2.2.3 一元二次不等式的解法（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

2．2.3　一元二次不等式的解法 [学习目标] 1．理解一元二次不等式的概念及其解集的学习； 2．掌握一元二次不等式的解题方法，提高运用一元二次不等式知识解决实际问题能力． 学校要在长为8 m，宽为6 m的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半． [问题]　此时花卉带的宽度的取值范围是多少？ 提示：设花卉带的宽度为x，则(8－2x)(6－2x)>×8×6，这就是一元二次不等式问题． [知识点一]　一元二次不等式　 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解集：满足一元二次不等式的未知数的取值集合，称为这个不等式的解集． 1.不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　一元二次不等式的解法　 解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的步骤如下： S1　求出方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac的值． S2　Δ＞0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个不等的根x1，x2(设x1＜x2)，则ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)． 不等式a(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 不等式a(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)． S3　Δ＝0，ax2＋bx＋c通过配方得a2＋＝a2 由此可知ax2＋bx＋c＞0的解集是∪；ax2＋bx＋c＜0的解集是∅. S4　Δ＜0，ax2＋bx＋c通过配方得a2＋. 由此可知ax2＋bx＋c＞0的解集是R；ax2＋bx＋c＜0的解集是∅. 对于a＜0的情况，通过在已知不等式两端乘以－1，可化为－a＞0的情况求解． 1．不等式(x－1)(x－2)＜0的解集是(　　) A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析：A　[方程(x－1)(x－2)＝0的根为1、2，又函数y＝(x－1)(x－2)的图象开口向上，因此(x－1)(x－2)＜0的解集是(1,2)．] 2．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　 B. C. D. 解析：D　[不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是，故选D.] 3．不等式3＋5x－2x2＞0的解集为(　　) A.　 B．(－∞，－3)∪ C. D.∪(3，＋∞) 解析：C　[不等式3＋5x－2x2＞0可化为2x2－5x－3＜0，即(2x＋1)(x－3)＜0，解得－＜x＜3，所以原不等式的解集为.] 4．不等式x2－10x＋25＜0的解集为　____________　. 解析：不等式x2－10x＋25＜0可化为：(x－5)2＜0，无解，所以不等式的解集为空集． 答案：空集 　一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2. [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，可得原不等式解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 可得原不等式的解集为. 一元二次不等式的解法 将所给不等式化为一般式后利用判别式判断一元二次方程解的情况，借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 1．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3， 可知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}． (2)在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1；可得原不等式的解集为. 　特殊的一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)25x2－10x＋1>0； (2)4x2＋4x＋1＜0； (3)－x2＋6x－10＞0. [解]　(1)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝. 可知25x2－10x＋1＞0的解集为∪. (2)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－. 可得4x2＋4x＋1＜0解集为∅. (3)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅. 将所给不等式化为一般式后，利用判别式判断一元二次方程解的情况，若Δ＝0，则ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集为∪；ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集为∅；若Δ＜0，则ax2＋bx＋c＞0的解集为R，ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集为∅. [变式训练] 2．解下列不等式： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (2)－x2＋4x－5＞0； (3)x2－4x＋4＜0. 解：(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. 所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0. Δ＝0，解方程9x2－12x＋4＝0得x1＝x2＝. 所以原不等式的解集为. (2)原不等式整理得x2－4x＋5＜0. 因为Δ＜0，方程x2－4x＋5＝0无实数解，所以不等式x2－4x＋5＜0的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅. (3)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2. 所以，不等式x2－4x＋4＜0的解集是∅. 　含参数的一元二次不等式的解法 　(1)若－1＜a＜0，则不等式(x－a)＜0的解是(　　) A. B. C. D. (2)关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0＜m＜4}　　 B．{m|m＜－2或m＞2} C．{m|－2≤m≤2} D．{m|－2＜m＜2} [解析]　(1)由－1＜a＜0，知0＞a＞－1＞， 所以(x－a)＜0的解集为. (2)不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，所以函数y＝x2－mx＋1的图象在x轴上方，所以方程x2－mx＋1＝0无实数解，所以Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，所以实数m的取值范围是{m|－2＜m＜2}． [答案]　(1)C　(2)D 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 3．关于x不等式x2＋ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是　___________　. 解析：由题设，要使x2＋ax＋1＞0恒成立，因为函数y＝x2＋ax＋1开口向上，所以只需Δ＝a2－4＜0即可，解得－2＜a＜2. 答案：(－2,2) 4．解不等式(x－1)(x－a)≥0. 解：当a＞1时，原不等式解集是{x|x≥a，或x≤1}； 当a＝1时，原不等式解集是R； 当a＜1时，原不等式解集是{x|x≤a或x≥1}． 1．