1.1.1 集合的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块 上册同步教案（人教版2021）

1．下面各组对象中不能形成集合的是(　　) A．所有的直角三角形 B．一次函数y＝x＋1 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 解析：C　[所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数y＝x＋1，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合．] 2．已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　) A．3∈A　　　　　 B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 解析：C　[很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．] 3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：A　[由集合的互异性可知构成的四边形的边长不相等，故选A.] 4．给出下列说法： ①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q. 其中正确的个数为(　　) A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：B　[实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．] 5．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合 C．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 解析：C　[由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C.] 6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为　________　. 解析：由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，所以x＝0,1,2，故所有元素之和为3. 答案：3 7．下列四个说法中正确的个数是　___________　. ①若a∈N，则－a∉N； ②若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2； ③所有小的正数组成一个集合． 解析：①若0∈N，则－0∈N，故①错误；②若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2，错误，当a＝b＝0时，a＋b＝0；③所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性．所以正确的个数为0. 答案：0 8．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝　___________　. 解析：因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1,4≠3，所以4＝a＋1，所以a＝3. 答案：3 9．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有　______　个元素，最少含有　______　个元素． 解析：因为＝|x|＝±x，－＝－x，且当x＝0时，x＝－x＝|x|＝＝－＝0，所以由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素． 答案：2　1 10．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1. (1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值； (2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 解：(1)因为－3是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.解得a＝0或a＝－1，当a＝0时，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；当a＝－1时，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. (2)若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5，或2a－1＝－5.当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5，显然不满足集合中元素的互异性．综上，－5不能为集合A中的元素． 11．若集合A具有以下性质： ①0∈A,1∈A； ②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．错误；(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．正确；(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.正确．] 12．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>3 13．下列说法中，正确的有　________　.(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 解析：book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3，①不正确；集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形，②正确；小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关，③不正确． 答案：② 14．已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x. (1)若－3∈A，求a的值； (2)若x2∈B，求实数x的值； 解：(1)由－3∈A且a2＋1≥1，所以a2＋1≠－3， 当a－3＝－3时，可得a＝0， 此时A＝{－3，－1,1}符合题意， 当2a－1＝－3时，可得a＝－1， 此时A＝{－4，－3,2}符合题意，所以a＝0或－1. (2)若x2∈B，则x2＝0或x2＝1或x2＝x，解得x＝0或x＝1或x＝－1，由元素互异性可得x≠0且x≠1，所以x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$1．1　集合及其运算 1．1.1　集合的概念 第一章 集 合 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集 合 数学基础模块（RM上） [学习目标] 1．理解集合与元素的概念，了解集合与元素的表示，能准确判断所给的对象能否组成集合； 2．理解集合与元素的关系，能正确地用符号表示集合与元素的关系； 3．理解五种常见数集及大写英文字母的表示； 4．理解有限集、无限集、空集的概念． 人们在交流和讨论问题时往往会不自主地将问题限定在某个特定范围内．比如这家店最好吃的菜，今年新出的好听的歌曲，这场球的最有价值球员等．设想如果没有对问题的讨论范围做出限定，那么问题也就没有意义． 同样地，研究数学问题也要确定研究范围，这是分析和解决问题的基础．而今天要学习的集合就可以用来描述这个研究范围． [知识点一]　集合的相关概念 1．集合：一般地，把一些能够确定的，不同的　对象　汇集在一起，就说由这些对象的全体组成一个集合(有时简称集) 2．元素：组成这个集合的对象称为这个集合的元素． 3．符号表示：集合：用大写英文字母　A，B，C，…　表示；元素：用小写英文字母　a，b，c，…　表示． 