2.2.4 含绝对值的不等式（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}，则集合A∩B＝(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(0,1] C．(1,2) D．[1,2) 解析：B　[由|x|≤1，得－1≤x≤1，所以B＝{x|－1≤x≤1}，因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．] 2．设集合A＝{1,3}，B＝{x||x－2|＜2}，则A∩B＝(　　) A．{1,3} B．{3} C．{1,2,3} D．{1,2} 解析：A　[因为A＝{1,3}，B＝{x|－2＜x－2＜2}＝{x|0＜x＜4}，所以A∩B＝{1,3}．] 3．若|x|≥－x，则(　　) A．x＝0 B．x≥0 C．x≤0 D．x∈R 解析：D　[当x≤0时，|x|＝－x，不等式成立；当x＞0时，|x|≥－x，不等式成立．所以|x|≥－x的解集为R.] 4．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝(　　) A．∅ B．{－3，－2,2,3} C．{－2,2} D．{2} 解析：D　[由|x|＜3，得－3＜x＜3，所以A＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，由|y|＞1，得y＜－1或y＞1，所以B＝{y|y＞1，y∈N}，所以A∩B＝{2}．] 5．已知|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则实数a，b的值是(　　) A．a＝－3，b＝6 B．a＝－3，b＝－6 C．a＝6，b＝3 D．a＝3，b＝6 解析：D　[由题得－b＜x－a＜b，所以a－b＜x＜a＋b，因为|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，所以 a－b＝－3且a＋b＝9，所以a＝3，b＝6.故选D.] 6．不等式|7－3x|＞0的解集是　______　. 解析：由题知|7－3x|＞0，即7－3x≠0，x≠，所以不等式的解集是∪. 答案：∪ 7．不等式|x－1|＞－3的解集是　__________　. 解析：由于任何数的绝对值都大于等于0，可知|x－1|≥0，则|x－1|＞－3恒成立，故不等式|x－1|＞－3的解集是R. 答案：R 8．设集合A＝{x||2x＋1|＜3}，B＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}，则A∩(∁RB)＝　__________　. 解析：A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，于是得∁RB＝[－1,2]，则A∩(∁RB)＝(－2,1)∩[－1,2]＝[－1,1)． 答案：[－1,1) 9．不等式1≤|x－2|≤7的实数解集为　_________　. 解析：不等式1≤|x－2|≤7等价于， 则，解得3≤x≤9或－5≤x≤1，所以不等式1≤|x－2|≤7的实数解集为[－5,1]∪[3,9]． 答案：[－5,1]∪[3,9] 10．设a＞0，当a为何值时，不等式|x＋1|≥a的解集为(－∞，－6]∪[4，＋∞)． 解：因为a＞0，所以不等式|x＋1|≥a的解集为x≥a－1或x≤－a－1，又因为原不等式|x＋1|≥a的解集为(－∞，－6]∪[4，＋∞)，所以－a－1＝－6，a－1＝4，解得a＝5. 11．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x－a≤0}，且A∩B≠∅，那么实数a的取值范围是(　　) A．a≤－1 B．a≤1 C．a≥－1 D．a≥1 解析：C　[由|x|≤1，得－1≤x≤1，所以A＝{x|－1≤x≤1}，由x－a≤0，得x≤a，所以B＝{x|x≤a}，因为A∩B≠∅，所以a≥－1.] 12．下列不等式中有解的是(　　) A.2＋＜ B．(x＋3)2＜0 C．－(x＋1)2＞0 D．(x＋a)2≥1 解析：D　[根据题意，对选项依次判断． 对选项A：2＋＜即2＜－， 无解，故A不正确． 对选项B：(x＋3)2＜0，无解，选项B不正确． 对选项C：－(x＋1)2＞0即(x＋1)2＜0，无解，于是选项C不正确。 对选项D：(x＋a)2≥1，所以|x＋a|≥1，所以x＋a≥1或x＋a≤－1，即x≥1－a或x≤－1－a，有解，故选项D正确．] 13．若不等式|x＋a|≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为　_________　. 解析：由|x＋a|≤3，得－a－3≤x≤－a＋3，又不等式|x＋a|≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以，解得a＝－2. 14．解关于x的不等式|2x＋3|－1＜a. 解：原不等式变为|2x＋3|＜a＋1. (1)当a≤－1时，a＋1≤0，原不等式无解； (2)当a＞－1时，－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1， 解得－－2＜x＜－1. 