1.2.1 充要条件（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 答案：A 2．使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　　　　 B．x>0 C．x>2 D．x<2 解析：A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.] 3．“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若A∩B＝∅，则A，B没有公共元素，A，B不一定是空集； 若A＝∅或B＝∅，则A∩B＝∅. 故“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的必要不充分条件．] 4．若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 解析：B　[因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．] 5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 解析：A　[若a＝3，则A⊆B；若A⊆B，则a＝3或2.] 6．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的　________　条件． 解析：a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0；(a－1)(a－2)＝0⇒a＝1或a＝2，从而可知“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 7．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的　________　条件． 解析：因为－2＜x＜1 x＞1或x＜－1，并且x＞1或x＜－1－2＜x＜1，所以“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分条件，也不必要条件． 答案：既不充分也不必要 8．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是　____________________　. 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 9．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是　________　. (2)“a，b都不为0”的充分条件是　________　. 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab>0⇔或则a，b都不为0. 答案：(1)①②③　(2)④ 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； 解：(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)因为pq ，而q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为p⇒q，而qp，所以p是q的充分不必要条件． (4)因为p⇒q，而qp，所以p是q的充分不必要条件． 11．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神．从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设p为不到长城，推出q非好汉，即p⇒q，则q⇒p，即好汉⇒到长城，故“好汉”是“到长城”的充分条件，故选A.] 12．已知P＝{x|－2<x<10}，Q＝{x|m－1<x<m＋1}，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A．－1<m≤9 B．－1≤m≤9 C．m≤－1 D．m≥9 解析：B　[因为P是Q的必要条件，所以Q⊆P. 所以所以－1≤m≤9.故选B.] 13．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的　________　条件． 解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立．可知p⇒q，反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5， 但x＝2且y＝3不成立．p⇒q，qp，故p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 14．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 证明：①充分性： 因为a＋b＝1，所以b＝1－a， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. 因为ab≠0，所以a≠0且b≠0， 所以a2－ab＋b2≠0. 所以a＋b－1＝0，所以a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2　充要条件 1．2.1　充要条件 [学习目标] 1．理解真命题，假命题，充分条件，必要条件，充要条件的概念； 2．掌握真假命题的判定方法，掌握充分条件，必要条件，充要条件之间关系的推理方法． 姚明大家都认识，他说过很多很经典的话，其中有一句给我留下了很深刻的印象，他说：“努力不一定成功，但放弃一定失败”． 话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ 提示：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q. [知识点一]　充分条件与必要条件　 命题真假 “如果p，则q”是真命题 推出关系 由p可推出q. 用符号记作p　⇒　q，读作“p推出q” 条件关系 p是q的　充分　条件 q是p的　必要　条件 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． [知识点二]　充要条件　 如果p是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的　充分且必要　条件，简称　充要　条件．记作p⇔q. 3.若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 4．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．已知x∈R，如果p：x＞1，q：x＞0，那么p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[如下图所示： 由图可知，x＞1，则 x＞0；反之，不成立， 所以p⇒q.所以p是q的充分不必要条件．] 2．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[条件乙：－1<x<5.所以0<x<5⇒－1<x<5，但－1<x<5 0<x<5，所以甲是乙的充分不必要条件，故选A.] 3．写出－1＜x＜2的一个必要不充分条件　________　. 解析：因为{x|－1＜x＜2}{x|x＜3}，所以“x＜3”是不等式“－1＜x＜2”成立的一个必要不充分条件． 答案：x＜3 4．用充分条件、必要条件或充要条件填空： (1)b＝0是ab＝0的　________　； (2)x＝－1是x2－2x－3＝0的　_______　； (3)若x，y∈R，则x＝0且y＝0是x2＋y2＝0的　______　. 解析：(1)充分条件；(2)充分条件；(3)充要条件． 　充分条件的判断 　判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：x＋2＝0，q：x2＝4； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； [解]　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)当x＋2＝0时，x＝－2，则x2＝4成立， 所以“x＋2＝0”是“x2＝4”的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.因此pq，所以p不是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [变式训练] 1．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．] 2．设集合M＝{x|0<x≤2}，N＝{x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案：充分 　必要条件的判断 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等． (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形． (3)若＝，则x＝y， (4)若关于x的方程ax＋b＝0((a，b∈R)有唯一解，则a>0. [解析]　(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此， p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)若＝，则x＝y是真命题． 因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p⇒q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论． (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断． (3)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [变式训练] 3．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)若a和b都是偶数，则a×b是偶数． 