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定实数x的取值范围． 解：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)kg，税率降低后的税收为12m(1＋2x%)(8－x)%元，原来的税收为12m×8%元． 根据题意，可得12m(1＋2x%)(8－x)%≥12m×8%×78%， 即x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 又x>0，所以0<x≤2， 所以实数x的取值范围是{x|0<x≤2}． 　　一元二次不等式在几何中的实际应用 　某公园有一个底面是矩形的建筑ABCD，如图，现在要将矩形区域扩大成更大的矩形AMPN，以便在建筑两面种植花草，要求站在点M位置能够看到点N位置，即M，C，N在一条直线上，已知AB＝3米，AD＝2米． 要使矩形AMPN面积大于32 m2，则DN的长应该在什么范围？ [解]　设DN＝x米，则AN＝x＋2，由三角形相似得AM＝eq \f(3x＋2,x)，其中x＞0，则矩形AMPN的面积S＝eq \f(3x＋22,x)， 由题意，eq \f(3x＋22,x)＞32，即3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜eq \f(2,3)或x＞6， 所以DN的长的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(6，＋∞)． 在实际几何问题中，结合题意，设出其中一条边，结合题中的不等关系，列出不等式，通过解不等式求解问题． [变式训练] 3.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解：设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100. 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 1．小辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．30x－60≥400　　　 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400 解析：B　[x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.] 2．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 解析：B　[由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.] 3．小明有存款600元，小刚有存款2 000元，从本月开始小明每月存款500元，小刚每月存款200元，试问到第几个月，小明的存款能超过小刚的存款(　　) A．4　　B．5　　　C．6　　　D．7 解析：B　[设到第 x个月小明的存款超过小刚的存款，根据题意，得600＋500x＞2 000＋200x,300x＞1 400，解得x＞14/3，因为x为整数，所以x＝5.所以到第 5个月小明的存款超过小刚的存款．] 4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是　________　. 解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000. 答案：4.5 t<28 000 5．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围． 解：由题可知200eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3 000， 化简可得5x2－14x－3≥0， 所以5x2－14x－3≥0⇒x≤－eq \f(1,5)或x≥3， 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. 　不等式的性质及应用 实数的大小比较和不等式的性质是重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查比较实数大小及不等式的性质运用． 　(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　　 B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 [解析]　C　[因为c<a且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0，所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立． D成立，因为c<a，所以a－c>0， 所以ac(a－c)<0.] (2)比较3x2－x＋1与2x2＋x－1两个代数式的大小； [解]　因为(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，因此3x2－x＋1＞2x2＋x－1. (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab的取值范围． [解]　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. [变式训练] 1．(1)如果a＞b，那么下列说法正确的是(　　) A．ac＞bc　　　　　　 B．ac2＜bc2 C．ac＝bc D．b－a＜0 解析：D　[因为a＞b，不等式两边同时减去a得0＞b－a，D正确；若c＝0，则A、B错误；若c≠0，C错误．故选D.] (2)已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：因为a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 又a，b均为正实数，当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2＞0，a＋b＞0，则a3＋b3＞a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 　区间表示 用区间表示变量的取值范围，简单，方便，特别是在集合运算中要善于运用区间运算，用区间表示集合时，要注意端点是小括号还是中括号． 　(1)已知集合A＝(－2,4)，B＝[2，＋∞)，则A∩(∁RB)＝(　　) A．(－2,2) B．(－2,4) C．(2,4) D．(－2,2] (2)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，则∁UA＝　___________　. [解析]　(1) ∁RB＝(－∞，2)，A∩(∁RB)＝(－2,2)． (2)因为全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，所以∁UA＝{－3}∪(4，＋∞)． [答案]　(1)A　(2){－3}∪(4，＋∞) [变式训练] 2．设集合A＝(0,2)，B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则A∩B＝(　　) A．(0,2] B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) 解析：C　[因为A＝(0,2)，B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，所以A∩B＝eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).] 　一元一次不等式(组)的解法 1．解一元一次不等式要考虑未知数系数的正、负，若未知数的系数为负，不等式两边同乘符号要变号． 2．求几个不等式的解集的公共部分的方法： 用数轴表示解集时，大于向右画，小于向左画；不带等号用空心点，带等号用实心点。 　