1.2.2 子集与推出的关系（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．2.2　子集与推出的关系 第一章 集 合 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 章末归纳提升 05 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） [学习目标] 1．理解集合的子集、及其特征性质的概念，掌握通过集合之间的关系判断集合的特征性质之间的关系方法； 2．理解子集与推出的关系，掌握子集的逻辑关系与其特征性质之间存在的逻辑关系的联系． 已知Q＝{x丨x是有理数}，R＝{x丨x是实数}，容易判断Q是R的子集(如图)． 集合Q与R的特征性质之间存在什么关系？ 提示：“如果x是有理数，则x是实数”是真命题，即x是有理数⇒x是实数． [知识点]　子集与推出的关系　 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B(如图)，则x∈A⇒x∈B，于是x具有性质p(x)⇒x具有的性质q(x)，即p(x)⇒q(x)；反之，如果A中的所有元素x都具有性质q(x)，则A一定是B的子集． 山东省公民构成的集合与中国公民构成的集合之间有怎样的关系？那么，命题“如果我是山东省公民，则我是中国公民”是否正确？ 提示：由山东省公民构成的集合是中国公民构成的集合的子集；命题也是正确的，即有：如果我是山东省公民则我是中国公民． 1．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，所以NM.] 2．已知M，N是两个非空集合，如果p：对于任意的x∈M，都有x∈N，q：MN，则p与q的关系为(　　) A．p⇒q　　　　　　 B．p⇐q C．p⇔q D．无关系 解析：A　[A由“对于任意的x∈M，都有x∈N”可知，M⊆N；又因为MN，所以p⇒q；故选A.] 3．已知A＝{x|x是矩形}，B＝{x|p(x)}，使A⊆B，则p(x)为(　　) A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．梯形 解析：C　[根据两个集合之间的关系来判断他们特征性质之间的关系判断方法可知，因为A⊆B，所以x是矩形⇒p(x)；所以 p(x)为x是平行四边形；故选C.] 4．说明下列各题中集合A与B之间的关系： (1)A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是平行四边形}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． 解：(1)A⊆B；(2)A⊆B. 　通过“推出”判断集合之间的关系 　判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． [解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A⊆B； (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D⊆B⊆A⊆C. (3)易知A中的元素都是B中的元素，－1<x<4⇒x<5，所以A⊆B. 1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果p(x)⇒q(x)，则A⊆B. 2．子集与推出关系的特点：小范围推大范围，小范围是大范围的子集． [变式训练] 1．判断下列两个集合之间的关系：　　 (1)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． (2)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}． (3)A＝{x∈Z|－1≤x＜3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}； 解：(1)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊆B. (2)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊆B. (3)因为A＝{x∈Z|－1≤x＜3}＝{－1,0,1,2}， B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0,1,2}， 所以B⊆A. 　由子集关系推出集合的特征性质 　已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|p(x)}，试确定一个p(x)，使A⊆B. [解]　根据两个集合之间的关系来判断他们特征性质之间关系的判断方法可知，因为A⊆B，所以x是等腰三角形⇒p(x)；所以p(x)为x是三角形． 1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则p(x)⇒q(x)． 2．由推出关系p(x)⇒q(x)，q(x)的范围大于p(x)的范围． [变式训练] 2．已知M＝{x|p(x)}，N＝{x|x是平行四边形}，试确定一个p(x)，使M是N的真子集． 解：因为M是N的真子集，则x具有性质p(x)⇒x是平行四边形，p(x)：x是正方形，所以M＝{x|x是正方形}． 　由推出关系求变量的取值范围 　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． (3)若A＝B，求a的取值范围． [解]　(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2. (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2. (3)由A＝B，可得a＝2. 已知集合之间的包含关系使用推出的关系找到它们的特征性质之间的关系，利用数轴解决，注意一定是小范围推大范围． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围． 解：由A⊆B，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－3，,1－m<2m－1，,4≤2m－1，)) 解得m≥4.故m的取值范围是{m|m≥4}． 1．已知x∈R，如果p：x＜1，q：x≤2，则p与q的关系为(　　) A．p⇒q　　　　　　 B．p⇐q C．p⇔q D．无关系 解析：A　[因为2＞1是正确的，那么小于1的数x一定会小于2，所以x＜1⇒x≤2，所以p⇒q.] 2．集合P＝{0,1}，Q＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则集合P，Q间的关系是(　　) A．P＝Q B．PQ C．QP D．不确定 解析：B　[由x2＋y2＝1，x∈N，得y＝±1,0，即Q＝{－1,0,1}，所以PQ.故选B.] 3．