1.1.3 集合之间的关系（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．1.3　集合之间的关系 第一章 集 合 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） [学习目标] 1．理解子集的概念及子集相关的一些结论； 2．理解真子集的概念，理解子集与真子集的区别与联系； 3．理解集合相等的定义，能运用相关知识解决集合相等简单问题； 4．能正确地运用符号表示集合与集合的关系． 草原上，蓝蓝的天上白云飘．白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B. [问题]　(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 提示：(1)集合A中的元素都是集合B中的元素． (2)A是B的子集． [知识点一]　子集　 1．子集定义：如果集合A的任意一个　元素　都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作　A⊆B或B⊇A　，读作“A　包含于　B”或“B　包含　A”． 当集合A不是集合B的子集时，记作A B或B⊉A，读作“A不包含于B”，或“B不包含A”． 2．子集的性质：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；空集是任何集合的子集，对于任意一个集合A都有∅⊆A. 1.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． [知识点二]　真子集　 1．真子集定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或”B真包含A”． 2．空集是任何非空集合的真子集． 2.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． [知识点三]　维恩图　 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．如图表示集合A与集合B的关系是A⊆B. [知识点四]　集合相等　 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等，记作　A＝B　. 由集合相等的定义可得：如果A⊆B，且B⊆A，则A＝B.反之，如果A＝B，那么A⊆B，且B⊆A. 1．若集合A＝{－2,0,2}，B＝{0}，则(　　) A．A∈B　　　　　 B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解析：D　[因集合B中只有一个元素0，并且0∈A，于是得集合B是集合A的子集，从而得B⊆A，故选D.] 2．集合{1,2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：A　[集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．] 3．已知集合A＝{－1，m}，B＝{2，n}，且A＝B，则m＝　______　，n＝　______　 解析：因为A＝B，所以集合元素完全相同，所以m＝2，n＝－1. 答案：2　－1 4．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是　________　. 解析：因为{x|x2－1＝0}＝{－1,1}， 所以1∈{x|x2－1＝0}， 又因为－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}， 所以{1}{x|x2－1＝0}． 答案：{1}{x|x2－1＝0} 　求集合的子集、真子集 　(1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． (2)写出集合{a，b，c}的所有子集？写出集合{a，b，c，d}的所有子集？ [解]　(1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}． (2)集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 集合{a，b，c，d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}． 1．写出一个集合的所有子集的常用方法 (1)首先要注意两个特殊子集：∅和它自身； (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集、含有3个元素的子集……写出所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不看1，再看2可与哪些元素搭配． 2．求一个集合子集个数的规律 含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． [变式训练] 1．已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(4,x)＞1，x∈N))，则M的非空子集的个数是(　　) A．15　B．16　　C．7　　D．8 解析：C　[M＝{1,2,3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共7个．] 2．写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． 解：由0个元素构成的子集：∅； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}． 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 　集合间关系的判断 　(1)下列各式中，表述正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.] (2)指出下列各对集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； ③A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ④M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. ③等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ④两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 判断集合间关系的常用方法 1．列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． 2．集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 3．数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∈A 解析：C　[因为集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集的定义可知B⊆A.] 4．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[解x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N⊆M，其对应的Venn图如选项B所示．] 　集合相等 　已知集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，求实数a，b的值． [解]　因为集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，所以有两种情况：①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1,ab＝b))，⇒a＝1或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))，当a＝1时，不符合集合元素的互异性，故舍去；当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))时，符合集合元素的互异性． ②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝b,ab＝1))，⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以a＝－1，b＝0. (1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，若A＝B，则A⊆B，且B⊆A，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需要证A⊆B与B⊆A均成立即可． (2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关． (3)要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断． [变式训练] 5．