专题1集合（讲义） -山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》（解析版+原卷版）

编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的定义、集合之间的关系、集合之间的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点1 集合的含义与表示 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示； 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法； 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 常用结论： （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个； （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 1.（14-15高三·山西·一模）用列举法表示“大于3且小于10的奇数的全体”构成的集合是（    ） A． B． C． D． 2.（2024高一上·全国·专题练习）已知集合中只有一个元素，则的值为（ ） A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定 3.（19-20高三下·山西太原·三模）下列符号表示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（18-19高三·山西·对口/高职单招）设，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三·山西·一模）设集合，则满足的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 1．设集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 3．下列哪个选项不属于（   ） A．2 B． C． D．. 4．下列四个说法中正确的个数是 ． ①，则； ②，则的最小值为2； ③所有小的正数组成一个集合． 5. 用列举法表示集合 ． 6．设集合，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．已知表示空集，N表示自然数集，则下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，，且，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 9. 已知，若集合，，则“”是“”的 ．（填充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件） 10. 已知集合，若，求实数的值． 知识点3 集合间的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 常用结论： （1）交集运算，，，，， （2）并集运算：，，，， （3）补集运算：，， （4） （5） 1．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西·一模）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山西·三模）已知全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·山西朔州·模拟预测）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，则（   ） A．A B．B C．0 D． 2．设集合，，若，则（    ） A．4 B．1 C．2 D．0 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 9. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及山西历年对口升学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共51个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山西省2026年对口升学一轮复习《数学知识点清单》的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的定义、集合之间的关系、集合之间的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山西省2026年对口升学 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点1 集合的含义与表示 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示； 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法； 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 常用结论： （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个； （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 1.（14-15高三·山西·一模）用列举法表示“大于3且小于10的奇数的全体”构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将元素一一列举出来并用列举法表示即可. 【详解】已知“大于3且小于10的奇数的全体”有， 用列举法表示为. 2.（2024高一上·全国·专题练习）已知集合中只有一个元素，则的值为（ ） A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据集合中只有一个元素，可得出方程只有一个根，在分别讨论两种情况即可. 【详解】已知集合中只有一个元素， 则当时，，符合题意； 当时，有，解得，符合题意. 所以的值为0或1， 故选：B. 3.（19-20高三下·山西太原·三模）下列符号表示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由元素与集合，集合与集合之间的关系即可判断出选项. 【详解】对于选项A，元素与集合之间不能用“”表示，故A选项错误； 对于选项B，是集合的一个元素，即正确，故B选项正确； 对于选项C，两个集合之间的关系不能用“”，故C选项错误； 对于选项D，一个元素与一个集合不能用等号表示，故D选项错误. 故选：B. 4．（18-19高三·山西·对口/高职单招）设，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系易得出答案. 【详解】A、B、C数学符号错误，故选项也是错误，D选项空集是任何集合的子集，故正确. 故选:D. 5．（23-24高三·山西·一模）设集合，则满足的集合的个数为（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据集合并集结果得到集合A与集合B的关系，再由子集的计算方法计算个数即可. 【详解】因为，所以，即集合是集合的一个子集， 集合中有4个元素，故它的子集的个数为. 故选：A. 1．设集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意元素与集合的关系及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 则，故充分性成立； 或，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件， 故选：. 2．以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【答案】A 【分析】根据集合中的元素具有确定性判断选项即可. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足. 故选：A. 3．下列哪个选项不属于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的定义可判断. 【详解】 为有理数集， ，均为有理数， 为无理数， 即不属于 故选： B. 4．下列四个说法中正确的个数是 ． ①，则； ②，则的最小值为2； ③所有小的正数组成一个集合． 【答案】0 【分析】根据常用数集的概念和集合的概念逐个分析即可. 【详解】①若，则，故①错误， ②当，则，所以其最小值不是2，故②错误， ③所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性，故③错误， 所以正确的个数为0． 故答案为：0. 5. 用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】由于大于0小于5的自然数有五个元素，根据列举法的定义表示即可. 【详解】集合用列举法表示为：. 故答案为： 6．设集合，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系求得参数，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为集合，，又， 当时，解得，此时集合不满足元素的互异性； 当时，解得或，此时集合不满足元素的互异性； 当时，可化为，解得或（舍去），故. 故选：B. 7．已知表示空集，N表示自然数集，则下列关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的概念判断. 【详解】A选项， 0不是空集的元素，故A不正确； B选项，空集是任何集合的子集，所以正确； C选项，0是自然数，应表示为，故C不正确； D选项，空集是任何集合的子集，应表示为，故D不正确. 故选：B. 8．若，，且，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系列出方程组计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以和2是方程的两个根， 所以，解得，. 故选：D. 9. 已知，若集合，，则“”是“”的 ．（填充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件） 【答案】充分不必要条件 【分析】根据集合之间的包含关系结合充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】，故充分性成立； 或，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 10. 已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，分别令，或，再根据集合的互异性判定即可. 【详解】由，可得若，所以， 此时，不合题意； 若，解得（舍去）或， 经检验，满足要求， 综上，． 知识点3 集合间的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 常用结论： （1）交集运算，，，，， （2）并集运算：，，，， （3）补集运算：，， （4） （5） 1．（22-23高三下·山西·对口/高职单招）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念求解即可. 【详解】因为集合， 所以集合. 故选：D. 2．（24-25高三上·山西·一模）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到集合、的元素，再由集合交集的定义解得. 【详解】已知集合，， 则集合，， 故， 故选：C. 3．（24-25高三下·山西·三模）已知全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合A，再根据集合的补集以及交集求解即可. 【详解】由得，所以集合，则. 又，所以． 故选：C. 4．（24-25高三下·山西·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简计算出集合和集合，再结合交集的定义及运算求解即可. 【详解】解不等式，解得：， 所以集合， 由得集合， 所以， 故选：A. 5．（23-24高三下·山西朔州·模拟预测）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解方程求集合，再根据集合的混合运算易得答案. 【详解】因为或， 所以，， 所以， 所以. 故选：C. 1．已知集合，则（   ） A．A B．B C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合之间的关系，及并集的概念和运算，即可求解. 【详解】∵集合，即集合A是集合B的子集， ∴． 故选：B. 2．设集合，，若，则（    ） A．4 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据集合的交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，，且， ∴，则. 故选：A. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】由“交集取公共部分”得，． 故选：D. 4．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选： 5．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合并集的概念运算即可. 【详解】因为集合，， 则. 故选：D. 6．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合与的关系逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为集合，， 所以集合与互不包含，故AC错误； ，故B错误；，故D正确. 故选：D. 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合并集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 则， 故选：A. 8．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集，， 所以， 又， 所以． 故选：D. 9. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的运算结果求出，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故选：A. 10．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案. （2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合或， （2）若“”是“”的必要条件，则， ①当时，，； ②，则且，，. 综上所述，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$