不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集是(　　) A.∪(2，＋∞)　　 B．R C. D．∅ 解析：A　[由(x－2)(2x－3)＞0，得x＜或x＞2.所以不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集为∪(2，＋∞)．] 2．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－5x－6＜0}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1＜x＜2}　　 B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－4＜x＜6} D．{x|2＜x＜6} 解析：C　[N＝{x|x2－5x－6＜0}＝{x|－1＜x＜6}，所以M∪N＝{x|－4＜x＜6}．] 3．在下列不等式中，解集为空集的是(　　) A．x2－2x－3＞0 B．x2－2x＋3＜0 C．x2＋2x－3＜0 D．x2＋2x＋3＞0 解析：B　[将选项中各项进行配方表示，运用一元二次方程根的判别式可得出答案．] 4．使式子有意义的实数x的取值范围是　________　 解析：分析可知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1<x<0. 答案：(－1,0) 5．设实数a使方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等实根x1，x2，求a的取值范围是　________　. 解：依题意可知Δ＞0，即(a－1)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3；所以a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 1．不等式－x2－3x＋10≥0的解集为(　　) A．{x|－5≤x≤2}　　 B．{x|x≤－5或x≥2} C．{x|－2≤x≤5} D．{x|x≤－2或x≥5} 解析：A　[－x2－3x＋10≥0⇔x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2，即所求解集为{x|－5≤x≤2}．] 2．已知集合A＝{x|x2－25＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}，则A∩B＝(　　) A．{x|3＜x＜5} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－5＜x＜1} 解析：C　[因为集合A＝{x|x2－25＜0}＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}， 所以A∩B＝{x|1＜x＜3}．] 3．当有意义时，x的取值范围是(　　) A. B. C. D．{x|x≥2} 解析：A　[由题意可得－3x2＋7x－2≥0，即3x2－7x＋2≤0，所以(3x－1)(x－2)≤0，解得≤x≤2，所以x的取值范围是.] 4．方程(x＋3)2＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0] C．{m|m＝0} D．R 解析：B　[原方程有实数解可将其等价为(x＋3)2＝－m≥0成立；即m≤0即可满足题设要求．] 5．若关于x的不等式ax2－2ax＋1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1 解析：D　[当a＝0时，不等式化为1＜0，此不等式无解；当a≠0时，要使原不等式无解，应满足 ，解得，即0＜a≤1.综上可知，实数a的取值范围是0≤a≤1.] 6．不等式－x2＋2x＋15＞0的解集为　________　. 解析：将二次项系数化为正数，即x2－2x－15＜0，将不等式因式分解为(x＋3)(x－5)＜0，所以不等式解集的区间表示为(－3,5)． 答案：(－3,5) 7．不等式x2－x－12≤0的整数解构成的集合是　_______　. 解析：由不等式x2－x－12≤0解得－3≤x≤4，所以不等式x2－x－12≤0的整数解构成的集合是{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}． 答案：{－3，－2，－1,0,1,2,3,4} 8．不等式(x2－4x－5)(x2＋1)＜0的解集是　___________　. 解析：因为x2＋1＞0，故(x2－4x－5)(x2＋1)＜0等价于x2－4x－5＜0，即(x－5)(x＋1)＜0，解得x∈{x|－1＜x＜5}． 答案：{x|－1＜x＜5} 9．关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0(a∈R)的解集是　_______　. 解析：原不等式x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0(a∈R)可化为：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，解得：a≤x≤a＋1，所以原不等式的解集为：[a，a＋1] 答案：[a，a＋1] 10．若关于x的不等式x2＋mx＋4≥0的解集为R，求m的取值范围． 解：若关于x的不等式x2＋mx＋4≥0的解集为R，所以Δ＝m2－16≤0，解得－4≤m≤4，所以m的取值范围是[－4,4]． 11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为0<t<1，所以>1，所以>t.所以(t－x)>0⇔(x－t)<0⇔t<x<.] 12．若关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，所以一元二次方程x2－2x－4＋a＝0的根的判别式小于零，即Δ＝(－2)2－4(a－4)＜0⇒a＞5，即实数a的取值范围为a＞5. 答案：a＞5 13．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　________　. 解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1和a－1，所以B＝{x|a－1<x<a＋1}， 因为A⊆B，所以，解得1≤a≤2. 答案：{a|1≤a≤2} 14．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a，或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．不等式－x2－3x＋10≥0的解集为(　　) A．{x|－5≤x≤2}　　 B．{x|x≤－5或x≥2} C．{x|－2≤x≤5} D．{x|x≤－2或x≥5} 解析：A　[－x2－3x＋10≥0⇔x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2，即所求解集为{x|－5≤x≤2}．] 2．已知集合A＝{x|x2－25＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}，则A∩B＝(　　) A．{x|3＜x＜5} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－5＜x＜1} 解析：C　[因为集合A＝{x|x2－25＜0}＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}， 所以A∩B＝{x|1＜x＜3}．] 3．当有意义时，x的取值范围是(　　) A. B. C. D．{x|x≥2} 解析：A　[由题意可得－3x2＋7x－2≥0，即3x2－7x＋2≤0，所以(3x－1)(x－2)≤0，解得≤x≤2，所以x的取值范围是.] 4．方程(x＋3)2＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0] C．{m|m＝0} D．R 解析：B　[原方程有实数解可将其等价为(x＋3)2＝－m≥0成立；即m≤0即可满足题设要求．] 5．若关于x的不等式ax2－2ax＋1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a≥1 C．0＜a≤1 D．