若整数x、y能使{2x，x＋y}＝{7,4}成立，则xy＝　______　. 解析：因为{2x，x＋y}＝{7,4}，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝7,x＋y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＝4,x＋y＝7))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,2),y＝\f(1,2)))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝5))，所以xy＝10. 答案：10 6．已知集合A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，则m的值为　______　. 解析：因为A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，所以m2＝－m，解得m＝－1或者m＝0.m＝－1不满足集合中元素的互异性，舍去．m＝0符合题意． 答案：0 　由集合间的关系求参数问题 　(1)已知集合A＝{x|x＝x2}，B＝{1，m,2}，若A⊆B，则实数m的值为(　　) A．2　　　　　 B．0 C．0或2 D．1 [解析]　B　[由题意，集合A＝{x|x＝x2}＝{0,1}，因为A⊆B，所以m＝0，故选B.] (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [解]　因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，)) 解得－1≤m<2，综上可知实数m的取值范围为m≥－1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解．此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 提醒：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [变式训练] 7．已知集合A＝{－2,3,1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m的取值集合为(　　) A．{1}　　　　　 B．{eq \r(3)} C．{1，－1} D．{eq \r(3)，eq \r(3)} 解析：C　[若m＝1，则B＝{1,3}，符合B⊆A，排除B，D两个选项．若m＝－1，则B＝{1,3}，符合B⊆A，排除A选项．故选C.] 8．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))) 解析：D　[因为集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，B⊆A，若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0； 若B不为空集，则a≠0；由ax＝1解得x＝eq \f(1,a)，所以eq \f(1,a)＝－1或eq \f(1,a)＝2，解得a＝－1或a＝eq \f(1,2)，综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))).故选D.] 1．若集合M＝{x|x≤6}，a＝eq \r(5)，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊂M　　　　　 B．a⊂M C．{a}∈M D．a∉M 解析：A　[因为集合M＝{x|x≤6}，a＝eq \r(5)，所以{a}⊂M，故选A.] 2．集合M＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为(　　) A．7　　B．8　　　C．15　　　D．16 解析：C　[因为M＝{0,1,2,3}，所以M的真子集个数为24－1＝15个．] 3．下列集合与集合A＝{1,3}相等的是(　　) A．(1,3) B．{(1,3)} C．{x|x2－4x＋3＝0} D．{(x，y)|x＝1，y＝3} 解析：C　[A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，C项：x2－4x＋3＝0，即(x－3)(x－1)＝0，解得x＝3或x＝1，集合{x|x2－4x＋3＝0}即集合{1,3}，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合A＝{1,3}相等的是集合{x|x2－4x＋3＝0}．] 4．设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝　________　. 解析：因为B＝{3}⊆A，所以3∈A，即9－15＋m＝0，所以m＝6. 答案：6 5．A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞a}． (1)若A⊆B，求a的取值范围； (2)若AB，求a的取值范围 解：(1)如图，a≤3. (2)如图，a＜3. $$ 1．1.3　集合之间的关系 [学习目标] 1．理解子集的概念及子集相关的一些结论； 2．理解真子集的概念，理解子集与真子集的区别与联系； 3．理解集合相等的定义，能运用相关知识解决集合相等简单问题； 4．能正确地运用符号表示集合与集合的关系． 草原上，蓝蓝的天上白云飘．白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B. [问题]　(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 提示：(1)集合A中的元素都是集合B中的元素． (2)A是B的子集． [知识点一]　子集　 1．子集定义：如果集合A的任意一个　元素　都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作　A⊆B或B⊇A　，读作“A　包含于　B”或“B　包含　A”． 当集合A不是集合B的子集时，记作A B或B⊉A，读作“A不包含于B”，或“B不包含A”． 2．子集的性质：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；空集是任何集合的子集，对于任意一个集合A都有∅⊆A. 1.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． [知识点二]　真子集　 1．真子集定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或”B真包含A”． 2．空集是任何非空集合的真子集． 2.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． [知识点三]　维恩图　 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．如图表示集合A与集合B的关系是A⊆B. [知识点四]　集合相等　 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等，记作　A＝B　. 由集合相等的定义可得：如果A⊆B，且B⊆A，则A＝B.反之，如果A＝B，那么A⊆B，且B⊆A. 1．若集合A＝{－2,0,2}，B＝{0}，则(　　) A．A∈B　　　　　 B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解析：D　[因集合B中只有一个元素0，并且0∈A，于是得集合B是集合A的子集，从而得B⊆A，故选D.] 2．集合{1,2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：A　[集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．] 3．已知集合A＝{－1，m}，B＝{2，n}，且A＝B，则m＝　______　，n＝　______　 解析：因为A＝B，所以集合元素完全相同，所以m＝2，n＝－1. 答案：2　－1 4．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是　________　. 解析：因为{x|x2－1＝0}＝{－1,1}， 所以1∈{x|x2－1＝0}， 又因为－1∈{x|x2－1＝0}，且－1∉{1}， 所以{1}{x|x2－1＝0}． 答案：{1}{x|x2－1＝0} 　求集合的子集、真子集 　(1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． (2)写出集合{a，b，c}的所有子集？写出集合{a，b，c，d}的所有子集？ [解]　(1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}． (2)集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 集合{a，b，c，d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}． 