1.1.4 第2课时 集合的补集（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

第2课时　集合的补集 [学习目标] 1．理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集； 2．能够解决交集、并集、补集的综合运算问题． 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}． [问题]　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示：没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． [知识点一]　全集　 1．概念：在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合称为全集．(在研究数集时，通常把实数集R作为全集．) 2．记法：通常记作U. 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．所以全集不一定是实数集． [知识点二]　补集　 1．补集的概念 文字 语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作　∁UA　 符号语言 ∁UA＝　{x|x∈U且x∉A}　 图形 语言 2.补集的性质 对于给定的全集U及它的任意一个子集A有 (1)A∪(∁UA)＝　U　. (2)A∩(∁UA)＝　∅　. (3)∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝　A　. 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ 提示：A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,6,7}，则集合∁UA＝(　　) A．{2,5,8}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 解析：A　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,4,6,7}，所以∁UA＝{2,5,8}．] 2．已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁UM等于(　　) A．∅ B．{a，c} C．{b，d} D．{a，b，c，d} 解析：C　[因为U＝{a，b，c，d}，M＝{a，c}，所以∁UM＝{b，d}．] 3．设全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝　________　. 解析：因为全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝{x|－1＜x≤5}． 答案：{x|－1＜x≤5} 4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝　________　. 解析：由题意a＝3，b＝4，则a＋b＝7. 答案：7 　补集的运算 　(1)设U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,3,4,5}，B＝{3,5,7,8}．求∁UA及∁UB. (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝R，求∁SA. [解]　(1)因为U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以∁UA＝{0,2,6,7,8,9}，∁UB＝{0,1,2,4,6,9}． (2)把集合S和A表示在数轴上如图所示： 由图知∁SA＝{x|x＜－1，或x≥1}． 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． [变式训练] 1．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　) A．{4,8}　　　　 B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10} 解析：C　[依据补集的定义，从集合A＝{0,2,4,6,8,10}中去掉集合B＝{4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故∁AB＝{0,2,6,10}，故选C.] 2．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝{x|－4≤x≤1}，求∁SA. 解：把集合S和A表示在数轴上，如图所示： 由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}． 　集合交、并、补的综合运算 　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．{2,5}　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8) [解析]　A　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．] (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. [解]　把全集U和集合A，B在数轴上表示出来，如图， 由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [变式训练] 3．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3} 解析：C　[由题图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以∁UB＝{0,1,2,4,7,8}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．] 4．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA＝(　　) A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6} C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6} 解析：B　[由补集定义并结合数轴易知∁RA＝{x|x<0或x>6}，故选B.] 　补集的综合应用 　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围． [解]　∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅，因为A∁RB， 所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有2a－2≥a， 所以a≥2. ②若A≠∅，则有或，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围为a≤1，或a≥2. 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [变式训练] 5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：由题知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，如图， 所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是m≥2. 