3.2 整式的加减（思维导图+知识梳理+练习）2025-2026学年北师大版数学七年级上册第三章有整式及其加减

3.2整式的加减 1．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 2．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），据此即可判断． 【详解】解：A、与所含字母不同，错误，不符合题意； B、不是整式，错误，不符合题意； C、与相同字母的次数不同，错误，不符合题意； D、与是同类项正确，符合题意． 故选：D． 3．已知单项式与 是同类项，则k，m的值为（    ） A．2，2 B．1，2 C．2， D．0，2 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵单项式与 是同类项， ∴， ∴，． 故选：D． 4．如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，即相同字母的指数相同，可以列出方程组，然后求出方程组的解即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， 解得，， 故选：C． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算及有理数的运算，根据整式的加减运算及有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：A． ，计算错误； B． 表示先平方后取负，即，计算错误； C． 与指数不同，不是同类项，无法合并为，计算错误； D． ，同类项合并正确． 故选：D 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减．如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这两个单项式为同类项，可以进行合并，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．去括号应得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号法则的应用，当括号前是负号时，去掉括号后，括号内的每一项都要改变符号；根据括号前是负号时的法则去括号即可． 【详解】解：； 故选：A． 8．下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则逐一化简即可判断求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式不相等，符合题意； 故选：． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 10．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 11．下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号，添括号，根据去括号和添括号法则，逐一进行判断即可，注意括号外面是负号，括号内的每一项都要变号，括号外面有系数，括号内的每一项都要乘这个系数． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选B． 12．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号法则的应用，注意：当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 13．对多项式进行添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号的方法求解即可． 【详解】解：根据添括号的法则可知，或． 故选：D． 14．已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号法则，解答此题的关键是熟练掌握添括号法则：添的括号前是正数时，被括到括号里的各项的符号都不变，添的括号前是负数时，被括到括号里的各项的符号都改变． 根据添括号法则解答即可，注意符号变化． 【详解】解：根据题意将添括号，， 故选：C． 15．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 16．化简 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）将式子去括号，合并同类项求解即可； （2）将式子去括号，合并同类项求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．求与的和． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 先合并同类项然后代数求解即可． 【详解】 ， ∵，， ∴原式． 19．先化简，再求值：     其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的混合运算等知识点，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． 利用整式的加减运算法则先进行化简，再代数求值即可． 【详解】解： ， 将代入上式得， 原式． 20．先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 21．已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 22．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 23．课堂上李老师出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式写完后让王红同学顺便给出一组，的值，老师自己说答案，当王红说完“，”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误．”亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ 【答案】相信，道理见解析 【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据结果为常数进行分析说明．本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【详解】解：相信，道理如下： ． ∵结果为常数3， ∴原式的结果与字母a，b的取值无关， ∴李老师能够准确地说出代数式的值为3． 24．阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题思路，把看作一个整体，再进行合并同类项，即可作答． （2）先去括号再合并同类项得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴． 25．我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除，就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除，就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； 【答案】（1）能，理由见解析；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）能被整除，理由如下： ，能够被整除， 能被整除； （2）由题意可得：， 故答案为：； （3）由（2）可得， 能被7整除， （为整数）， ， ， 三位数能被整除； （4）①， 是的倍数， （为整数）， ， ， 是的倍数，故①正确； ②， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故②错误； ③， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①， 故答案为：①． 26．如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【答案】(1)米； (2)围栏的造价是2700元． 【分析】本题考查代数式求值，列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据周长的定义求解； （2）利用（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为 （米）． （2）解：当时， （米）， （元）． 答：围栏的造价是2700元． 27．（1）已知是最大的负整数，是倒数等于它本身的数，的相反数和绝对值都是它本身．请你求：的值． （2）有理数在数轴上的位置如图所示，且．试化简代数式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的定义，根据数轴判定式子正负． （1）根据题意得到，，，代入计算即可； （2）由数轴可知，可得，，，，代入化简即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是倒数等于它本身的数，的相反数和绝对值都是它本身， ∴，， ∴ ∴； （2）解：由数轴可知， ∴，，，， ∴ 28．已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2整式的加减 一、本节思维导图 二、本节知识梳理 （一）同类项 （1）判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． （二）合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做 ． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． （三）去括号法则 如果括号外的因数是正数， ； 如果括号外的因数是负数， ． (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （四）添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项 ； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项 ． 如：， （五）整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 三、题型练习 （一）同类项相关知识 1．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 2．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 3．已知单项式与 是同类项，则k，m的值为（    ） A．2，2 B．1，2 C．2， D．0，2 4．如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． （二）去括号 7．去括号应得（   ） A． B． C． D． 8．下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． （三）添括号 11．下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 12．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 13．对多项式进行添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则括号里的式子是（　　） A． B． C． D． （四）整式的加减 15．化简： (1) (2) 16．化简 (1)； (2) 17．求与的和． （五）整式的化简求值 18．先化简，再求值： ，其中，． 19．先化简，再求值：     其中． 20．先化简，再求值：已知，求代数式的值． （六）整式的化简后与字母无关 21．已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 22．已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 23．课堂上李老师出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式写完后让王红同学顺便给出一组，的值，老师自己说答案，当王红说完“，”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误．”亲爱的同学你相信吗？你能说出其中的道理吗？ （七）整式的应用 24．阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 25．我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除，就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除，就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； 26．如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． （八）整式和绝对值 27．（1）已知是最大的负整数，是倒数等于它本身的数，的相反数和绝对值都是它本身．请你求：的值． （2）有理数在数轴上的位置如图所示，且．试化简代数式：． 28．已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$