1．写出一个集合的所有子集的常用方法 (1)首先要注意两个特殊子集：∅和它自身； (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集、含有3个元素的子集……写出所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不看1，再看2可与哪些元素搭配． 2．求一个集合子集个数的规律 含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． [变式训练] 1．已知集合M＝，则M的非空子集的个数是(　　) A．15　B．16　　C．7　　D．8 解析：C　[M＝{1,2,3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共7个．] 2．写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． 解：由0个元素构成的子集：∅； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}． 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 　集合间关系的判断 　(1)下列各式中，表述正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.] (2)指出下列各对集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； ③A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ④M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. ③等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ④两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 判断集合间关系的常用方法 1．列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． 2．集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 3．数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，则下列关系正确的是(　　) A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∈A 解析：C　[因为集合A＝{x|x≥－2}，B＝{x|－2≤x≤1}，所以根据子集的定义可知B⊆A.] 4．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[解x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N⊆M，其对应的Venn图如选项B所示．] 　集合相等 　已知集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，求实数a，b的值． [解]　因为集合{1，a，b}与{a，a2，ab}相等，所以有两种情况：①，⇒a＝1或，当a＝1时，不符合集合元素的互异性，故舍去；当时，符合集合元素的互异性． ②，⇒，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以a＝－1，b＝0. (1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，若A＝B，则A⊆B，且B⊆A，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需要证A⊆B与B⊆A均成立即可． (2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关． (3)要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断． [变式训练] 5．若整数x、y能使{2x，x＋y}＝{7,4}成立，则xy＝　______　. 解析：因为{2x，x＋y}＝{7,4}，所以或，解得(舍去)或，所以xy＝10. 答案：10 6．已知集合A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，则m的值为　______　. 解析：因为A＝{1，－m}，B＝{1，m2}，且A＝B，所以m2＝－m，解得m＝－1或者m＝0.m＝－1不满足集合中元素的互异性，舍去．m＝0符合题意． 答案：0 　由集合间的关系求参数问题 　(1)已知集合A＝{x|x＝x2}，B＝{1，m,2}，若A⊆B，则实数m的值为(　　) A．2　　　　　 B．0 C．0或2 D．1 [解析]　B　[由题意，集合A＝{x|x＝x2}＝{0,1}，因为A⊆B，所以m＝0，故选B.] (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [解]　因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有 解得－1≤m<2，综上可知实数m的取值范围为m≥－1. 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解．此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 提醒：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [变式训练] 7．已知集合A＝{－2,3,1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m的取值集合为(　　) A．{1}　　　　　 B．{} C．{1，－1} D．{，} 解析：C　[若m＝1，则B＝{1,3}，符合B⊆A，排除B，D两个选项．若m＝－1，则B＝{1,3}，符合B⊆A，排除A选项．故选C.] 8．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，B⊆A，若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0； 若B不为空集，则a≠0；由ax＝1解得x＝，所以＝－1或＝2，解得a＝－1或a＝， 综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为.故选D.] 1．若集合M＝{x|x≤6}，a＝，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊂M　　　　　 B．a⊂M C．{a}∈M D．a∉M 解析：A　[因为集合M＝{x|x≤6}，a＝，所以{a}⊂M，故选A.] 2．集合M＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为(　　) A．7　　B．8　　　C．15　　　D．16 解析：C　[因为M＝{0,1,2,3}，所以M的真子集个数为24－1＝15个．] 3．下列集合与集合A＝{1,3}相等的是(　　) A．(1,3) B．{(1,3)} C．{x|x2－4x＋3＝0} D．{(x，y)|x＝1，y＝3} 解析：C　[A项不是集合，B项与D项中的集合是由点坐标组成，C项：x2－4x＋3＝0，即(x－3)(x－1)＝0，解得x＝3或x＝1，集合{x|x2－4x＋3＝0}即集合{1,3}，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合A＝{1,3}相等的是集合{x|x2－4x＋3＝0}．] 4．设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝　________　. 解析：因为B＝{3}⊆A，所以3∈A，即9－15＋m＝0，所以m＝6. 答案：6 5．A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞a}． (1)若A⊆B，求a的取值范围； (2)若AB，求a的取值范围 解：(1)如图，a≤3. (2)如图，a＜3. 1．下列结论正确的是(　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{∅}＝∅ D．{0}＝∅ 解析：A　[A正确，B，C，D不正确．] 2．给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N， ④∉N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z，其中正确命题的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：A　[R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以∈R，∉Q,0∈N，＝2∈N，π∉Q，|－2|＝2∈Z，因此，①正确，②③④⑤⑥不正确．] 