解析：(1)该命题是真命题，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为两个三角形相似推不出两个三角形全等，所以q不是p的必要条件． (3)两个偶数的乘仍是偶数．所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　充要条件的判断 　在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [解]　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但q p，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但p q，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题)首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，BA，则A是B的既不充分也不必要条件． 3．传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． [变式训练] 4．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x＝1；q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解：(1)当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件． (3)由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． 　　　充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围为[8，＋∞)． 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系．依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围． [变式训练] 5．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解：(1)若2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．则只要{x|x<－}⊆{x|x<－1，或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)若2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆{x|x<－}，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． 1．设命题“若p，则q”为假，而“若q，则p”为真，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：B　[命题“若p，则q”为假，而“若q，则p”为真，则q⇒p ，p q，p是q的必要不充分条件．] 2．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立． 所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.] 3．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件．] 4．用充分条件、必要条件或充要条件填空： (1)A＝∅是A∪B＝B的　________　； (2)A⊆B是A∩B＝A的　________　； (3)x∈A是x∈A∩B的　________　； 解析：(1)充分条件；(2)充要条件；(3)必要条件． 5．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，求m的取值范围． 解：由3x＋m<0，得x<－.记A＝，所以p：A＝， 记B＝{x|x<－1或x>3}，所以q：B＝{x|x<－1或x>3}． 因为p是q的一个充分条件，所以p⇒q， 所以A⊆B，所以－≤－1，所以m≥3，即m的取值范围是m≥3. 1．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 答案：A 2．使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　　　　 B．x>0 C．x>2 D．x<2 解析：A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.] 3．“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若A∩B＝∅，则A，B没有公共元素，A，B不一定是空集； 若A＝∅或B＝∅，则A∩B＝∅. 故“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的必要不充分条件．] 4．若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 解析：B　[因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．] 5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 解析：A　[若a＝3，则A⊆B；若A⊆B，则a＝3或2.] 6．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的　________　条件． 解析：a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0；(a－1)(a－2)＝0⇒a＝1或a＝2，从而可知“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 7．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的　________　条件． 解析：因为－2＜x＜1 x＞1或x＜－1，并且x＞1或x＜－1－2＜x＜1，所以“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分条件，也不必要条件． 答案：既不充分也不必要 8．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是　____________________　. 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 9．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是　________　. (2)“a，b都不为0”的充分条件是　________　. 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab>0⇔或则a，b都不为0. 答案：(1)①②③　(2)④ 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； 解：(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)因为pq ，而q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为p⇒q，而qp，所以p是q的充分不必要条件． (4)因为p⇒q，而qp，所以p是q的充分不必要条件． 11．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神．从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设p为不到长城，推出q非好汉，即p⇒q，则q⇒p，即好汉⇒到长城，故“好汉”是“到长城”的充分条件，故选A.] 12．已知P＝{x|－2<x<10}，Q＝{x|m－1<x<m＋1}，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A．－1<m≤9 B．－1≤m≤9 C．m≤－1 D．m≥9 解析：B　[因为P是Q的必要条件，所以Q⊆P. 所以所以－1≤m≤9.故选B.] 13．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的　________　条件． 解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立．可知p⇒q，反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5， 但x＝2且y＝3不成立．p⇒q，qp，故p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 14．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 证明：①充分性： 因为a＋b＝1，所以b＝1－a， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. 因为ab≠0，所以a≠0且b≠0， 所以a2－ab＋b2≠0. 所以a＋b－1＝0，所以a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$1．2　充要条件 1．2.1　充要条件 第一章 集 合 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） [学习目标] 1．理解真命题，假命题，充分条件，必要条件，充要条件的概念； 2．掌握真假命题的判定方法，掌握充分条件，必要条件，充要条件之间关系的推理方法． 姚明大家都认识，他说过很多很经典的话，其中有一句给我留下了很深刻的印象，他说：“努力不一定成功，但放弃一定失败”． 话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ 提示：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q. [知识点一]　充分条件与必要条件　 命题真假 “如果p，则q”是真命题 推出关系 由p可推出q. 