第二十八讲：实际问题与一元一次方程（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第二十八讲：实际问题与一元一次方程 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：配套问题 甲产品总量＝n倍的乙产品总量 知识点02：工程问题 工作总量＝人均工作效率×人数×工作时间 常把工作总量看作“1” 知识点03：销售中的盈亏 售价＝进价（成本）＋利润 利润＝进价（成本）×利润率 知识点04：球赛积分问题 知识点05：解决优化方案问题的一般步骤 ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的比值，比较两种方案的优劣后下结论． 知识点06：解方程步骤 考点1：配套问题 【典型例题】 某车间有52名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设安排x名工人生产螺栓，则其他名工人生产螺母，根据：1个螺栓需要配2个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，即可列出方程． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则其他名工人生产螺母， 根据题意，可列方程：． 故选：D． 【变式训练1】 某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，特别是配套问题．熟练掌握根据配套关系找出等量关系并列出方程是解题的关键．在配套问题中，要明确各部分之间的数量比例关系，以此来建立方程求解．根据生产镜片和镜架的工人数量表示出镜片和镜架的数量，再结合配套关系列出方程．已知安排名工人生产镜片，那么生产镜架的工人数量为名，然后分别计算出镜片和镜架的数量，根据两个镜片和一个镜架配套这一条件列出方程． 【详解】解：∵安排名工人生产镜片，名工人每天可生产镜片片， ∴每天生产镜片的数量为片； ∵生产镜架的工人数量为名，名工人每天可生产镜架个， ∴每天生产镜架的数量为个； ∵两个镜片和一个镜架配套，即镜片数量是镜架数量的倍， ∴可列方程为, 故选：A． 【变式训练2】 明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程——配套问题，理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 根据“个笔管与个笔套是一套”，若满足制成的笔管数量与笔套数量正好配套，即“笔管数量等于笔套数量”；若设用于制作笔管的短竹数为根，用于制作笔套的短竹数为根，结合题意，列出方程；若设用于制作笔套的短竹数为y根，用于制作笔管的短竹数为根，结合题意，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：若设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：； 若设用于制作笔套的短竹数为y根，则能制成个笔套，用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：． 故选：B． 考点2：工程问题 【典型例题】 甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意，设乙队人数为，甲队人数为，总人数为100，建立方程即可． 【详解】解：设乙队人数为，则甲队人数为， 根据总人数关系，甲队和乙队人数之和为100， 因此方程为：，即， 故选：A 【变式训练1】 一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答． 【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知， 解得． 答∶甲请了3天假． 故选：B． 【变式训练2】 完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作总量等于工作效率乘以工作时间分别求出甲、乙的工作总量，二者的和为1，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 考点3：销售问题 【典型例题】 某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的7折出售将赚25元，则每件服装的成本价为（   ） A．185元 B．190元 C．195元 D．200元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正解题意，找到等量关系列出方程是关键；设每件服装的标价为元，根据成本价不变建立方程，解出标价后计算成本价即可． 【详解】解：设标价为元；按5折出售亏35元，即成本价为元；按7折出售赚25元，即成本价为元； 根据成本价相等，列方程：； 解方程得：； 则成本价：； 即每件服装的成本价为185元； 故选A． 【变式训练1】 购买一本书，打八折比打九折少花3元，那么这本书的原价是（    ）元． A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思． 设原价为x元，根据题意建立方程求解． 【详解】设这本书的原价为x元， 根据题意得， 解得： 因此，这本书的原价是30元． 故选：C． 【变式训练2】 某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，设商品标价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 求得售价和利润，根据利润售价进价列方程即可； 【详解】解：标价为元，九折出售则售价为元， 进价为 1530 元，利润率为，则利润为元， 由利润售价进价得：， 故选：A． 考点4：方案选择问题 【典型例题】 某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 【变式训练1】 某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 【变式训练2】 某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 一、单选题 1．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长（   ） A．5.5尺 B．6.5尺 C．7.5尺 D．8尺 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设长木的长度为尺，根据绳子的总长度不变建立方程求解即可得到答案，读懂题意，准确列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设长木的长度为尺， 则， ， 解得， 故长木长尺， 故选：B． 2．在世界预防溺水日来临之际，河南省南阳市开展预防溺水主题活动．某校举行了一次安全防溺水知识竞赛，竞赛题目一共30题，记分规则如下：每对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，明明一共得90分，则明明答对的题数为（   ） A．20 B．18 C．17 D．16 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，设明明答对题，则答错或不答的题数为，根据得分规则，答对得分，答错或不答扣分，总得分为90分，可列方程求解，读懂题意，准确列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设明明答对题，则答错或不答的题数为， 则， 解得， 则明明答对20题， 故选：A． 3．甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，相遇问题中路程的关系，是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为．根据两车相向而行，总路程为，相遇时间为，列方程解答． 【详解】设乙的速度为，则甲的速度为． 两车相向而行，总路程为，相遇时间为， 故有：． 解得：． ∴． ∴甲的速度是． 故选：A． 4．某商场促销，小颖将促销信息告诉了同学小兰，现假设某一商品的定价为元，小兰根据信息列出了不等式，那么小颖告诉小兰的信息是（    ） A．买两件该商品可减200元，再打九折，最后不超过1500元 B．买两件该商品可打九折，再减200元，最后不超过1500元 C．买两件该商品可打九折，再减200元，最后不到1500元 D．