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的值可以是(　　) A．0　　B．1　　　C．2　　　D．－3 解析：C　[如图，因为A⊆B，所以a≥2，故选C.] 4．已知集合M＝{1,4}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x＝　______　. 解析：因为N⊆M，所以x2＝4，解得x＝±2. 答案：±2 5．对于集合A，B，判断命题p与q的关系： (1)p：A＝B，q：A∩B＝A； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B. 解析：(1)p⇒q；(2)p⇔q；(3)p⇔q. 　集合的概念及其表示 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 　(1)集合A＝{x∈N*|x－5＜0}中的元素个数是(　　) A．0　　B．4　　　C．5　　　D．6 (2)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为　________　. [解析]　(1)A＝{x∈N*|x－5＜0}＝{1,2,3,4}，所以集合A中的元素个数有4个． (2)由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1. [答案]　(1)B　(2)－1或－2 [变式训练] 1．若集合A＝{x|kx2＋2x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则k的值为　___________　. 解析：当k＝0时，方程为2x＋1＝0，有且只有一解，符合题意； 当k≠0时，方程kx2＋2x＋1＝0有且仅有一个解等价于22－4k＝0，解得k＝1. 答案：0或1 2．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为　________　. 解析：当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案：3或1 　集合之间的关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 　(1)已知A＝{1,2,3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则B的真子集个数为(　　) A．31　　B．32　　　C．63　　　D．64 (2)设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝　________　. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是　________　. [解析]　(1)由题意可知，当a＝b＝1时，集合B中元素最小为2，当a＝b＝3时，集合B中元素最大为6，又当a＝1，b＝2时，集合B中元素为3，当a＝1，b＝3时，集合B中元素为4，当a＝2，b＝3时，集合B中元素为5，所以集合B＝{2,3,4,5,6}，其子集个数为25＝32个，所以真子集31个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍去)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(1)A　(2)0或－2　(3)(－∞，4] [变式训练] 3．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,m)))，因为B⊆A，所以eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.] 　集合的运算 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 　(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} (3)设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤6或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} [解析]　(1)由A∩B＝{1}，得1∈B， 所以m＝3，故B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． (3)由|x－a|＜1⇔－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为A∩B＝∅，所以a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}． [答案]　(1)C　(2)A　(3)C [变式训练] 4．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}，故选A.] (3)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则a的值为(　　) A．{1} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))) $$ 1．已知A＝{x|x是整数}，B＝{x|x是自然数}，则集合A与B之间的关系式(　　) A．A⊆B　　　　　　 B．B⊆A C．AB D．不确定 解析：B　[自然数⇒整数，故B⊆A.] 2．p∈{x|x<－2或x>0}，q∈{x|0<x<1}，则p与q的关系是(　　) A．p⇒q B．q⇒p C．p⇔q D．无关系 解析：B　[因为0<x<1⇒x>0，所以q⇒p.] 3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{－1,0,1,2}，则“a∈M”是“a∈N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为M⊆N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，但“a∈N”推不出“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件．] 4．已知A＝{x|x2＝1}，B＝，若B⊆A，则a的值为(　　) A．1或－1 B．0或1或－1 C．－1 D．1 解析：A　[A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，B＝＝，若B⊆A，则＝1或－1， 故a＝1或－1.] 5．设集合A＝{1，x2}，B＝{x}，且B⊆A，则实数x为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1 解析：A　[因为B⊆A，所以x∈A，所以x＝1或x＝x2，x2≠1，解得x＝0.] 6．若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是(　　) A．