1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． [知识点二]　元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集 合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A a∉A “a不属于A” [知识点三]　集合的性质　 1．确定性：组成集合的元素必须是确定的，一个元素要么属于集合要么不属于集合． 2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的． 3．无序性：集合中元素排列顺序没有要求． 2.某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准． [知识点四]　集合的分类(按元素个数)　 1．有限集：含有有限个元素的集合称为有限集． 2．无限集：含有无限个元素的集合称为无限集． 3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 　∅　. [知识点五]　常见的数集及符号表示　 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　N　 　N*或N＋　 　Z　 　Q　 　R　 3.N与N*(N＋)有何区别？ 提示：N*(N＋)是所有的正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*(N＋)多一个元素0. 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．某校高一(2)班的全体男生 B．某校全体学生的家长 C．李明的所有家人 D．王明的所有好朋友 答案：D 2．下列四个关系式：①eq \r(5)∈R；②eq \f(1,4)∉Q；③0∈N； ④0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　 　D．4 解析：C　[eq \f(1,4)∈Q，②错；①③④正确．] 3．设不等式2x－1<0的解集为A ，则3　________　A，0　______　A，eq \f(1,2)　________　A(用符号“∈”或“∉”填空) 解析：由2x－1<0，得x<eq \f(1,2)，所以3∉A,0∈A，eq \f(1,2)∉A. 答案：∉　∈　∉ 4．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2 022的正约数的全体组成的集合；③2023年7月在上海接种疫苗的所有人组成的集合；④末位是7的全体自然数组成的集合．其中是有限集的序号为　______　，是无限集的序号为　______　. 解析：①由于负整数集是无限集，所以5的负整数倍的全体组成的集合是无限集． ②由于2 022＝1×2×3×337，所以2 022的正约数的全体组成的集合是有限集． ③2023年7月在上海接种疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集． ④末位数是7的全体自然数组成的集合，显然是无限集． 答案：②③　①④ 　集合的概念 　考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． (1)2023年全国高考数学试卷中的所有难题； (2)观看天宫一号与天宫二号自动交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员． [解]　(1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是无法确定的，故不能组成一个集合．(2)元素“观众”是确定的，所以能组成一个集合．(3)接近1的实数没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一个集合．(4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以不能组成一个集合． 判断一些对象能否构成集合的方法 (1)判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键． (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准． 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性． [变式训练] 1．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7 m的同学． 解：(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集． (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集． (3)因为我们班身高大于1.7 m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7 m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7 m的同学是有限的，故该集合为有限集． 　元素与集合的关系 　给出下列关系：①eq \f(1,3)∈R；②eq \r(3)∈Q；③－3∉Z；④－eq \r(3)∉N，其中正确的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 [解析]　B　[eq \f(1,3)是实数，①正确；eq \r(3)是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－eq \r(3)是无理数，④正确，所以正确的个数为2.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． [变式训练] 2．用符号“∈”和“∉”填空： (1)eq \f(1,2)　______　N；(2)1　______　Z；(3)－2　______　R； (4)π　______　Q；(5)32　______　N；(6)0　______　∅. 解析：由N，Z，R，Q，∅所表示的集合，由元素与集合的关系可判断(1)∉　(2)∈　(3)∈　(4)∉　(5)∈　(6)∉. 答案：(1)∉　(2)∈　(3)∈　(4)∉　(5)∈　(6)∉ 　集合的性质 　已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 [解析]　B　[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．] 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 [变式训练] 3．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等．则a＝　________　. 解析：由题意知a2＝4，即a＝±2. 答案：±2 1．下列条件所指对象能构成集合的是(　　) A．与0非常接近的数 B．我班喜欢跳舞的同学 C．我校学生中的团员 D．我班的高个子学生 解析：C　[A.与0非常接近的数不能构成集合，因为与0非常接近的数不具备确定性；B.我班喜欢跳舞的同学不能构成集合，因为我班喜欢跳舞的同学不具备确定性；C.我校学生中的团员能构成集合，因为我校学生中的团员具备确定性；D.我班的高个子学生不能构成集合，因为我班的高个子学生不具备确定性．] 2．考察下列每组对象，能组成一个集合的是(　　) ①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④eq \r(3)的近似值． A．①②　B．③④　　C．②③　　D．①③ 答案：C 3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－5 C.eq \f(3,7) D.eq \r(7) 解析：D　[由题意知a应为无理数，故a可以为eq \r(7).] 4．集合N表示　________　集合；集合Z*表示　________　集合；集合R*表示　________　集合． 解析：集合N表示自然数集合；集合Z*表示正整数集合；集合R*表示正实数集合， 答案：自然数　正整数　正实数 5．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x， (1)求实数x应满足的条件． (2)若－2∈A，求实数x. 