买两件该商品可减200元，再打九折，最后不到1500元 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解不等式的意义是解题关键． 根据，可以理解为买两件减200元，再打9折得出总价不到1500元，据此即可解答． 【详解】解：由关系式可知：， 由，得出两件商品减200元，以及由得出买两件打9折， 故可以理解为：买两件该商品可减200元，再打九折，最后不到1500元． 故选：D． 5．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：B． 6．某村去年玉米的产量为20万吨，比前年减产二成，前年玉米的产量是（   ） A．25万吨 B．24万吨 C．16万吨 D．20万吨 【答案】A 【分析】本题主要考查 一元一次方程的应用，设前年产量为x吨，去年产量比前年减产二成，即去年产量为前年的，根据去年玉米的产量为20万吨，列方程求解即可． 【详解】解：设前年产量为x万吨，根据题意得： ， 解得：， 即前年玉米的产量是25万吨， 故选：A． 7．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 8．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 二、填空题 9．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，假设安排名工人生产螺栓，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉， 由题意得：， 故答案为：． 10．某课外活动小组中女生人数占全组人数的，如果再增加4名女生，那么女生总人数为20人．设这个课外活动小组有x人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意找出等量关系列方程即可． 【详解】解：设这个课外活动小组有x人， ∵课外活动小组中女生人数占全组人数的， ∴女生人数有人， ∵再增加4名女生，那么女生总人数为20人， ∴， 故答案为：． 11．《孙子算经》中记载：“今有四人关东，三车空；三人共车，八人步，问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每4人乘一辆车，最终剩余3辆空车，若每3人同乘一辆车，最终剩下8人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系是关键，根据题意，设有x辆车，分别表示出总人数列式即可． 【详解】解：设有x辆车， ∴每4人乘一辆车，最终剩余3辆空车，则人数为人， 每3人同乘一辆车，最终剩下8人因无车可乘而步行，则人数为人， 根据总人数不变得到，， 故答案为： ． 12．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则满足题意的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故答案为：． 13．一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有 个鸡蛋． 【答案】42 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设农妇篮子里原来有x个鸡蛋，则第一次卖掉个鸡蛋，第二次卖掉个鸡蛋，根据农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．列出方程求解即可． 【详解】解：设农妇篮子里原来有x个鸡蛋，则第一次卖掉个鸡蛋，第二次卖掉个鸡蛋， 根据题意：， 整理得：， 解得：， 则农妇篮子里原来有个鸡蛋． 故答案为：． 14．某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4.8万元，这天通过收费站的大货车有( )辆． 【答案】1680 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆，根据“大客车20元，大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答． 【详解】解：设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆， 依题意得：， 解得， 则（辆， 答：这天通过收费站的大货车1680辆． 故答案为：1680． 15．足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打20场，负2场，得48分，那么胜了 场． 【答案】15 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．设胜场数为x，则平场数为，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设胜场数为x， 由题意得， 解得， 即胜了15场， 故答案为：15． 16．幼儿园分给“豆豆班”小朋友们零食，如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则老师准备了零食 袋． 【答案】33 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设一共有小朋友x人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一共有小朋友x人， 根据题意得：， 解得：， 此时， 故答案为：33． 三、解答题 17．国庆期间商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折的基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省了280元，则用贵宾卡又享受了几折的优惠？ 【答案】用贵宾卡又享受了九折的优惠 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 设用贵宾卡又享受了x折优惠，根据“持贵宾卡买了标价为元的商品，共节省元”建立一元一次方程，然后求解即可． 【详解】设用贵宾卡又享受了x折优惠 由题意得： 解得 即用贵宾卡又享受了九折优惠． 18．游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）． (1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程． (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程． 【答案】(1)年卡；过程见详解 (2)次 【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键． （1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算． （2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解． 【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次）， 单次卡：（元）， 年卡：（元）， ， 答：他选择年卡更划算． （2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等， 答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等． 19．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费． (1)文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？ (2)红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？ 【答案】(1)17吨； (2)134元 【分析】本题考查一元一次方程分段计费问题，解题的关键是根据不同的计费段分别计算费用或用水量． （1）根据题意可知，水费分两部分，一部分是15吨（含15吨）水费是5.2元一吨，一部分是超过15吨，一吨是7元，设：文文家上月用水吨，去掉15吨，15吨水费元，剩下的水是吨，就是1吨7元的水，剩下的水费是元，一共是92元，列方程：，解方程，即可解答； （2）红红家上月共用水23吨，其中有15吨是5.2元一吨水费，15吨是元，剩下的用水是吨水，每吨是7元，8吨是元，再把15吨水费钱数和8吨水费钱数相加，就是红红家应缴的水费，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，文文家用水超过15吨， 设文文家上月用水吨， ， 答：他家上个月用水17吨； （2） （元）， 答：应交水费134元． 