C⊆A＝B B．A⊆C⊆B C．A＝B⊆C D．B⊆A⊆C 解析：A　[因为A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}， B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，所以C⊆A＝B.故选A.] 7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格： A为　________　；B为　________　； C为　________　；D为　________　. 解析：由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文． 答案：小说　文学作品　叙事散文　散文 8．已知集合A＝{x|x<a}，集合B＝{x|x<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为　________　. 解析：因为集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，A⊆B，所以利用数轴表示如图， 所以a≤2. 答案：{a|a≤2} 9．下列各题中，已知x∈R，y∈R，判断命题p与q的关系： p：x＞3，q：x＞5； p：x＝7，q：|x|＝7； p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0. 解：(1)p⇐q；(2)p⇒q；(3)p⇔q. 10．已知A＝{x|x2＋(a－1)x＋1＜0}，B＝{x|x是实数}，使A⊆B，求a的取值范围． 解：根据两个集合之间的关系来判断他们特征性质之间的关系判断方法可知，因为A⊆B，所以x2＋(a－1)x＋1＜0在R上有解，即Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1. 11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2,3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A．{2,4,5}　　　　　 B．{1,2,5} C．{1,6} D．{1,3} 解析：D　[由题图可知：B⊆A，因为A＝{1,2,3}，由选项可知：{1,3}⊆A.] 12．设集合A＝{－1＜x＜1}，B＝{x|x－a＞0}．若A⊆B，则a的取值范围(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1] 解析：D　[集合B＝(a，＋∞)，A⊆B，则只要a≤－1即可，即a的取值范围是(－∞，－1]．] 13．已知常数a∈R，设集合A＝[a，＋∞)，B＝{－1,0,1}，若B⊆A，则a的最大值为　________　. 解析：集合A＝[a，＋∞)，B＝{－1,0,1}，若B⊆A，所以a≤－1，故a的最大值为－1. 答案：－1 14．已知集合M＝{x|－1≤x≤4}． (1)若N＝{x|m≤x≤2m－2}，N⊆M，求实数m的取值范围； (2)若N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，M⊆N，求实数m的取值范围． 解：(1)由题可知M＝{x|－1≤x≤4}，N＝{x|m≤x≤2m－2}，N⊆M， ①若N＝∅，则m＞2m－2，即m＜2； ②若N≠∅，则，解得：2≤m≤3； 综合①②，得实数m的取值范围是{m|m≤3}． (2)已知M＝{x|－1≤x≤4}，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，M⊆N， 则，解得：≤m≤5，所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2.2　子集与推出的关系 [学习目标] 1．理解集合的子集、及其特征性质的概念，掌握通过集合之间的关系判断集合的特征性质之间的关系方法； 2．理解子集与推出的关系，掌握子集的逻辑关系与其特征性质之间存在的逻辑关系的联系． 已知Q＝{x丨x是有理数}，R＝{x丨x是实数}，容易判断Q是R的子集(如图)． 集合Q与R的特征性质之间存在什么关系？ 提示：“如果x是有理数，则x是实数”是真命题，即x是有理数⇒x是实数． [知识点]　子集与推出的关系　 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B(如图)，则x∈A⇒x∈B，于是x具有性质p(x)⇒x具有的性质q(x)，即p(x)⇒q(x)；反之，如果A中的所有元素x都具有性质q(x)，则A一定是B的子集． 山东省公民构成的集合与中国公民构成的集合之间有怎样的关系？那么，命题“如果我是山东省公民，则我是中国公民”是否正确？ 提示：由山东省公民构成的集合是中国公民构成的集合的子集；命题也是正确的，即有：如果我是山东省公民则我是中国公民． 1．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，所以NM.] 2．已知M，N是两个非空集合，如果p：对于任意的x∈M，都有x∈N，q：MN，则p与q的关系为(　　) A．p⇒q　　　　　　 B．p⇐q C．p⇔q D．无关系 解析：A　[A由“对于任意的x∈M，都有x∈N”可知，M⊆N；又因为MN，所以p⇒q；故选A.] 3．已知A＝{x|x是矩形}，B＝{x|p(x)}，使A⊆B，则p(x)为(　　) A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．梯形 解析：C　[根据两个集合之间的关系来判断他们特征性质之间的关系判断方法可知，因为A⊆B，所以x是矩形⇒p(x)；所以 p(x)为x是平行四边形；故选C.] 4．说明下列各题中集合A与B之间的关系： (1)A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是平行四边形}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． 解：(1)A⊆B；(2)A⊆B. 　通过“推出”判断集合之间的关系 　判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． [解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A⊆B； (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D⊆B⊆A⊆C. (3)易知A中的元素都是B中的元素，－1<x<4⇒x<5，所以A⊆B. 1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果p(x)⇒q(x)，则A⊆B. 2．子集与推出关系的特点：小范围推大范围，小范围是大范围的子集． [变式训练] 1．