综上所述，当a≤－1时，原不等式无解； 当a＞－1时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．2.4　含绝对值的不等式 [学习目标] 1．理解含绝对值不等式|x|＜a或|x|＞a的解法； 2．了解|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c的解法． 如图所示，在温度适宜的情况下，某种水果的最佳保鲜温度是0 ℃.当该水果所处的环境温度与最佳保鲜温度的温差大于3 ℃时，这种水果会很快变质． [问题]　能否用含绝对值的不等式表示这种水果的保鲜温度的范围呢？ 提示：|x|≤3. [知识点一]　绝对值不等式的概念　 1．实数的绝对值： 在实数集中，对任意实数a，|a|＝， 实数a的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离． 2．绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 [知识点二]　绝对值不等式：|x|＜m，|x|＞m，|x|≤m，|x|≥m(m＞0)的解集　 不等式 数轴表示 区间表示 |x|≤m [－m，m] |x|＜m (－m，m) |x|≥m (－∞，－m]∪[m，＋∞) |x|＞m (－∞，－m)∪(m，＋∞) 1.绝对值|x|＝2代表的几何含义？ 提示：　可看作|x－0|＝2，代表x到原点0的距离为2，那么x只能为－2,2. 2．绝对值|x|<2代表的几何含义？ 提示：　可看作|x－0|<2，表示x到原点距离小于2的数字． [知识点三]　不等式|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c(c＞0)的解集　 1．一般地，形如|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c(c＞0)的不等式可以通过令t＝ax＋b，将不等式化简为|t|＜c或|t|＞c(c＞0)的方法求解，这种方法称为“变量替换”法．在用“变量替换法”解题时，可以省略变量替换的书写过程． 2．(1)|ax＋b|＜c⇔－c＜ax＋b＜c， (2)|ax＋b|＞c⇔ax＋b＜－c或ax＋b＞c. 3.不等式|2x＋1|＜3如何求解？ 提示：其解集为{x|－3＜2x＋1＜3}． [知识点四]　用配方法求解一元二次不等式　 一般地，一元二次不等式可以通过配方化为x2>m2和x2＜m2(m>0)的形式，转化为含有绝对值的不等式求解．如下： 当m>0时，对于任意x∈R，都有x2>m2⇔|x|>m⇔x＜－m或x>m； x2＜m2⇔|x|＜m⇔＜－m＜x＜m. 1．若集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{x||x|＞2}，则集合A∪B＝(　　) A．{x|x≥1} B．{x|x＞1或x＜－2} C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x＜－2或x≥1} 解析：D　[由题意知，A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2或x＜－2}，所以A∪B＝{x|x＜－2，或x≥1}．] 2．不等式|5x＋3|≤0的解集为(　　) A．R　　　　　　　 B. C．∅ D. 解析：D　[因为|5x＋3|≥0，所以|5x＋3|≤0，即|5x＋3|＝0，解之得x＝－，所以不等式|5x＋3|≤0的解集为.] 3．不等式|x|＞1的解集为　________　； 解析：因为|x|＞1，所以x＞1或x＜－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．不等式|x|＜－3的解集是　__________　. 解析：根据任何数的绝对值都大于等于0，所以不可能 |x|<－3，即解集为∅. 答案：∅ 　简单绝对值不等式的解法 　解下列各不等式： (1)3|x|－1＞0；(2)2|x|≤6. [解]　(1)由不等式3|x|－1＞0，得3|x|＞1， 即|x|＞，所以原不等式的解集为∪. (2)由不等式2|x|≤6，得|x|≤3，所以原不等式的解集为[－3,3]． 对于基本的绝对值不等式|x|<a，|x|>a，|x|≤a，|x|≥a.求解步骤：第一步：求出|x|＝a对应的两个解－a，a； 第二步：按照规律(结合几何意义)，大于取两边，小于取中间． [变式训练] 1．解下列各不等式： (1)2|x|≥8；(2)2.6＞|x|；(3)0＜|x|－1. 解：(1)由不等式2|x|≥8，得|x|≥4，所以原不等式的解集为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (2)由不等式2.6＞|x|，即|x|<2.6，所以原不等式的解集为(－2.6,2.6)． (3)由不等式0＜|x|－1，得|x|>1 ，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 　复杂绝对值不等式的解法 　(1) 解不等式|x－2|＜1； (2)解不等式组； (3)解不等式|4x－3|＞2x＋1. [解]　(1)由题意，原不等式等价于－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以原不等式的解集为{x|1＜x＜3}． (2)由|2－x|－4≤0，得－4≤2－x≤4， 解得－2≤x≤6，① 由5－|1＋3x|＞2，得|1＋3x|＜3，即－3＜1＋3x＜3，解得－＜x＜，② 由①②得，－＜x＜，所以原不等式的解集为. (3)因为|4x－3|＞2x＋1，所以4x－3＞2x＋1或4x－3＜－(2x＋1)，解得x＜或x＞2，所以原不等式的解集为. (1)|ax＋b|＜c(c＞0)⇔－c＜ax＋b＜c(小于号取中间) (2)|ax＋b|＞c(c＞0)⇔ax＋b＜－c或ax＋b＞c(大于号取两边) (3)|ax＋b|＞cx＋d⇔ax＋b＜－(cx＋d)或ax＋b＞cx＋d(大于号取两边)或用零点分段法分类讨论． [变式训练] 2．