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∁UA＝(　　) A．{1,2,3}　　　　 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{4,5} 解析：C　[因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，所以∁UA＝{3,4,5}．] 2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于(　　) A．{2,3} B．{1,4,5} C．{4,5) D．{1,5} 解析：B　[因为A∩B＝{2,3}，所以∁U(A∩B)＝{1,4,5}．] 3．如图，阴影部分所表示的集合为(　　) A．(∁UB)∩A B．(∁UA)∩B C．∁U(B∩A) D．∁U(A∪B) 解析：B　[由已知中阴影部分在集合B中，而不在集合A中，故阴影部分所表示的元素属于B，但不属于A即(∁UA)∩B.] 4．已知U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，则∁UA＝　__________　. 解析：因为U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，所以∁UA＝{x|0＜x＜2或x≥6}． 答案：{x|0＜x＜2或x≥6} 5．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(∁UA)∩B. 解：因为3x－7≥8－2x，即5x≥15，解得x≥3，所以B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x＜2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}． 1．已知全集U＝R，A＝{x|x＋1＞0}，则∁UA＝(　　) A．{x|x＜－1}　　　　 B．{x|x≤－1} C．{x|x＜1} D．{x|x≤1} 解析：B　[因为A＝{x|x＋1＞0}＝{x|x＞－1}，所以∁UA＝{x|x≤－1}．] 2．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 解析：D　[因为B＝{x|x<1}，所以∁RB＝{x|x≥1}． 所以A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．] 3．设全集U＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{x|x≤1}，B＝{－2,0,2}，则∁U(A∩B)＝(　　) A．{－2,0} B．{－2,0,2} C．{－1,1,2} D．{－1,0,2} 解析：C　[由题知，A∩B＝{－2,0}，又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U(A∩B)＝{－1,1,2}．] 4．设集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤4}，则B∩(∁RA)＝(　　) A．[1,3) B．(－∞，4] C．[3,4] D．[1，＋∞) 解析：A　[由题知，∁RA＝{x|x＜3}，故B∩(∁RA)＝{x|1≤x＜3}．] 5．已知U＝{x|－3≤x＜3}，A＝{x|－2≤x＜3}，则图中阴影表示的集合是(　　) A．{x|－3≤x≤－2} B．{x|x＜－3或x≥3} C．{x|x≤0} D．{x|－3≤x＜－2} 解析：D　[由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是∁UA，所以∁UA＝{x|－3≤x＜－2}．] 6．已知全集U＝R，集合A＝{x||x|＞2}，则∁UA＝　________　. 解析：由题意知，集合A＝{x||x|＞2}＝(－∞，－2) ∪(2，＋∞)，根据集合的补集的概念及运算，可得∁UA＝{x|－2≤x≤2}． 答案：{x|－2≤x≤2} 7．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁UA＝　___________　. 解析：因为全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，所以∁UA＝{x|x＝－3或x＞4}． 答案：{x|x＝－3或x＞4} 8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝　________　. 解析：因为U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，所以A＝{0,3}，故m＝－3. 答案：－3 9．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,4}，B＝{1,4,5,6}． (1)求A∩B及A∪B； (2)求(∁UA)∩B. 解：(1)因为A＝{1,3,4}，B＝{1,4,5,6}，所以A∩B＝{1,3,4}∩{1,4,5,6}＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4}∪{1,4,5,6}＝{1,3,4,5,6}． (2)因为U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁UA＝{2,5,6}，所以(∁UA)∩B＝{2,5,6}∩{1,4,5,6}＝{5,6}． 10．设R为全集，A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，求a的取值范围． 解：因为B＝{x|1＜x＜2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，A∪(∁RB)＝R，所以只需a≥2，即实数a的取值范围为a≥2. 11．图中阴影部分所对应的集合是(　　) A．(A∪B)∩(∁UB) B．∁U(A∩B) C．(∁U(A∩B))∩(A∪B) D．(∁U(A∩B))∪(A∪B) 解析：C　[图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即(A∩(∁UB))∪(B∩(∁UA))＝(∁U(A∩B))∩(A∪B)．] 12．设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，则实数m为　________　. 解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意(舍去)．综上，可知m＝3. 答案：3 13．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R，且A∩B＝∅？ 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}， 所以∁RA＝{x|x＜0，或x＞2}． 因为(∁RA)∪B＝R. 所以所以－1≤a≤0. (2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]， 所以A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即不存在a使(∁RA)∪B＝R，且A∩B＝∅. 14．