用符号记作p　⇒　q，读作“p推出q” 条件关系 p是q的　充分　条件 q是p的　必要　条件 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． [知识点二]　充要条件　 如果p是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的　充分且必要　条件，简称　充要　条件．记作p⇔q. 3.若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 4．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．已知x∈R，如果p：x＞1，q：x＞0，那么p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[如下图所示： 由图可知，x＞1，则 x＞0；反之，不成立， 所以p⇒q.所以p是q的充分不必要条件．] 2．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[条件乙：－1<x<5.所以0<x<5⇒－1<x<5，但－1<x<5 0<x<5，所以甲是乙的充分不必要条件，故选A.] 3．写出－1＜x＜2的一个必要不充分条件　________　. 解析：因为{x|－1＜x＜2}{x|x＜3}，所以“x＜3”是不等式“－1＜x＜2”成立的一个必要不充分条件． 答案：x＜3 4．用充分条件、必要条件或充要条件填空： (1)b＝0是ab＝0的　________　； (2)x＝－1是x2－2x－3＝0的　_______　； (3)若x，y∈R，则x＝0且y＝0是x2＋y2＝0的　______　. 解析：(1)充分条件；(2)充分条件；(3)充要条件． 　充分条件的判断 　判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：x＋2＝0，q：x2＝4； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； [解]　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)当x＋2＝0时，x＝－2，则x2＝4成立， 所以“x＋2＝0”是“x2＝4”的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.因此pq，所以p不是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [变式训练] 1．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．] 2．设集合M＝{x|0<x≤2}，N＝{x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案：充分 　必要条件的判断 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等． (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形． (3)若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y， (4)若关于x的方程ax＋b＝0((a，b∈R)有唯一解，则a>0. [解析]　(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此， p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)若eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)，则x＝y是真命题． 因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p⇒q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论． (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断． (3)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [变式训练] 3．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)若a和b都是偶数，则a×b是偶数． 解析：(1)该命题是真命题，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为两个三角形相似推不出两个三角形全等，所以q不是p的必要条件． (3)两个偶数的乘仍是偶数．所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　充要条件的判断 　在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：a＝b，q：ac＝bc； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [解]　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件． (2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． (4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但q p，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但p q，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题)首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，BA，则A是B的既不充分也不必要条件． 3．传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． [变式训练] 4．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x＝1；q：x－1＝eq \r(x－1)； (2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解：(1)当x＝1时，x－1＝eq \r(x－1)成立；当x－1＝eq \r(x－1)时，x＝1或x＝2. 所以p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件． (3)由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． 　　　充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　设A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(m,4)))， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－eq \f(m,4)≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围为[8，＋∞)． 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系．依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围． [变式训练] 5．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解：(1)若2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．则只要{x|x<－eq \f(m,2)}⊆{x|x<－1，或x>3}，即只需－eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)若2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆{x|x<－eq \f(m,2)}，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． 1．设命题“若p，则q”为假，而“若q，则p”为真，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：B　[命题“若p，则q”为假，而“若q，则p”为真，则q⇒p ，p q，p是q的必要不充分条件．] 2．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立． 所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.] 3．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件．] 4．用充分条件、必要条件或充要条件填空： (1)A＝∅是A∪B＝B的　________　； (2)A⊆B是A∩B＝A的　________　； (3)x∈A是x∈A∩B的　________　； 解析：(1)充分条件；(2)充要条件；(3)必要条件． 5．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，求m的取值范围． 解：由3x＋m<0，得x<－eq \f(m,3).记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(m,3)))，所以p：A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(m,3)))， 记B＝{x|x<－1或x>3}，所以q：B＝{x|x<－1或x>3}． 因为p是q的一个充分条件，所以p⇒q， 所以A⊆B，所以－eq \f(m,3)≤－1，所以m≥3，即m的取值范围是m≥3. $$