解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解之得x≠－1且x≠0，且x≠3. (2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2. 由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2. $$ 1．1　集合及其运算 1．1.1　集合的概念 [学习目标] 1．理解集合与元素的概念，了解集合与元素的表示，能准确判断所给的对象能否组成集合； 2．理解集合与元素的关系，能正确地用符号表示集合与元素的关系； 3．理解五种常见数集及大写英文字母的表示； 4．理解有限集、无限集、空集的概念． 人们在交流和讨论问题时往往会不自主地将问题限定在某个特定范围内．比如这家店最好吃的菜，今年新出的好听的歌曲，这场球的最有价值球员等．设想如果没有对问题的讨论范围做出限定，那么问题也就没有意义． 同样地，研究数学问题也要确定研究范围，这是分析和解决问题的基础．而今天要学习的集合就可以用来描述这个研究范围． [知识点一]　集合的相关概念 1．集合：一般地，把一些能够确定的，不同的　对象　汇集在一起，就说由这些对象的全体组成一个集合(有时简称集) 2．元素：组成这个集合的对象称为这个集合的元素． 3．符号表示：集合：用大写英文字母　A，B，C，…　表示；元素：用小写英文字母　a，b，c，…　表示． 1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． [知识点二]　元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集 合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A a∉A “a不属于A” [知识点三]　集合的性质　 1．确定性：组成集合的元素必须是确定的，一个元素要么属于集合要么不属于集合． 2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的． 3．无序性：集合中元素排列顺序没有要求． 2.某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准． [知识点四]　集合的分类(按元素个数)　 1．有限集：含有有限个元素的集合称为有限集． 2．无限集：含有无限个元素的集合称为无限集． 3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 　∅　. [知识点五]　常见的数集及符号表示　 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　N　 　N*或N＋　 　Z　 　Q　 　R　 3.N与N*(N＋)有何区别？ 提示：N*(N＋)是所有的正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*(N＋)多一个元素0. 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．某校高一(2)班的全体男生 B．某校全体学生的家长 C．李明的所有家人 D．王明的所有好朋友 答案：D 2．下列四个关系式：①∈R；②∉Q；③0∈N； ④0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　 　D．4 解析：C　[∈Q，②错；①③④正确．] 3．设不等式2x－1<0的解集为A ，则3　________　A，0　______　A，　________　A(用符号“∈”或“∉”填空) 解析：由2x－1<0，得x<，所以3∉A,0∈A，∉A. 答案：∉　∈　∉ 4．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2 022的正约数的全体组成的集合；③2023年7月在上海接种疫苗的所有人组成的集合；④末位是7的全体自然数组成的集合．其中是有限集的序号为　______　，是无限集的序号为　______　. 解析：①由于负整数集是无限集，所以5的负整数倍的全体组成的集合是无限集． ②由于2 022＝1×2×3×337，所以2 022的正约数的全体组成的集合是有限集． ③2023年7月在上海接种疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集． ④末位数是7的全体自然数组成的集合，显然是无限集． 答案：②③　①④ 　集合的概念 　考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． (1)2023年全国高考数学试卷中的所有难题； (2)观看天宫一号与天宫二号自动交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员． [解]　(1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是无法确定的，故不能组成一个集合．(2)元素“观众”是确定的，所以能组成一个集合．(3)接近1的实数没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一个集合．(4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以不能组成一个集合． 判断一些对象能否构成集合的方法 (1)判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键． (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准． 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性． [变式训练] 1．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7 m的同学． 解：(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集． (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集． (3)因为我们班身高大于1.7 m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7 m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7 m的同学是有限的，故该集合为有限集． 　元素与集合的关系 　给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 [解析]　B　[是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确，所以正确的个数为2.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． [变式训练] 2．用符号“∈”和“∉”填空： (1)　______　N；(2)1　______　Z；(3)－2　______　R； (4)π　______　Q；(5)32　______　N；(6)0　______　∅. 解析：由N，Z，R，Q，∅所表示的集合，由元素与集合的关系可判断(1)∉　(2)∈　(3)∈　(4)∉　(5)∈　(6)∉. 答案：(1)∉　(2)∈　(3)∈　(4)∉　(5)∈　(6)∉ 　集合的性质 　已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 [解析]　B　[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．] 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 [变式训练] 3．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等．则a＝　________　. 解析：由题意知a2＝4，即a＝±2. 答案：±2 1．下列条件所指对象能构成集合的是(　　) A．与0非常接近的数 B．我班喜欢跳舞的同学 C．我校学生中的团员 D．我班的高个子学生 解析：C　[A.与0非常接近的数不能构成集合，因为与0非常接近的数不具备确定性；B.