解不等式：(1)|x－10|＜3；(2)|2x－5|＞2； (3)|3－2x|≤5; (4)1≤|2x－1|＜5. 解：(1)由题意，－3＜x－10＜3，解得7＜x＜13，所以原不等式的解集为{x|7＜x＜13}． (2)由题意，2x－5＞2或2x－5＜－2，解得x＞或x＜，所以原不等式的解集为. (3)由题意，－5≤3－2x≤5，解得－1≤x≤4，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}． (4)因为1≤|2x－1|＜5所以1≤2x－1＜5或－5＜2x－1≤－1，解得－2＜x≤0或1≤x＜3，所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤0或1≤x＜3}． 　特殊绝对值不等式的解法 　解下列各不等式：(特殊不等式) (1)3＜x＜1；(2)|x|<－1；(3)|x|>－1. [解]　(1)中x找不到一个数满足“3<x<1”，即x∈∅. (2)方法1：x找不到一个数满足“|x|<－1”，即x∈∅. 方法2：套公式“|x|<a的解集为x∈(－a，a)”依然成立|x|<－1中a＝－1，所以－(－1)<x<－1，即1<x<－1，所以解集为x∈∅. (3)x取任何数都满足“|x|>－1”，即x∈R. 1．解不等式的本质就是找到满足不等式的所有解． 2．|x|<a的解集为x∈(－a，a)(小于取中间) |x|>a的解集为x∈(－∞，－a)∪(a，＋∞)(大于取两边) 这个公式在a取任何值时都成立，不局限于a>0. [变式训练] 3．解下列不等式 (1)|x|≤0；(2)|x|<0；(3)|x|≥0；(4)|x|>0. 解：(1)x∈{0}，(2)x∈∅，(3)x∈R，(4){x|x≠0}． 4．解不等式：|4x－3|≤x＋1. 解：由|4x－3|≤x＋1，得－(x＋1)≤4x－3≤x＋1，解得≤x≤，所以原不等式的解集为. 　利用配方法求解一元二次不等式 　利用配方法求解下列一元二次不等式 (1)2x2－3x＋1≤0；(2)－x2－5x＋6＜0；(3)4x2－4x＋1＞0；(4)x2－6x＋9≤0. [解]　(1)由2x2－3x＋1≤0，配方得2≤，所以≤， 所以－≤x－≤，解得≤x≤1，所以不等式的解集为. (2)由－x2－5x＋6＜0，得x2＋5x－6＞0，配方得2＞，所以>， 所以x＋＜－或x＋＞，解得x＜－6或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜－6或x＞1}． (3)由4x2－4x＋1＞0，配方得(2x－1)2＞0，|2x－1|＞0，解得x≠， 所以不等式的解集为. (4)由x2－6x＋9≤0，得(x－3)2≤0，解得x＝3，所以不等式的解集为{x|x＝3}． [答案]　(1)　(2){x|x＜－6或x＞1}　(3)　(4)x＝3 利用配方法求解一元二次不等式可以避免因式分解带来的难度，为我们提供了另外一种求解一元二次不等式的方法，简单易学． [变式训练] 5．利用配方法求解下列一元二次不等式 (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0. 解：(1) 2x2－3x－2>0，配方得2>，所以>，x－>或x－＜－，解得x＜－或x>2， 所以不等式2x2－3x－2>0的解集为. (2)x2－4x＋4>0，配方得(x－2)2＞0，所以|x－2|>0，所以x≠2， 所以不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}． (3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，配方得(x－1)2＞－2， 所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R. 1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合A∪B等于(　　) A．{x|1≤x≤2}　　 B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≥－2} 解析：C　[集合A＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∪B＝{x|x≤2}．] 2．如果|－2a|＝－2a，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0 解析：C　[因为|－2a|＝－2a，所以－2a≥0， 所以a≤0.] 3．|x－1|＜5的解集是(　　) A．(－6,4) B．(－4,6) C．