0≤a≤1 解析：D　[当a＝0时，不等式化为1＜0，此不等式无解；当a≠0时，要使原不等式无解，应满足 ，解得，即0＜a≤1.综上可知，实数a的取值范围是0≤a≤1.] 6．不等式－x2＋2x＋15＞0的解集为　________　. 解析：将二次项系数化为正数，即x2－2x－15＜0，将不等式因式分解为(x＋3)(x－5)＜0，所以不等式解集的区间表示为(－3,5)． 答案：(－3,5) 7．不等式x2－x－12≤0的整数解构成的集合是　_______　. 解析：由不等式x2－x－12≤0解得－3≤x≤4，所以不等式x2－x－12≤0的整数解构成的集合是{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}． 答案：{－3，－2，－1,0,1,2,3,4} 8．不等式(x2－4x－5)(x2＋1)＜0的解集是　___________　. 解析：因为x2＋1＞0，故(x2－4x－5)(x2＋1)＜0等价于x2－4x－5＜0，即(x－5)(x＋1)＜0，解得x∈{x|－1＜x＜5}． 答案：{x|－1＜x＜5} 9．关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0(a∈R)的解集是　_______　. 解析：原不等式x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0(a∈R)可化为：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，解得：a≤x≤a＋1，所以原不等式的解集为：[a，a＋1] 答案：[a，a＋1] 10．若关于x的不等式x2＋mx＋4≥0的解集为R，求m的取值范围． 解：若关于x的不等式x2＋mx＋4≥0的解集为R，所以Δ＝m2－16≤0，解得－4≤m≤4，所以m的取值范围是[－4,4]． 11．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为0<t<1，所以>1，所以>t.所以(t－x)>0⇔(x－t)<0⇔t<x<.] 12．若关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为∅，所以一元二次方程x2－2x－4＋a＝0的根的判别式小于零，即Δ＝(－2)2－4(a－4)＜0⇒a＞5，即实数a的取值范围为a＞5. 答案：a＞5 13．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　________　. 解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1和a－1，所以B＝{x|a－1<x<a＋1}， 因为A⊆B，所以，解得1≤a≤2. 答案：{a|1≤a≤2} 14．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0. 解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a. 所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a，或x>6a}； 当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}． 学科网（北京）股份有限公司 $$2．2.3　一元二次不等式的解法 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第二章 不等式 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（RM上） 第二章 不等式 [学习目标] 1．理解一元二次不等式的概念及其解集的学习； 2．掌握一元二次不等式的解题方法，提高运用一元二次不等式知识解决实际问题能力． 学校要在长为8 m，宽为6 m的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半． [问题]　此时花卉带的宽度的取值范围是多少？ 提示：设花卉带的宽度为x，则(8－2x)(6－2x)>eq \f(1,2)×8×6，这就是一元二次不等式问题． [知识点一]　一元二次不等式　 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解集：满足一元二次不等式的未知数的取值集合，称为这个不等式的解集． 1.不等式x2＋eq \f(2,x)>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　一元二次不等式的解法　 解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的步骤如下： S1　求出方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac的值． S2　Δ＞0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个不等的根x1，x2(设x1＜x2)，则ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)． 不等式a(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)； 不等式a(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)． S3　Δ＝0，ax2＋bx＋c通过配方得aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2 由此可知ax2＋bx＋c＞0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))；ax2＋bx＋c＜0的解集是∅. S4　Δ＜0，ax2＋bx＋c通过配方得aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)＞0)). 由此可知ax2＋bx＋c＞0的解集是R；ax2＋bx＋c＜0的解集是∅. 对于a＜0的情况，通过在已知不等式两端乘以－1，可化为－a＞0的情况求解． 1．不等式(x－1)(x－2)＜0的解集是(　　) A．(1,2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析：A　[方程(x－1)(x－2)＝0的根为1、2，又函数y＝(x－1)(x－2)的图象开口向上，因此(x－1)(x－2)＜0的解集是(1,2)．] 2．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　 B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(3,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<\f(3,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(3,2))) 解析：D　[不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝eq \f(3,2)，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1，或x>\f(3,2)))，故选D.] 3．不等式3＋5x－2x2＞0的解集为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))　 B．(－∞，－3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(3，＋∞) 解析：C　[不等式3＋5x－2x2＞0可化为2x2－5x－3＜0，即(2x＋1)(x－3)＜0，解得－eq \f(1,2)＜x＜3，所以原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)).] 4．不等式x2－10x＋25＜0的解集为　____________　. 解析：不等式x2－10x＋25＜0可化为：(x－5)2＜0，无解，所以不等式的解集为空集． 