20．将自然数1，2，3，…如下排列，用一个3×3的正方形方框框出9个数 (1)若框出的9个数之和是2025，那么框出的数中最大的数是多少？ (2)能不能使框出数之和为2205，若能，请求出框出数中最大的那个数，若不能请说明理由． 【答案】(1)233 (2)能，最大数为253 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出各数是解题关键． （1）设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，，从而列方程求解； （2）设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，，从而列方程求解． 【详解】（1）解：设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，， 由题意可得， 解得：， ∴框出数阵中的五个数最大的数为； （2）解：这五个数的和能为2205．理由如下： 解：设最小数为x，则其余数为：，，，，，，，， 由题意可得， 解方程得：． ∴这五个数的和能为2205，框出数阵中的五个数最大的数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第二十八讲：实际问题与一元一次方程 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：配套问题 甲产品总量＝n倍的乙产品总量 知识点02：工程问题 工作总量＝人均工作效率×人数×工作时间 常把工作总量看作“1” 知识点03：销售中的盈亏 售价＝进价（成本）＋利润 利润＝进价（成本）×利润率 知识点04：球赛积分问题 知识点05：解决优化方案问题的一般步骤 ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的比值，比较两种方案的优劣后下结论． 知识点06：解方程步骤 考点1：配套问题 【典型例题】 某车间有52名工人，每人每天可以生产12个螺母或20个螺栓.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，安排x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 考点2：工程问题 【典型例题】 甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 【变式训练2】 完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点3：销售问题 【典型例题】 某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的7折出售将赚25元，则每件服装的成本价为（   ） A．185元 B．190元 C．195元 D．200元 【变式训练1】 购买一本书，打八折比打九折少花3元，那么这本书的原价是（    ）元． A．20 B．25 C．30 D．35 【变式训练2】 某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，设商品标价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点4：方案选择问题 【典型例题】 某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】 某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【变式训练2】 某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长（   ） A．5.5尺 B．6.5尺 C．7.5尺 D．8尺 2．在世界预防溺水日来临之际，河南省南阳市开展预防溺水主题活动．某校举行了一次安全防溺水知识竞赛，竞赛题目一共30题，记分规则如下：每对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，明明一共得90分，则明明答对的题数为（   ） A．20 B．18 C．17 D．16 3．甲、乙两车从相距的两地相向而行，经过3小时后相遇，甲的速度：乙的速度，甲的速度是（   ）． A． B． C． D． 4．某商场促销，小颖将促销信息告诉了同学小兰，现假设某一商品的定价为元，小兰根据信息列出了不等式，那么小颖告诉小兰的信息是（    ） A．买两件该商品可减200元，再打九折，最后不超过1500元 B．买两件该商品可打九折，再减200元，最后不超过1500元 C．买两件该商品可打九折，再减200元，最后不到1500元 D．买两件该商品可减200元，再打九折，最后不到1500元 5．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 6．某村去年玉米的产量为20万吨，比前年减产二成，前年玉米的产量是（   ） A．25万吨 B．24万吨 C．16万吨 D．20万吨 7．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 8．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母．1个螺栓需要配2个螺母，假设安排名工人生产螺栓，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则可列方程 ． 10．某课外活动小组中女生人数占全组人数的，如果再增加4名女生，那么女生总人数为20人．设这个课外活动小组有x人，则可列方程为 ． 11．《孙子算经》中记载：“今有四人关东，三车空；三人共车，八人步，问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每4人乘一辆车，最终剩余3辆空车，若每3人同乘一辆车，最终剩下8人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，根据题意，可列方程为 ． 12．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则满足题意的方程是 ． 13．一个农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半多1个；第二次卖掉剩下的一半多1个，农妇篮子里面还剩下9个鸡蛋．农妇篮子里原来有 个鸡蛋． 14．某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4.8万元，这天通过收费站的大货车有( )辆． 15．足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打20场，负2场，得48分，那么胜了 场． 16．幼儿园分给“豆豆班”小朋友们零食，如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则老师准备了零食 袋． 三、解答题 17．国庆期间商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折的基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省了280元，则用贵宾卡又享受了几折的优惠？ 18．游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）． (1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程． (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程． 19．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费． (1)文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？ (2)红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？ 20．将自然数1，2，3，…如下排列，用一个3×3的正方形方框框出9个数 (1)若框出的9个数之和是2025，那么框出的数中最大的数是多少？ (2)能不能使框出数之和为2205，若能，请求出框出数中最大的那个数，若不能请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$