(－∞，－6)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(6，＋∞) 解析：B　[由|x－1|＜5，得－5＜x－1＜5， 解得－4＜x＜6.所以不等式的解集为(－4,6)．] 4．不等式|x2－2|＜2的解集是　______　. 解析：由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，所以0＜x2＜4，则－2＜x＜2且x≠0. 答案：(－2,0)∪(0,2) 5．解不等式1＜|x＋1|＜3. 解：由1<|x＋1|<3得1<|x＋1|2<9 即，即，解得－4＜x＜－2或0＜x＜2，即原不等式的解集为{x|－4＜x＜－2或0＜x＜2}． 1．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}，则集合A∩B＝(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(0,1] C．(1,2) D．[1,2) 解析：B　[由|x|≤1，得－1≤x≤1，所以B＝{x|－1≤x≤1}，因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．] 2．设集合A＝{1,3}，B＝{x||x－2|＜2}，则A∩B＝(　　) A．{1,3} B．{3} C．{1,2,3} D．{1,2} 解析：A　[因为A＝{1,3}，B＝{x|－2＜x－2＜2}＝{x|0＜x＜4}，所以A∩B＝{1,3}．] 3．若|x|≥－x，则(　　) A．x＝0 B．x≥0 C．x≤0 D．x∈R 解析：D　[当x≤0时，|x|＝－x，不等式成立；当x＞0时，|x|≥－x，不等式成立．所以|x|≥－x的解集为R.] 4．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝(　　) A．∅ B．{－3，－2,2,3} C．{－2,2} D．{2} 解析：D　[由|x|＜3，得－3＜x＜3，所以A＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，由|y|＞1，得y＜－1或y＞1，所以B＝{y|y＞1，y∈N}，所以A∩B＝{2}．] 5．已知|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则实数a，b的值是(　　) A．a＝－3，b＝6 B．a＝－3，b＝－6 C．a＝6，b＝3 D．a＝3，b＝6 解析：D　[由题得－b＜x－a＜b，所以a－b＜x＜a＋b，因为|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，所以 a－b＝－3且a＋b＝9，所以a＝3，b＝6.故选D.] 6．不等式|7－3x|＞0的解集是　______　. 解析：由题知|7－3x|＞0，即7－3x≠0，x≠，所以不等式的解集是∪. 答案：∪ 7．不等式|x－1|＞－3的解集是　__________　. 解析：由于任何数的绝对值都大于等于0，可知|x－1|≥0，则|x－1|＞－3恒成立，故不等式|x－1|＞－3的解集是R. 答案：R 8．设集合A＝{x||2x＋1|＜3}，B＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}，则A∩(∁RB)＝　__________　. 解析：A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，于是得∁RB＝[－1,2]，则A∩(∁RB)＝(－2,1)∩[－1,2]＝[－1,1)． 答案：[－1,1) 9．不等式1≤|x－2|≤7的实数解集为　_________　. 解析：不等式1≤|x－2|≤7等价于， 则，解得3≤x≤9或－5≤x≤1，所以不等式1≤|x－2|≤7的实数解集为[－5,1]∪[3,9]． 答案：[－5,1]∪[3,9] 10．设a＞0，当a为何值时，不等式|x＋1|≥a的解集为(－∞，－6]∪[4，＋∞)． 解：因为a＞0，所以不等式|x＋1|≥a的解集为x≥a－1或x≤－a－1，又因为原不等式|x＋1|≥a的解集为(－∞，－6]∪[4，＋∞)，所以－a－1＝－6，a－1＝4，解得a＝5. 11．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x－a≤0}，且A∩B≠∅，那么实数a的取值范围是(　　) A．a≤－1 B．a≤1 C．a≥－1 D．a≥1 解析：C　[由|x|≤1，得－1≤x≤1，所以A＝{x|－1≤x≤1}，由x－a≤0，得x≤a，所以B＝{x|x≤a}，因为A∩B≠∅，所以a≥－1.] 12．下列不等式中有解的是(　　) A.2＋＜ B．(x＋3)2＜0 C．－(x＋1)2＞0 D．(x＋a)2≥1 解析：D　[根据题意，对选项依次判断． 对选项A：2＋＜即2＜－， 无解，故A不正确． 对选项B：(x＋3)2＜0，无解，选项B不正确． 对选项C：－(x＋1)2＞0即(x＋1)2＜0，无解，于是选项C不正确。 对选项D：(x＋a)2≥1，所以|x＋a|≥1，所以x＋a≥1或x＋a≤－1，即x≥1－a或x≤－1－a，有解，故选项D正确．] 13．若不等式|x＋a|≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为　_________　. 