(1)不等式：eq \f(2x－1,3)－eq \f(5x＋1,2)≤1的解集为　________　. (2)已知关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－a＜1,x－2b＞3))的解集是－1＜x＜1，那么(a＋1)(b－2)的值等于　________　. [解析]　(1)去分母2(2x－1)－3(5x＋1)≤6，即4x－2－15x－3≤6 移项4x－15x≤6＋2＋3 合并同类项－11x≤11，所以x≥－1 所以，原不等式的解集为：[－1，＋∞)． (2)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－a＜1,x－2b＞3))可得解集为2b＋3＜x＜eq \f(a＋1,2)，因为不等式组的解集为－1＜x＜1，所以2b＋3＝－1，eq \f(a＋1,2)＝1，解得a＝1，b＝－2代入(a＋1)(b－2)＝2×(－4)＝－8. [答案](1)(－1，＋∞)　(2)－8 [变式训练] 3．(1)关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是(　　) A．0　　B．－3　　　C．－2　　　D．－1 (2)能同时满足不等式x＞－1和x＜2的整数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：(1)2x－a≤－1，解不等式得x≤eq \f(a－1,2)，结合所给数轴，可得eq \f(a－1,2)＝－1，解得a＝－1.故选D. (2)能同时满足不等式x＞－1和x＜2的解为－1＜x＜2，包含的整数有0,1.故选B. 答案：(1)D　(2)B 　一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． 　(1)不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|x>3或x<－1} C．{x|－3<x<1} D．{x|x>1或x<－3} (2)关于x的不等式x2＋2mx－15m2＜0(m＜0)的解集区间为(a，b)，且b－a＝18，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．－eq \f(9,2) D．－eq \f(9,4) (3)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} [解析]　(1)原不等式变形为x2－2x－3<0， 即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3. (2)不等式可化为(x＋5m)(x－3m)＜0，因为m＜0，所以不等式的解集为(3m，－5m)， 所以a＝3m，b＝－5m，即b－a＝－8m＝18， 解得m＝－eq \f(9,4). (3)因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解， 即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0， 解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． [答案]　(1)A　(2)D　(3)A [变式训练] 4．(1)不等式x2＋6x＋10<0的解集是(　　) A．∅ B．R C．{x|x>5} D．{x|x<2} 解析：A　[因为x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0，所以原不等式的解集为∅.] (2)关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是　__________　. 解析：关于x的不等式ax－b＜0，即ax＜b的解集是(1，＋∞)，所以a＝b＜0，所以不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0， 解得－1＜x＜3， 所以所求不等式的解集是(－1,3)． 答案：(－1,3) (3)已知ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集． 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0. 所以当a>1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)＜x＜1))；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜\f(1,a))). 综上，当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜\f(1,a)))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)＜x＜1)). 　解绝对值不等式 解绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式． 　解下列绝对值不等式 (1)|2－3x|＜5；(2)1≤|2x－3|＜5； (3)|4x－3|≤x＋1. [解]　(1)由|2－3x|＜5的－5＜2－3x＜5，解得－1＜x＜eq \f(7,3).原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1＜x＜\f(7,3))). (2)由1≤|2x－3|＜5，得1≤2x－3＜5或－5＜2x－3≤－1，解1≤2x－3＜5，得2≤x<4；解－5＜2x－3≤－1，得－1＜x≤1，原不等式的解集为[2,4)∪(－1,1]． (3)由|4x－3|≤x＋1，得－(x＋1)≤4x－3≤x＋1，解得eq \f(2,5)≤x≤eq \f(4,3)，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,5)≤x≤\f(4,3))). [变式训练] 5．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}， 求a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2，可化为|x－1|≥2， 由此可得x≥3或x≤－1，故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0，此不等式化为不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥a,x－a＋3x≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤a,a－x＋3x≤0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥a,x≤\f(a,4)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤a,x≤－\f(a,2))). 由于a＞0，所以不等式组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(a,2))).由题设可得－eq \f(a,2)＝－1，故a＝2. 　构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中体现在：(1)一元一次不等式的实际应用；(2)一元二次不等式的实际应用． 　某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加eq \f(8,5)x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． [解]　(1)依题意y＝100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))·100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(8,50)x))； 又售价不能低于成本价，所以100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))－80≥0，解得x≤2， 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)． (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得eq \f(1,2)≤x≤eq \f(13,4). 又x∈{x|0≤x≤2}，所以x的取值范围为eq \f(1,2)≤x≤2. [变式训练] 6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是　________　. $$