第三十一讲：角（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第三十一讲：角 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点；这两条射线是角的两条边. 动态概念：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 知识点02：角的表示 1. 用三个大写英文字母表示 2. 用顶点的一个英文字母表示 ∠O 3. 用一个希腊字母表示 ∠α 4. 用一个数字表示 ∠1 知识点03：角的度量和单位 度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″. 知识点04：知识总结 考点1：角的表示方法 【典型例题】 下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【变式训练2】 如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 考点2：画特殊角 【典型例题】 如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【变式训练1】 如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 考点3：角的分类 【典型例题】 下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【变式训练1】 下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 考点4：种面角 【典型例题】 如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份． 将圆心角分为12份求出2份即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 考点5：角的单位转换 【典型例题】 计算：（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列换算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 2．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 6．如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 7．若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 11．将量角器按如图方式放置，其中角度为的角是 ． 12．如图，能用一个字母表示的角有 个，以A为顶点的角有 个，图中所有的角有 个（平角除外）． 13．如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 14．若时钟显示的时间是上午，则时针与分针的夹角是 15．已知，，则 （填“”，“”或“”）． 16．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 三、解答题 17．按要求表示下列各角： (1)把转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把转化为用度表示的形式． 18．看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 19．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 20．如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 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A． B．B C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 【变式训练1】 如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 考点3：角的分类 【典型例题】 下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】 下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于90度小于180度的角．由钝角的概念，即可选择． 【详解】A、周角，故A不符合题意； B、平角，故B符合题意； C、周角，故C不符合题意； D、平角，故D不符合题意． 故选：B． 考点4：种面角 【典型例题】 如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 29．如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查钟面圆心角的求法，解题的关键是知道钟面刻度将圆心角分为了12份． 将圆心角分为12份求出2份即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 考点5：角的单位转换 【典型例题】 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒换算，根据度分秒换算换算法则，按照60进制计算即可求解，掌握度分秒换算法则是关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式训练1】 下列换算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的单位换算，根据即可求解； 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 一、单选题 1．下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角的表示方法，熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键．利用角度的三种表示方法，逐个进行分析即可． 【详解】解：在A、B、D选项中，以点为顶点的角不止一个，如果用表示有歧义， 只有C选项能用三种方法表示同一角，没有歧义， 故选：C． 2．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，理解钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为解题的关键．利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分，分针与时针的夹角是． 故选：B． 3．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线可以组成角的个数为多少即可． 【详解】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：， 故选：B． 4．从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出分针转动的时间，再乘以分钟每分钟转动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴从到，钟表的分针转动的角度是， 故选：A． 5．下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．直角周角 D．周角平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类，熟练掌握直角、平角、周角的定义是解题的关键：直角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边垂直时所成的角；平角：的角，即射线绕点旋转，当终边在始边的反向延长线上时所成的角；周角：的角，即射线绕点旋转，当终边与始边重合时所成的角． 根据直角、平角、周角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，该说法错误，故选项不符合题意； 、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，该说法错误，故选项不符合题意； 、直角，周角，直角周角，该说法错误，故选项不符合题意； 、周角，平角，周角平角，该说法正确，故选项符合题意； 故选：． 6．如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 7．若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查度数的大小比较，解题的关键是统一单位再进行比较，注意：、．据此解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：A． 8．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，正确掌握，是解答本题的关键．把化程度即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 10．如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了锐角的定义，锐角是指大于0度小于90度的角． 【详解】题图中的锐角有，共5个锐角 故答案为：5． 11．将量角器按如图方式放置，其中角度为的角是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角的概念、用量角器测量角．解决本题的关键是根据五条射线对应的量角器的读数计算出各角的度数，根据角的度数进行判断即可． 【详解】解：由量角器可知， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，能用一个字母表示的角有 个，以A为顶点的角有 个，图中所有的角有 个（平角除外）． 【答案】 2 3 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有共2个； 故答案为：． （2）以A为顶点的角有共3个； 故答案为：． （3）图中的角为：共7个． 故答案为：． 13．如图所示的图形中有 个小于平角的角，写出以为一边的所有角： ． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 14．若时钟显示的时间是上午，则时针与分针的夹角是 【答案】105 【分析】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的计算方法：利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数． 根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面平均分成12份，每份30度， 时，时针在数字9和10中间，分针在数字6上 ∴时针与分针相距3.5份， ∴夹角为， 故答案为：105． 15．已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 16．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 三、解答题 17．按要求表示下列各角： (1)把转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把转化为用度表示的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度制换算，解题关键是熟练运用度、分、秒的关系． （1）利用度、分、秒的关系，从度向分、秒方向逐步转化； （2）利用度、分、秒的关系，从分、秒向度方向逐步转化． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 19．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 20．如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为． （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有． 学科网（北京）股份有限公司 $$