解析：由|x＋a|≤3，得－a－3≤x≤－a＋3，又不等式|x＋a|≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以，解得a＝－2. 14．解关于x的不等式|2x＋3|－1＜a. 解：原不等式变为|2x＋3|＜a＋1. (1)当a≤－1时，a＋1≤0，原不等式无解； (2)当a＞－1时，－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1， 解得－－2＜x＜－1. 综上所述，当a≤－1时，原不等式无解； 当a＞－1时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$2．2.4　含绝对值的不等式 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第二章 不等式 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 [学习目标] 1．理解含绝对值不等式|x|＜a或|x|＞a的解法； 2．了解|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c的解法． 如图所示，在温度适宜的情况下，某种水果的最佳保鲜温度是0 ℃.当该水果所处的环境温度与最佳保鲜温度的温差大于3 ℃时，这种水果会很快变质． [问题]　能否用含绝对值的不等式表示这种水果的保鲜温度的范围呢？ 提示：|x|≤3. [知识点一]　绝对值不等式的概念　 1．实数的绝对值： 在实数集中，对任意实数a，|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a＞0,0，a＝0,－a，a＜0))， 实数a的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离． 2．绝对值不等式的概念 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式 [知识点二]　绝对值不等式：|x|＜m，|x|＞m，|x|≤m，|x|≥m(m＞0)的解集　 不等式 数轴表示 区间表示 |x|≤m [－m，m] |x|＜m (－m，m) |x|≥m (－∞，－m]∪[m，＋∞) |x|＞m (－∞，－m)∪(m，＋∞) 1.绝对值|x|＝2代表的几何含义？ 提示：　可看作|x－0|＝2，代表x到原点0的距离为2，那么x只能为－2,2. 2．绝对值|x|<2代表的几何含义？ 提示：　可看作|x－0|<2，表示x到原点距离小于2的数字． [知识点三]　不等式|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c(c＞0)的解集　 1．一般地，形如|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c(c＞0)的不等式可以通过令t＝ax＋b，将不等式化简为|t|＜c或|t|＞c(c＞0)的方法求解，这种方法称为“变量替换”法．在用“变量替换法”解题时，可以省略变量替换的书写过程． 2．(1)|ax＋b|＜c⇔－c＜ax＋b＜c， (2)|ax＋b|＞c⇔ax＋b＜－c或ax＋b＞c. 3.不等式|2x＋1|＜3如何求解？ 提示：其解集为{x|－3＜2x＋1＜3}． [知识点四]　用配方法求解一元二次不等式　 一般地，一元二次不等式可以通过配方化为x2>m2和x2＜m2(m>0)的形式，转化为含有绝对值的不等式求解．如下： 当m>0时，对于任意x∈R，都有x2>m2⇔|x|>m⇔x＜－m或x>m； x2＜m2⇔|x|＜m⇔＜－m＜x＜m. 1．若集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{x||x|＞2}，则集合A∪B＝(　　) A．{x|x≥1} B．{x|x＞1或x＜－2} C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x＜－2或x≥1} 解析：D　[由题意知，A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞2或x＜－2}，所以A∪B＝{x|x＜－2，或x≥1}．] 2．不等式|5x＋3|≤0的解集为(　　) A．R　　　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，＋∞)) C．∅ D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) 解析：D　[因为|5x＋3|≥0，所以|5x＋3|≤0，即|5x＋3|＝0，解之得x＝－eq \f(3,5)，所以不等式|5x＋3|≤0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))).] 3．不等式|x|＞1的解集为　________　； 解析：因为|x|＞1，所以x＞1或x＜－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．不等式|x|＜－3的解集是　__________　. 解析：根据任何数的绝对值都大于等于0，所以不可能 |x|<－3，即解集为∅. 