3．集合M＝{0,1,2}的子集为(　　) A．{0}，{1}，{2} B．{0}，{1}，{2}，{1,2} C．{0}，{1}，{2}，∅ D．{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}，∅ 解析：D　[集合M＝{0,1,2}的子集有∅，{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．] 4．集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，若A＝B，则a＋b＝(　　) A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：C　[因为集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，又A＝B，所以a＝0，b＝1，则a＋b＝1.] 5．已知集合M＝{x|x是平行四边形}，N＝{x|x是矩形}，P＝{x|x是正方形}，Q＝{x|x是菱形}，则(　　) A．M⊆N B．P⊆N C．Q⊆P D．Q⊆N 解析：B　[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如图所示，由图可知，ACD错误，B正确．] 6．已知集合A＝{2,3,6}，则集合A的真子集的个数是　______　. 解析：因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 答案：7 7．已知集合M＝{3,2a}，N＝{a＋1,3}，若M⊆N，则a＝　___________　. 解析：因为M⊆N，所以2a＝a＋1，即a＝1. 答案：1 8．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝___________________. 解析：由{2,9}＝{1－a,9}， 所以1－a＝2⇒a＝－1. 答案：－1 9．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，所以a≤. 答案：a≤ 10．已知集合P＝{0，x，y}，Q＝{2x,0，y2}，且P＝Q，求x，y的值． 解：依题意P＝Q，若，此时x＝0,2x＝0，不满足集合元素的互异性，不符合题意．若，解得x＝y＝0或x＝，y＝. 当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，不符合题意．当x＝，y＝时，P＝Q＝，符合题意．故x＝，y＝. 11．与集合A＝表示同一集合的是(　　) A．{x＝1，y＝0} B．{1,0} C．{(x，y)|1,0} D．{(1,0)} 解析：D　[由，解得，所以A＝＝{(1,0)}．] 12．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，y的值为　________　； (2)若A⊆C，a的取值范围为　____________　. 解析：(1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3， 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}， 所以所以3<a<5. 答案：(1)1或3　(2)(3,5) 13．已知A＝{a，b，c}，则求： (1)集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系； (2)请写出集合A的所有非空真子集． 解：(1)A＝{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个，其中∅A. (2)集合A的所有非空真子集有{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 14．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数． 解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．下列结论正确的是(　　) A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C．{∅}＝∅ D．{0}＝∅ 解析：A　[A正确，B，C，D不正确．] 2．给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N， ④∉N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z，其中正确命题的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：A　[R、Q、N、Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以∈R，∉Q,0∈N，＝2∈N，π∉Q，|－2|＝2∈Z，因此，①正确，②③④⑤⑥不正确．] 3．集合M＝{0,1,2}的子集为(　　) A．{0}，{1}，{2} B．{0}，{1}，{2}，{1,2} C．{0}，{1}，{2}，∅ D．{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}，∅ 解析：D　[集合M＝{0,1,2}的子集有∅，{0}，{1}，{2}，{1,2}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．] 4．集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，若A＝B，则a＋b＝(　　) A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：C　[因为集合A＝{1，a}，B＝{0，b}，又A＝B，所以a＝0，b＝1，则a＋b＝1.] 5．已知集合M＝{x|x是平行四边形}，N＝{x|x是矩形}，P＝{x|x是正方形}，Q＝{x|x是菱形}，则(　　) A．M⊆N B．P⊆N C．Q⊆P D．Q⊆N 解析：B　[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如图所示，由图可知，ACD错误，B正确．] 6．已知集合A＝{2,3,6}，则集合A的真子集的个数是　______　. 解析：因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有23－1＝7个． 答案：7 7．已知集合M＝{3,2a}，N＝{a＋1,3}，若M⊆N，则a＝　___________　. 解析：因为M⊆N，所以2a＝a＋1，即a＝1. 答案：1 8．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝___________________. 解析：由{2,9}＝{1－a,9}， 所以1－a＝2⇒a＝－1. 答案：－1 9．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，所以a≤. 答案：a≤ 10．已知集合P＝{0，x，y}，Q＝{2x,0，y2}，且P＝Q，求x，y的值． 解：依题意P＝Q，若，此时x＝0,2x＝0，不满足集合元素的互异性，不符合题意．若，解得x＝y＝0或x＝，y＝. 当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，不符合题意．当x＝，y＝时，P＝Q＝，符合题意．故x＝，y＝. 11．与集合A＝表示同一集合的是(　　) A．{x＝1，y＝0} B．{1,0} C．{(x，y)|1,0} D．{(1,0)} 解析：D　[由，解得，所以A＝＝{(1,0)}．] 12．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，y的值为　________　； (2)若A⊆C，a的取值范围为　____________　. 解析：(1)若a＝2，则A＝{1,2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2,3}，所以y＝3， 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}， 所以所以3<a<5. 答案：(1)1或3　(2)(3,5) 13．已知A＝{a，b，c}，则求： (1)集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系； (2)请写出集合A的所有非空真子集． 解：(1)A＝{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个，其中∅A. (2)集合A的所有非空真子集有{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 14．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数． 解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8. 学科网（北京）股份有限公司 $$