判断下列两个集合之间的关系：　　 (1)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． (2)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}． (3)A＝{x∈Z|－1≤x＜3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}； 解：(1)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊆B. (2)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊆B. (3)因为A＝{x∈Z|－1≤x＜3}＝{－1,0,1,2}， B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0,1,2}， 所以B⊆A. 　由子集关系推出集合的特征性质 　已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|p(x)}，试确定一个p(x)，使A⊆B. [解]　根据两个集合之间的关系来判断他们特征性质之间关系的判断方法可知，因为A⊆B，所以x是等腰三角形⇒p(x)；所以p(x)为x是三角形． 1．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则p(x)⇒q(x)． 2．由推出关系p(x)⇒q(x)，q(x)的范围大于p(x)的范围． [变式训练] 2．已知M＝{x|p(x)}，N＝{x|x是平行四边形}，试确定一个p(x)，使M是N的真子集． 解：因为M是N的真子集，则x具有性质p(x)⇒x是平行四边形，p(x)：x是正方形，所以M＝{x|x是正方形}． 　由推出关系求变量的取值范围 　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． (3)若A＝B，求a的取值范围． [解]　(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2. (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2. (3)由A＝B，可得a＝2. 已知集合之间的包含关系使用推出的关系找到它们的特征性质之间的关系，利用数轴解决，注意一定是小范围推大范围． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围． 解：由A⊆B，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，则 解得m≥4.故m的取值范围是{m|m≥4}． 1．已知x∈R，如果p：x＜1，q：x≤2，则p与q的关系为(　　) A．p⇒q　　　　　　 B．p⇐q C．p⇔q D．无关系 解析：A　[因为2＞1是正确的，那么小于1的数x一定会小于2，所以x＜1⇒x≤2，所以p⇒q.] 2．集合P＝{0,1}，Q＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则集合P，Q间的关系是(　　) A．P＝Q B．PQ C．QP D．不确定 解析：B　[由x2＋y2＝1，x∈N，得y＝±1,0，即Q＝{－1,0,1}，所以PQ.故选B.] 3．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的值可以是(　　) A．0　　B．1　　　C．2　　　D．－3 解析：C　[如图，因为A⊆B，所以a≥2，故选C.] 4．已知集合M＝{1,4}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x＝　______　. 解析：因为N⊆M，所以x2＝4，解得x＝±2. 答案：±2 5．对于集合A，B，判断命题p与q的关系： (1)p：A＝B，q：A∩B＝A； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B. 解析：(1)p⇒q；(2)p⇔q；(3)p⇔q. 1．已知A＝{x|x是整数}，B＝{x|x是自然数}，则集合A与B之间的关系式(　　) A．A⊆B　　　　　　 B．B⊆A C．AB D．不确定 解析：B　[自然数⇒整数，故B⊆A.] 2．p∈{x|x<－2或x>0}，q∈{x|0<x<1}，则p与q的关系是(　　) A．p⇒q B．q⇒p C．p⇔q D．无关系 解析：B　[因为0<x<1⇒x>0，所以q⇒p.] 3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{－1,0,1,2}，则“a∈M”是“a∈N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为M⊆N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，但“a∈N”推不出“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件．] 4．已知A＝{x|x2＝1}，B＝，若B⊆A，则a的值为(　　) A．1或－1 B．0或1或－1 C．－1 D．1 解析：A　[A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，B＝＝，若B⊆A，则＝1或－1， 故a＝1或－1.] 5．设集合A＝{1，x2}，B＝{x}，且B⊆A，则实数x为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1 解析：A　[因为B⊆A，所以x∈A，所以x＝1或x＝x2，x2≠1，解得x＝0.] 6．若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是(　　) A．C⊆A＝B B．A⊆C⊆B C．A＝B⊆C D．B⊆A⊆C 解析：A　[因为A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}， B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，所以C⊆A＝B.故选A.] 7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格： A为　________　；B为　________　； C为　________　；D为　________　. 解析：由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文． 答案：小说　文学作品　叙事散文　散文 8．已知集合A＝{x|x<a}，集合B＝{x|x<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为　________　. 解析：因为集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，A⊆B，所以利用数轴表示如图， 所以a≤2. 答案：{a|a≤2} 9．