第三章 整式及其加减（知识梳理+练习）2025-2026学年北师大版（数学）七年级上册

第三章 整式及其加减 一、单选题 1．单项式的系数、次数分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的知识，掌握单项式的系数及次数的定义是解答此类问题的关键，属于基础题．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此即可得出答案． 【详解】解：单项式的系数、次数分别是，4， 故选：A． 2．下列代数式次数是6的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的次数计算，整式的次数等于各项内字母指数之和，取最高次，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A． 的次数为7，故不符合题意； B． 的最高次的次数为5，故不符合题意； C． 的次数为4，故不符合题意； D． 的次数为6，故符合题意； 故选：D． 3．将正整数按图所示的规律排列，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示整数8，则表示的整数是（   ） A．31 B．32 C．33 D．41 【答案】C 【分析】根据行列规律可知从1开始，第m行有m个数，每行都是从左到右数由大到小，第1行1个数；第2行2个数；第3行3个数；第4行4个数…根据此规律即可得出结论． 【详解】解：由数字排列规律可知：第7行最后一个数为， ∴表示的整数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了读图找规律的能力，能理解题意，从数列中找到数据行列的规律是解题的关键． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，去括号，先结合乘法分配律，根据去括号法则进行化简，根据结果进行判断A，B即可；再根据合并同类项法则合并，根据结果进行判断C，D即可． 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为，所以B符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意. 故选：B． 5．去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间的关系如下表，下列可以反映y与x之间的关系的式子是（   ） 等待时间 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成反比例关系，熟练掌握成反比例关系的定义是解题的关键；根据表格可知，x与y的乘积一定，即可得出y与x之间的关系的式子． 【详解】解：观察表格发现：， ， ， 故选：． 6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 【答案】B 【分析】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．由已知图形观察规律，即可得到第13代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， .....． ∴第13代勾股树中正方形有（个）， 故选：B． 7．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，再根据大长方形的长不变可得，再求出的值，即为长与宽的差． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，即， 整理得：， 则小长方形的长与宽的差是， 故选：D． 【点睛】此题考查了列方程、整式的加减、等式的性质，根据大长方形的长不变建立方程是解本题的关键． 8．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为199，291，396，567，老师判定4个结果中只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，整除，根据题意设原数为，则得出是99的倍数，进而即可求解． 【详解】解：答对的是乙同学． 设原数为，则 是的倍数． ∵199，291，396，567中，只有396是99的倍数，． ∴答对的是丙同学， 故选：C． 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则逐项计算并判定即可，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、与不能合并，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选：． 10．已知，对多项式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，称这种操作为“绝对操作”．例如：，，等．对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．下列说法其中正确的个数是（    ） ①存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，整式的加减运算，根据“绝对操作”的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，， ①要使化简的结果与原多项式相等，则去绝对值后所有的符号不发生改变， ∴当，，，，，，任意一个添加绝对值后，化简后的结果与原多项式相等，有6种情况， 当，或两个都添加绝对值后，化简后的结果与原多项式相等，有2种情况， 故存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等；故①正确； ②任意“绝对操作”化简后的结果不存在项，故不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确； ③添加一个绝对值后，有6种结果与原多项式相等，即为， ， ， 添加两个绝对值，有2种结果与原多项式相等， ． 综上：总共有6种不同的结果；故③错误； 故选C． 二、填空题 11．已知2a﹣b＝﹣2，则6+（4b﹣8a）的值是 ． 【答案】14． 【分析】根据去括号和添括号法则把原式变形，整体代入计算，得到答案． 【详解】解：6+（4b﹣8a） ＝﹣8a+4b+6 ＝﹣4（2a﹣b）+6， 当2a﹣b＝﹣2，原式＝﹣4×（﹣2）+6＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则和整体代入是解题的关键． 12．对于有理数，，定义一种新运算“”，规定，则式子化简后可得到 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算．根据新运算的法则，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 13．某商场将进价为m元的电风扇，先按进价的倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式．根据题意表示出现在的售价即可． 【详解】解：某商品的进价为m元，先按进价的1.2倍标价，后又降价80元，则现在的售价为元， 故答案为：． 14．小明在他家的时钟（如图）上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在点钟响起后，下次则在后响起，例如钟声第1次在3点钟响起，那么第2次在后，即8点响起；第3次在后，即23点响起，以此类推，…，现在第1次钟声响起时为1点钟，那么第3次响起时为 点，第2023次响起时为 点． 【答案】 5 5 【分析】本题考查了钟面上的规律，采用枚举法，发现规律是解题的关键． 【详解】为了更好发现规律，建立如下表格： 次数 起始点 间隔时间 响铃点 2 1 1 2 3 2 3 5 4 5 9 14 5 14 27 17 6 17 33 2 7 2 3 5 7 5 9 14 8 14 27 17 9 … … … 根据图表，发现第3次响铃点为5点，且除了第1次，响铃点每4次为一个循环周期， 且， 故第2023次的响铃点与第3次相同即为5点， 故答案为：5，5． 15．设，且 A末尾三个数字都是 0，那么，□最小为 ． 【答案】80 【分析】找出中数字具有的规律，从而确定□的最小值．本题考查的是规律型：数字的变化类，解题的关键是找到中数字的规律． 【详解】解：∵ ∴中数字具有的规律是：第位数等于第位数加， 则用排列法列出 2，3，5，8，12，17，23，30，38，47，57，68，80，， ∵A末尾三个数字都是0， ∴A的因数中最少有3个偶数，且最小3个能被5整除的因数， 目前的式子中已经出现的因数中有3个以上的偶数和2个能被5整除的书， ∴还差一个能被5整除的因数，使A末尾三个数字都是0， ∴□最小为80． 故答案为：80． 16．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，，，记为，游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．（若有两个或三个盘子中的糖果数相同，则游戏结束），n次操作后的糖果数记为小明发现：如果那么游戏将永远无法结束，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给游戏规则得出从开始，括号内数的排列按循环出现是解题的关键． 根据题意，依次求出三个盘子中糖果数量，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为 所以 由此可见，从开始，括号内数的排列按循环出现， 又因为， 所以． 故答案为：． 三、解答题 17．如图是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线剪开分成四个相同的小长方形，然后按图方式拼成一个大正方形． (1)求图中，小正方形（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)当，时，求这个小正方形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出阴影部分是边长为的正方形即可； （2）把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：图中，阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积为； （2）当，时， ． 