我班喜欢跳舞的同学不能构成集合，因为我班喜欢跳舞的同学不具备确定性；C.我校学生中的团员能构成集合，因为我校学生中的团员具备确定性；D.我班的高个子学生不能构成集合，因为我班的高个子学生不具备确定性．] 2．考察下列每组对象，能组成一个集合的是(　　) ①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的近似值． A．①②　B．③④　　C．②③　　D．①③ 答案：C 3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14 B．－5 C. D. 解析：D　[由题意知a应为无理数，故a可以为.] 4．集合N表示　________　集合；集合Z*表示　________　集合；集合R*表示　________　集合． 解析：集合N表示自然数集合；集合Z*表示正整数集合；集合R*表示正实数集合， 答案：自然数　正整数　正实数 5．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x， (1)求实数x应满足的条件． (2)若－2∈A，求实数x. 解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3. 解之得x≠－1且x≠0，且x≠3. (2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2. 由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2. 1．下面各组对象中不能形成集合的是(　　) A．所有的直角三角形 B．一次函数y＝x＋1 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 解析：C　[所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数y＝x＋1，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合．] 2．已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　) A．3∈A　　　　　 B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 解析：C　[很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．] 3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：A　[由集合的互异性可知构成的四边形的边长不相等，故选A.] 4．给出下列说法： ①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q. 其中正确的个数为(　　) A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：B　[实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．] 5．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合 C．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 解析：C　[由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C.] 6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为　________　. 解析：由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，所以x＝0,1,2，故所有元素之和为3. 答案：3 7．下列四个说法中正确的个数是　___________　. ①若a∈N，则－a∉N； ②若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2； ③所有小的正数组成一个集合． 解析：①若0∈N，则－0∈N，故①错误；②若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2，错误，当a＝b＝0时，a＋b＝0；③所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性．所以正确的个数为0. 答案：0 8．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝　___________　. 解析：因为4∈M，且集合M有两个元素3和a＋1,4≠3，所以4＝a＋1，所以a＝3. 答案：3 9．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有　______　个元素，最少含有　______　个元素． 解析：因为＝|x|＝±x，－＝－x，且当x＝0时，x＝－x＝|x|＝＝－＝0，所以由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素． 答案：2　1 10．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1. (1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值； (2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 解：(1)因为－3是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.解得a＝0或a＝－1，当a＝0时，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；当a＝－1时，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. (2)若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5，或2a－1＝－5.当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5，显然不满足集合中元素的互异性．综上，－5不能为集合A中的元素． 11．若集合A具有以下性质： ①0∈A,1∈A； ②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．错误；(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．正确；(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.正确．] 12．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>3 13．下列说法中，正确的有　________　.(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 解析：book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3，①不正确；集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形，②正确；小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关，③不正确． 答案：② 14．已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x. (1)若－3∈A，求a的值； (2)若x2∈B，求实数x的值； 解：(1)由－3∈A且a2＋1≥1，所以a2＋1≠－3， 当a－3＝－3时，可得a＝0， 此时A＝{－3，－1,1}符合题意， 当2a－1＝－3时，可得a＝－1， 此时A＝{－4，－3,2}符合题意，所以a＝0或－1. (2)若x2∈B，则x2＝0或x2＝1或x2＝x，解得x＝0或x＝1或x＝－1，由元素互异性可得x≠0且x≠1，所以x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$