下列各题中，已知x∈R，y∈R，判断命题p与q的关系： p：x＞3，q：x＞5； p：x＝7，q：|x|＝7； p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0. 解：(1)p⇐q；(2)p⇒q；(3)p⇔q. 10．已知A＝{x|x2＋(a－1)x＋1＜0}，B＝{x|x是实数}，使A⊆B，求a的取值范围． 解：根据两个集合之间的关系来判断他们特征性质之间的关系判断方法可知，因为A⊆B，所以x2＋(a－1)x＋1＜0在R上有解，即Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1. 11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2,3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A．{2,4,5}　　　　　 B．{1,2,5} C．{1,6} D．{1,3} 解析：D　[由题图可知：B⊆A，因为A＝{1,2,3}，由选项可知：{1,3}⊆A.] 12．设集合A＝{－1＜x＜1}，B＝{x|x－a＞0}．若A⊆B，则a的取值范围(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1] 解析：D　[集合B＝(a，＋∞)，A⊆B，则只要a≤－1即可，即a的取值范围是(－∞，－1]．] 13．已知常数a∈R，设集合A＝[a，＋∞)，B＝{－1,0,1}，若B⊆A，则a的最大值为　________　. 解析：集合A＝[a，＋∞)，B＝{－1,0,1}，若B⊆A，所以a≤－1，故a的最大值为－1. 答案：－1 14．已知集合M＝{x|－1≤x≤4}． (1)若N＝{x|m≤x≤2m－2}，N⊆M，求实数m的取值范围； (2)若N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，M⊆N，求实数m的取值范围． 解：(1)由题可知M＝{x|－1≤x≤4}，N＝{x|m≤x≤2m－2}，N⊆M， ①若N＝∅，则m＞2m－2，即m＜2； ②若N≠∅，则，解得：2≤m≤3； 综合①②，得实数m的取值范围是{m|m≤3}． (2)已知M＝{x|－1≤x≤4}，N＝{x|m－6≤x≤2m－1}，M⊆N， 则，解得：≤m≤5，所以实数m的取值范围是. 　集合的概念及其表示 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 　(1)集合A＝{x∈N*|x－5＜0}中的元素个数是(　　) A．0　　B．4　　　C．5　　　D．6 (2)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为　________　. [解析]　(1)A＝{x∈N*|x－5＜0}＝{1,2,3,4}，所以集合A中的元素个数有4个． (2)由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1. [答案]　(1)B　(2)－1或－2 [变式训练] 1．若集合A＝{x|kx2＋2x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则k的值为　___________　. 解析：当k＝0时，方程为2x＋1＝0，有且只有一解，符合题意； 当k≠0时，方程kx2＋2x＋1＝0有且仅有一个解等价于22－4k＝0，解得k＝1. 答案：0或1 2．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为　________　. 解析：当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 答案：3或1 　集合之间的关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 　(1)已知A＝{1,2,3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则B的真子集个数为(　　) A．31　　B．32　　　C．63　　　D．64 (2)设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝　________　. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是　________　. [解析]　(1)由题意可知，当a＝b＝1时，集合B中元素最小为2，当a＝b＝3时，集合B中元素最大为6，又当a＝1，b＝2时，集合B中元素为3，当a＝1，b＝3时，集合B中元素为4，当a＝2，b＝3时，集合B中元素为5，所以集合B＝{2,3,4,5,6}，其子集个数为25＝32个，所以真子集31个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍去)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为(－∞，4]． [答案]　(1)A　(2)0或－2　(3)(－∞，4] [变式训练] 3．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.] 　集合的运算 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 　(1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} (3)设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤6或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} [解析]　(1)由A∩B＝{1}，得1∈B， 所以m＝3，故B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． (3)由|x－a|＜1⇔－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为A∩B＝∅，所以a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}． [答案]　(1)C　(2)A　(3)C [变式训练] 4．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}，故选A.] (3)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则a的值为(　　) A．{1} B. C. D. 解析：D　[A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B≠∅，B＝，则＝1或＝2，则a＝1或a＝，故a的值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$