答案：∅ 　简单绝对值不等式的解法 　解下列各不等式： (1)3|x|－1＞0；(2)2|x|≤6. [解]　(1)由不等式3|x|－1＞0，得3|x|＞1， 即|x|＞eq \f(1,3)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)). (2)由不等式2|x|≤6，得|x|≤3，所以原不等式的解集为[－3,3]． 对于基本的绝对值不等式|x|<a，|x|>a，|x|≤a，|x|≥a.求解步骤：第一步：求出|x|＝a对应的两个解－a，a； 第二步：按照规律(结合几何意义)，大于取两边，小于取中间． [变式训练] 1．解下列各不等式： (1)2|x|≥8；(2)2.6＞|x|；(3)0＜|x|－1. 解：(1)由不等式2|x|≥8，得|x|≥4，所以原不等式的解集为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (2)由不等式2.6＞|x|，即|x|<2.6，所以原不等式的解集为(－2.6,2.6)． (3)由不等式0＜|x|－1，得|x|>1 ，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 　复杂绝对值不等式的解法 　(1) 解不等式|x－2|＜1； (2)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|2－x|－4≤0,5－|1＋3x|＞2))； (3)解不等式|4x－3|＞2x＋1. [解]　(1)由题意，原不等式等价于－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以原不等式的解集为{x|1＜x＜3}． (2)由|2－x|－4≤0，得－4≤2－x≤4， 解得－2≤x≤6，① 由5－|1＋3x|＞2，得|1＋3x|＜3，即－3＜1＋3x＜3，解得－eq \f(4,3)＜x＜eq \f(2,3)，② 由①②得，－eq \f(4,3)＜x＜eq \f(2,3)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(4,3)＜x＜\f(2,3))). (3)因为|4x－3|＞2x＋1，所以4x－3＞2x＋1或4x－3＜－(2x＋1)，解得x＜eq \f(1,3)或x＞2，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,3)或x＞2)). (1)|ax＋b|＜c(c＞0)⇔－c＜ax＋b＜c(小于号取中间) (2)|ax＋b|＞c(c＞0)⇔ax＋b＜－c或ax＋b＞c(大于号取两边) (3)|ax＋b|＞cx＋d⇔ax＋b＜－(cx＋d)或ax＋b＞cx＋d(大于号取两边)或用零点分段法分类讨论． [变式训练] 2．解不等式：(1)|x－10|＜3；(2)|2x－5|＞2； (3)|3－2x|≤5; (4)1≤|2x－1|＜5. 解：(1)由题意，－3＜x－10＜3，解得7＜x＜13，所以原不等式的解集为{x|7＜x＜13}． (2)由题意，2x－5＞2或2x－5＜－2，解得x＞eq \f(7,2)或x＜eq \f(3,2)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(7,2)或x＜\f(3,2))). (3)由题意，－5≤3－2x≤5，解得－1≤x≤4，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}． (4)因为1≤|2x－1|＜5所以1≤2x－1＜5或－5＜2x－1≤－1，解得－2＜x≤0或1≤x＜3，所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤0或1≤x＜3}． 　特殊绝对值不等式的解法 　解下列各不等式：(特殊不等式) (1)3＜x＜1；(2)|x|<－1；(3)|x|>－1. [解]　(1)中x找不到一个数满足“3<x<1”，即x∈∅. (2)方法1：x找不到一个数满足“|x|<－1”，即x∈∅. 方法2：套公式“|x|<a的解集为x∈(－a，a)”依然成立|x|<－1中a＝－1，所以－(－1)<x<－1，即1<x<－1，所以解集为x∈∅. (3)x取任何数都满足“|x|>－1”，即x∈R. 1．解不等式的本质就是找到满足不等式的所有解． 2．|x|<a的解集为x∈(－a，a)(小于取中间) |x|>a的解集为x∈(－∞，－a)∪(a，＋∞)(大于取两边) 这个公式在a取任何值时都成立，不局限于a>0. [变式训练] 3．解下列不等式 (1)|x|≤0；(2)|x|<0；(3)|x|≥0；(4)|x|>0. 解：(1)x∈{0}，(2)x∈∅，(3)x∈R，(4){x|x≠0}． 4．解不等式：|4x－3|≤x＋1. 解：由|4x－3|≤x＋1，得－(x＋1)≤4x－3≤x＋1，解得eq \f(2,5)≤x≤eq \f(4,3)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,5)≤x≤\f(4,3))). 　