18．习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，足球每个120元，跳绳每条定价20元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳，B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； 若在B网店购买，需付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)在A网店购买较为合算 (3)先从A网店购买60个足球，再从B网店购买40条跳绳．共计付款7920元 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用A，B两个网店的优惠方案分别计算足球与跳绳的付费金额是解题的关键． （1）利用A，B两个网店的优惠方案分别计算足球与跳绳的付费金额再相加即可； （2）将分别代入两个代数式计算通过比较结果即可得出结论； （3）通过计算得出方案：先从A网店购买60个足球，送60条跳绳，再从B网店购买40条跳绳即可． 【详解】（1）解：若在A网店购买，需付款：元； 若在B网店购买，需付款：元． 故答案为：；； （2）解：当时， （元）， （元）， ， ∴在A网店购买较为合算． （3）解：当时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买40条跳绳 （元）． ∴当时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买40条跳绳．共计付款7920元． 19．已知与的和不含x的一次项，试求： (1)b的值； (2)代入b的值后求出这两个多项式的和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再根据不含x的一次项得到，即； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解； ， ∵与的和不含x的一次项， ∴， ∴； （2）解：当时， ， ∴这两个多项式的和为． 20．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2的两点之间的距离是______；如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______． (2)若数轴上表示数m的点位于和2之间，求的值． (3)如图，点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c．若点A代表的数为，B为的中点．数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式的值都不变，求b的值． 【答案】(1)3；5；1或 (2)6 (3) 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，得到当数轴上表示数m的点位于和2之间时，为数轴数到2的距离，进行求解即可； （3）化简绝对值，合并同类项后，根据代数式的值不变，说明代数式的值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：，，或； 故答案为：3；5；1或； （2）∵数轴上表示数m的点位于和2之间， ∴； （3）∵B为的中点， ∴， ∴， ∵动点M，在B、C两点之间， ∴， ∴ ， ∵无论点M运动到何处，代数式的值都不变， ∴，即：， ∴． 21．已知，，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． （1）把，，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）把，代入（1）化简的结果计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）当，时， 原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 整式及其加减 一、知识梳理 1、单项式 (1)定义:由数与字母的　　组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个　　也是单项式).(2)次数:单项式中所有字母的　 .  2、多项式 (1)定义:几个单项式的　　叫做多项式.(2)次数:一个多项式中,　 　的项的次数.  3、整式 单项式与　　统称为整式.  4、同类项 所含字母　　并且相同字母的指数也　 　的项叫做同类项.所有的常数项都是　 　项.  5、整式的加减 (1)合并同类项:同类项的系数相加作为新的系数,字母和字母的指数　 　.  (2)去括号法则:添(去)括号:括号前面是“+”号,添(去)括号都　 　符号;括号前面是“-”号,添(去)括号都要　 　符号.  (3)整式的加减运算法则:先去括号,再合并同类项. 二、单元过关检测 一、单选题 1．单项式的系数、次数分别是（    ） A．，4 B．，4 C．，3 D．，3 2．下列代数式次数是6的是（    ） A． B． C． D． 3．将正整数按图所示的规律排列，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示整数8，则表示的整数是（   ） A．31 B．32 C．33 D．41 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间的关系如下表，下列可以反映y与x之间的关系的式子是（   ） 等待时间 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 A． B． C． D． 6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第13代勾股树中正方形的个数为（    ） A．16382 B．16383 C．16384 D．16385 7．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 8．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为199，291，396，567，老师判定4个结果中只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，对多项式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，称这种操作为“绝对操作”．例如：，，等．对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．下列说法其中正确的个数是（    ） ①存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．已知2a﹣b＝﹣2，则6+（4b﹣8a）的值是 ． 12．对于有理数，，定义一种新运算“”，规定，则式子化简后可得到 ． 13．某商场将进价为m元的电风扇，先按进价的倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是 元． 14．小明在他家的时钟（如图）上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在点钟响起后，下次则在后响起，例如钟声第1次在3点钟响起，那么第2次在后，即8点响起；第3次在后，即23点响起，以此类推，…，现在第1次钟声响起时为1点钟，那么第3次响起时为 点，第2023次响起时为 点． 15．设，且 A末尾三个数字都是 0，那么，□最小为 ． 16．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，，，记为，游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．（若有两个或三个盘子中的糖果数相同，则游戏结束），n次操作后的糖果数记为小明发现：如果那么游戏将永远无法结束，则＝ ． 三、解答题 17．如图是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线剪开分成四个相同的小长方形，然后按图方式拼成一个大正方形． (1)求图中，小正方形（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)当，时，求这个小正方形（阴影部分）的面积． 18．习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，足球每个120元，跳绳每条定价20元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳，B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； 若在B网店购买，需付款 元．（用含x的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 19．已知与的和不含x的一次项，试求： (1)b的值； (2)代入b的值后求出这两个多项式的和． 20．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2的两点之间的距离是______；如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______． (2)若数轴上表示数m的点位于和2之间，求的值． (3)如图，点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c．若点A代表的数为，B为的中点．数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式的值都不变，求b的值． 21．已知，，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$