已知集合A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＜－5或x＞1}，C＝{x|m－1≤x≤m＋1}． (1)求A∪B，A∩(∁RB)； (2)若B∩C＝∅，求实数m的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＜－5或x＞1}，所以A∪B＝{x|x＜－5或x＞－4}，又∁RB＝{x|－5≤x≤1}，所以A∩(∁RB)＝{x|－4＜x≤1}； (2)B∩C＝∅，且C≠∅，则需， 解得， 故实数m的取值范围为[－4,0]． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层训练 课后·素养提升 高数提能 基础过关 》 1.已知全集U=R,A={xr+1>0},则C4=( ) A.{xx<-1} B.{xr≤-1} C.x<1 D.{xr≤I} 解析：B[因为A={r+1>0}=xr>-1},所以C4=xs一1}.] 2.已知集合A={-1≤x≤2}，B={<1},则A∩(CRB)=() A.x1 B.xp≥1} C.x1x≤2} D.{x1≤x≤2} 解析：D[因为B=xk<I},所以CRB={xk≥I}. 所以An(CRB)=xl≤x≤2.] 3.设全集U={-2,-1,0,1,2},A={x≤1}，B={-2,02},则C(4∩B)=() A.{-20} B.{-2,0,2} C.{-1.1,2 D.{-102} 解析：C[由题知，A∩B={-2,0},又U={-2,-1,0,1,2},所以C4B)={-1,1,2}.1 4.设集合A={xr≥3}，B=x1≤x≤4}，则Bn(C4)=() A.[1,3) B.(-o,4] C.[3,4 D.[1,+∞) 解析：A[由题知，C4=xr<3},故Bn(C4)={1x<3}.] 5.已知U={-3≤x<3},A={x-2≤x<3},则图中阴影表示的集合是() A.{-3≤x≤-2} B.{xk<-3或x≥3} C.{xt≤0} D.{x-3≤x<-2} 解析：D[由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的 集合是C4,所以C4={d-3x<-2}.] 6.已知全集U=R,集合A={x>2},则C4= 解析：由题意知，集合A={x>2}=(一∞，一2) U(2,+∞)，根据集合的补集的概念及运算，可得C4={x一2≤x≤2}. 答案：{x-2≤x≤2} 7.已知全集U=xr≥一3}，集合4=x-3<x≤4}，则C4= 解析：因为全集U={xk≥-3}，集合A=x-3<x≤4}，所以C4=r=一3或x >4}. 答案：{xr=一3或x>4} ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.设全集U=0,1,23},集合A={xx2+m=0},若C4={1,2},则实数m= 解析：因为U=0,1,2,3},C4={1,2},所以A=0,3},故m=一3 答案：一3 9.设全集U={123.4,5.6},集合A=13,4},B={14,5.6} (1)求A∩B及AUB: (2)求(C4)∩B 解：(1)因为A={13,4},B=1,4.5,63,所以4∩B=1,3,4}n{1,4,5,6}=1,4},AUB ={13,4}U{14.5.6}={1,34.5.6}. (2)因为U={1,2,3,4,5.6},所以C4=2,5,63,所以(C4)∩B=2.5.6}∩1,4,5,6}= {5.63. 10.设R为全集，A=xk<a},B=x1<x<2},且AU(CRB)=R,求a的取值范围. 解：国为B={x1<x<2},所以CB=xk≤1或x≥2}，又A=xk<a,AU(CB) =R,所以只需a≥2，即实数a的取值范围为a≥2 能力提升 一一》》 11.图中阴影部分所对应的集合是( A.(AUB)n(C B) B.C(nB) C.(CAnB))n(AUB) D.(C (4nB))U(UB) 解析：C[图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即(4门(CB)U(B门 (C 04))=(C d(AnB))0(4UB). 12.设全集U={3,6,m2-m-1},A=3-2ml,6},C4={5},则实数m为 解析：因为C4=5},所以5∈U但5年A,所以m2一m一1=5，解得m=3或m=一 2.当m=3时，13-2m=3≠5，此时U=3,5.6},A=3,6},满足C4={5}:当m=-2时， 3-2ml=7≠5，此时U=3,5,6},A={6,7},不符合题意（舍）.综上，可知m=3 答案：3 13.已知集合A={0≤x≤2}，B={xa≤x≤a+3}. (I)若(C4)UB=R,求a的取值范围： (2)是否存在a使(CR4)UB=R,且AnB=⑦？ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)4={x0≤x≤2}， 所以C4=x取<0，或x>2}. 因为(CR4)UB=R 所以a≤0，a十322，)所以-1≤a≤0 2a+3 (2)由(1)知当(CR4)UB=R时， -1≤a≤0，而a+3∈[23]， 所以ASB,这与A∩B=O矛盾，即不存在a使(C4)UB=R,且A∩B=O 14.已知集合A={x-4<x<2},B=<-5或x>1},C=xm-1≤x≤m+1}. (I)求AUB,A∩(CRB): (②)若B门C=O,求实数m的取值范围 解：(I)因为A={x-4<x<2,B={x<一5或x>1},所以AUB=x<-5或x >-4},又CRB=-5≤x≤1}，所以A∩(CRB)=x-4<x≤1}： (2)BnC=0,且C≠0，则需m-12-5m+1≤1)， 解得m2-4m≤0)， 故实数m的取值范围为[-40]。 ·独家授权侵权必究·第2课时　集合的补集 第一章 集 合 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） [学习目标] 1．理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集； 2．能够解决交集、并集、补集的综合运算问题． 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}． [问题]　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示：没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． [知识点一]　全集　 1．概念：在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合称为全集．(在研究数集时，通常把实数集R作为全集．) 2．记法：通常记作U. 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．所以全集不一定是实数集． [知识点二]　补集　 1．补集的概念 文字 语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作　∁UA　 符号语言 ∁UA＝　{x|x∈U且x∉A}　 图形 语言 2.补集的性质 对于给定的全集U及它的任意一个子集A有 (1)A∪(∁UA)＝　U　. (2)A∩(∁UA)＝　∅　. (3)∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝　A　. 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ 提示：A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,6,7}，则集合∁UA＝(　　) A．{2,5,8}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 解析：A　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,4,6,7}，所以∁UA＝{2,5,8}．] 