利用配方法求解一元二次不等式 　利用配方法求解下列一元二次不等式 (1)2x2－3x＋1≤0；(2)－x2－5x＋6＜0；(3)4x2－4x＋1＞0；(4)x2－6x＋9≤0. [解]　(1)由2x2－3x＋1≤0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2≤eq \f(1,16)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))≤eq \f(1,4)， 所以－eq \f(1,4)≤x－eq \f(3,4)≤eq \f(1,4)，解得eq \f(1,2)≤x≤1，所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1)))). (2)由－x2－5x＋6＜0，得x2＋5x－6＞0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))2＞eq \f(49,4)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))>eq \f(7,2)，所以x＋eq \f(5,2)＜－eq \f(7,2)或x＋eq \f(5,2)＞eq \f(7,2)，解得x＜－6或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜－6或x＞1}． (3)由4x2－4x＋1＞0，配方得(2x－1)2＞0，|2x－1|＞0，解得x≠eq \f(1,2)， 所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2))))). (4)由x2－6x＋9≤0，得(x－3)2≤0，解得x＝3，所以不等式的解集为{x|x＝3}． [答案]　(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))　(2){x|x＜－6或x＞1}　(3)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,2)))))　(4)x＝3 利用配方法求解一元二次不等式可以避免因式分解带来的难度，为我们提供了另外一种求解一元二次不等式的方法，简单易学． [变式训练] 5．利用配方法求解下列一元二次不等式 (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0. 解：(1) 2x2－3x－2>0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2>eq \f(25,16)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))>eq \f(5,4)，x－eq \f(3,4)>eq \f(5,4)或x－eq \f(3,4)＜－eq \f(5,4)，解得x＜－eq \f(1,2)或x>2， 所以不等式2x2－3x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>2)))). (2)x2－4x＋4>0，配方得(x－2)2＞0，所以|x－2|>0，所以x≠2， 所以不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}． (3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，配方得(x－1)2＞－2， 所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R. 1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合A∪B等于(　　) A．{x|1≤x≤2}　　 B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≥－2} 解析：C　[集合A＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∪B＝{x|x≤2}．] 2．如果|－2a|＝－2a，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0 解析：C　[因为|－2a|＝－2a，所以－2a≥0， 所以a≤0.] 3．|x－1|＜5的解集是(　　) A．(－6,4) B．(－4,6) C．(－∞，－6)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(6，＋∞) 解析：B　[由|x－1|＜5，得－5＜x－1＜5， 解得－4＜x＜6.所以不等式的解集为(－4,6)．] 4．不等式|x2－2|＜2的解集是　______　. 解析：由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，所以0＜x2＜4，则－2＜x＜2且x≠0. 答案：(－2,0)∪(0,2) 5．解不等式1＜|x＋1|＜3. 解：由1<|x＋1|<3得1<|x＋1|2<9 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋12＞1,x＋12＜9))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x＞0,x2＋2x－8＜0))，解得－4＜x＜－2或0＜x＜2，即原不等式的解集为{x|－4＜x＜－2或0＜x＜2}． $$