答案：空集 　一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2. [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)，可得原不等式解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<\f(1,2))). (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)， 可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))). 一元二次不等式的解法 将所给不等式化为一般式后利用判别式判断一元二次方程解的情况，借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 1．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3， 可知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}． (2)在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1；可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,2)或x>1)). 　特殊的一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)25x2－10x＋1>0； (2)4x2＋4x＋1＜0； (3)－x2＋6x－10＞0. [解]　(1)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝eq \f(1,5). 可知25x2－10x＋1＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)). (2)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－eq \f(1,2).可得4x2＋4x＋1＜0解集为∅. (3)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅. 将所给不等式化为一般式后，利用判别式判断一元二次方程解的情况，若Δ＝0，则ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))；ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集为∅；若Δ＜0，则ax2＋bx＋c＞0的解集为R，ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集为∅. [变式训练] 2．解下列不等式： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (2)－x2＋4x－5＞0； (3)x2－4x＋4＜0. 解：(1)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. 所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0. Δ＝0，解方程9x2－12x＋4＝0得x1＝x2＝eq \f(2,3). 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(2,3))). (2)原不等式整理得x2－4x＋5＜0. 因为Δ＜0，方程x2－4x＋5＝0无实数解，所以不等式x2－4x＋5＜0的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅. (3)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2. 所以，不等式x2－4x＋4＜0的解集是∅. 　含参数的一元二次不等式的解法 　(1)若－1＜a＜0，则不等式(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＜0的解是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|a＜x＜\f(1,a))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(1,a)或x＜a)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜a)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,a)或x＞a)) (2)关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0＜m＜4}　　 B．{m|m＜－2或m＞2} C．{m|－2≤m≤2} D．{m|－2＜m＜2} [解析]　(1)由－1＜a＜0，知0＞a＞－1＞eq \f(1,a)， 所以(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜a)))). (2)不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，所以函数y＝x2－mx＋1的图象在x轴上方，所以方程x2－mx＋1＝0无实数解，所以Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，所以实数m的取值范围是{m|－2＜m＜2}． [答案]　(1)C　(2)D 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 3．关于x不等式x2＋ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是　___________　. 解析：由题设，要使x2＋ax＋1＞0恒成立，因为函数y＝x2＋ax＋1开口向上，所以只需Δ＝a2－4＜0即可，解得－2＜a＜2. 答案：(－2,2) 4．解不等式(x－1)(x－a)≥0. 解：当a＞1时，原不等式解集是{x|x≥a，或x≤1}； 当a＝1时，原不等式解集是R； 当a＜1时，原不等式解集是{x|x≤a或x≥1}． 1．不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞)　　 B．R C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．∅ 解析：A　[由(x－2)(2x－3)＞0，得x＜eq \f(3,2)或x＞2.所以不等式(x－2)(2x－3)＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞)．] 2．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－5x－6＜0}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1＜x＜2}　　 B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－4＜x＜6} D．{x|2＜x＜6} 解析：C　[N＝{x|x2－5x－6＜0}＝{x|－1＜x＜6}，所以M∪N＝{x|－4＜x＜6}．] 3．在下列不等式中，解集为空集的是(　　) A．x2－2x－3＞0 B．x2－2x＋3＜0 C．x2＋2x－3＜0 D．x2＋2x＋3＞0 解析：B　[将选项中各项进行配方表示，运用一元二次方程根的判别式可得出答案．] 4．使式子eq \f(1,\r(－x2－x))有意义的实数x的取值范围是　________　 解析：分析可知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1<x<0. 答案：(－1,0) 5．设实数a使方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等实根x1，x2，求a的取值范围是　________　. 解：依题意可知Δ＞0，即(a－1)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3；所以a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． $$