2．已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁UM等于(　　) A．∅ B．{a，c} C．{b，d} D．{a，b，c，d} 解析：C　[因为U＝{a，b，c，d}，M＝{a，c}，所以∁UM＝{b，d}．] 3．设全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝　________　. 解析：因为全集U＝{x|x＞－1}，M＝{x|x＞5}，则∁UM＝{x|－1＜x≤5}． 答案：{x|－1＜x≤5} 4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝　________　. 解析：由题意a＝3，b＝4，则a＋b＝7. 答案：7 　补集的运算 　(1)设U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,3,4,5}，B＝{3,5,7,8}．求∁UA及∁UB. (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝R，求∁SA. [解]　(1)因为U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以∁UA＝{0,2,6,7,8,9}，∁UB＝{0,1,2,4,6,9}． (2)把集合S和A表示在数轴上如图所示： 由图知∁SA＝{x|x＜－1，或x≥1}． 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． [变式训练] 1．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　) A．{4,8}　　　　 B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10} 解析：C　[依据补集的定义，从集合A＝{0,2,4,6,8,10}中去掉集合B＝{4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故∁AB＝{0,2,6,10}，故选C.] 2．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，S＝{x|－4≤x≤1}，求∁SA. 解：把集合S和A表示在数轴上，如图所示： 由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}． 　集合交、并、补的综合运算 　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．{2,5}　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8) [解析]　A　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．] (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. [解]　把全集U和集合A，B在数轴上表示出来，如图， 由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [变式训练] 3．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝(　　) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3} 解析：C　[由题图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以∁UB＝{0,1,2,4,7,8}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．] 4．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA＝(　　) A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6} C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6} 解析：B　[由补集定义并结合数轴易知∁RA＝{x|x<0或x>6}，故选B.] 　补集的综合应用 　已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围． [解]　∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅，因为A∁RB， 所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2. ②若A≠∅，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－2<a,a≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－2<a,2a－2≥2))，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围为a≤1，或a≥2. 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [变式训练] 5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：由题知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，如图， 所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是m≥2. 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∁UA＝(　　) A．{1,2,3}　　　　 B．{2,3,4} C．{3,4,5} D．{4,5} 解析：C　[因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，所以∁UA＝{3,4,5}．] 2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于(　　) A．{2,3} B．{1,4,5} C．{4,5) D．{1,5} 解析：B　[因为A∩B＝{2,3}，所以∁U(A∩B)＝{1,4,5}．] 3．如图，阴影部分所表示的集合为(　　) A．(∁UB)∩A B．(∁UA)∩B C．∁U(B∩A) D．∁U(A∪B) 解析：B　[由已知中阴影部分在集合B中，而不在集合A中，故阴影部分所表示的元素属于B，但不属于A即(∁UA)∩B.] 4．已知U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，则∁UA＝　__________　. 解析：因为U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，所以∁UA＝{x|0＜x＜2或x≥6}． 答案：{x|0＜x＜2或x≥6} 5．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，(∁UA)∩B. 解：因为3x－7≥8－2x，即5x≥15，解得x≥3，所以B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x＜2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}． $$