专题01 分数乘法的计算与应用（重点难点专题汇编）导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+优选题训练 共55题-2025-2026学年人教版数学六年级上册举一反三培优精讲练

2025-2026学年数学六年级上学期举一反三培优精讲练（人教版） 姓名： 班级： 学号： 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 专题01 分数乘法的计算与应用 （重点难点专题汇编）原卷版 【导图指引+知识梳理+10个考点讲练+真题演练+优选题训练 共55题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 优选题型，培优强化：结合本专题内容精选15-20题较难题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识梳理 知识点梳理01：分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 （2）一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 知识点梳理02：分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 ①为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） ②约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 （2）分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） ①如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 ②分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 ③在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 ④分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）小数乘分数的运算法则是： ①把小数化成分数计算； ②如果所乘分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数计算； ③小数和分母能约分的，先约分在计算比较方便。 知识点梳理03：积与因数的关系 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0)。 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。 注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 知识点梳理04：分数乘法混合运算 （1）分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 知识点梳理05：分数乘法的应用 （1）连续求一个数的几分之几是多少？（用乘法） 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 （2）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的数是多少的解题方法： ①单位“1”的量×=这个数量； ②单位“1”的量单位“1”的量=这个数量。 技巧点拨 一、分数乘整数的解题技巧 核心思路：将分数乘法转化为“分母不变，分子与整数相乘”，再通过约分简化结果。 1. 理解题意：明确题目是求“几个相同分数相加”或“一个数的几分之几是多少”。 2. 分步计算 • 步骤1：将整数与分数的分子相乘，分母保持不变。 • 步骤2：检查是否可以约分 • 步骤3：将假分数转化为带分数 3. 约分技巧：计算前先观察整数与分母是否有公因数，提前约分简化计算。 二、分数乘分数的解题技巧 核心思路：通过画图或实际意义理解“分子乘分子，分母乘分母”，再约分。 1. 画图辅助：用长方形或线段图表示分数，通过重叠部分直观理解结果。 2. 分步计算 • 步骤1：分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母。 • 步骤2：约分到最简形式 3. 实际意义验证：结合题目背景验证结果是否合理。 三、混合运算的解题技巧 核心思路：遵循运算顺序（先乘除后加减），灵活运用约分和分配律。 1. 运算顺序：有括号先算括号内，无括号则从左到右依次计算。 2. 分配律简化：遇到“一个数乘两个分数的和”时，可拆分为两个乘法相加。 3. 约分时机：混合运算中，优先约分可简化计算步骤。 四、实际应用题的解题技巧 核心思路：将问题转化为分数乘法模型，分步解决。 1. 关键信息提取：找出题目中的单位“1”（整体量）和分率（几分之几）。 2. 分步列式 • 步骤1：根据分率求部分量（单位“1”×分率）。 • 步骤2：处理剩余问题（如加减或连续分率）。 3. 单位一致性检查：确保所有长度、面积、体积等单位统一，避免结果错误。 高频考点讲练1：整数乘分数的计算与应用 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·随堂练习）学校调查了80名同学长大后想从事的职业，其中的同学长大后想当老师，想当医生的人数是想当老师的人数的。有多少名同学想当医生？（先补全线段图，再解答） 【训练1】（24-25六年级上·广西南宁·期末）北京冬奥会后，越来越多的人开始加入到滑雪这项运动中。某专卖店前年滑雪板销售量是400个，去年的销售量是前年的，今年的销售量是去年的，今年滑雪板销售量是多少个？ 【训练2】（24-25六年级上·重庆黔江·期末）一个家用电器厂生产的冰箱定价是4200元，洗衣机的定价比冰箱少1680元。现在两种电器都按定价的出售，买1台这样的洗衣机，需要多少钱？ 高频考点讲练2：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·随堂练习）一根绳子长，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半。如此重复四次后，还剩下多少米？ 【训练1】（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）根据中国传统礼仪，给客人倒水时应倒茶杯容量的至之间。按照这个标准，用一个盛有2.1升水的茶壶，往容量为100毫升的茶杯里倒水，最多可以倒（    ）杯。 A．21 B．26 C．30 D．33 【训练2】（24-25六年级上·广东东莞·期末）C919大型客机是中国首款完全按照最新国际适航标准研制的单通道大型干线客机，具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机的翼展约36米，机身高度是翼展长度的，C919大型客机的机身高约是多少米？ 高频考点讲练3：分数乘分数的计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·福建莆田·期末）一台拖拉机每小时耕地公顷，请你在图中用阴影部分表示小时耕地的公顷数。（长方形表示1公顷） 【训练1】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。各小组围绕“分数乘法和整数乘法、小数乘法的运算道理相同吗？”发表了自己的想法。 分数乘法和整数乘法、小数乘法运算道理一样吗？ ①组研究分数乘法的算理。 算理：分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘决定了分数单位的个数。 举例：×＝（×2）×（×5）＝（×）×（2×5）＝×10＝ ②组研究整数乘法的算理 算理：整数乘那个数，两个数计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例：30×500＝（10×3）×（100×5）＝（10×100）×（3×5）＝1000×15＝15000 ③组研究小数乘法的算理 算理：小数乘小数，两个小数的计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例： （1）你同意第一组的想法吗？请你结合的计算过程具体说明理由。 （2）你同意第二组的想法吗？请你结合他们的计算过程补充说明理由。 （3）你同意第三组的想法吗？请你以“0.3×0.07”为例举例说明理由。 【训练2】（24-25六年级上·河北保定·期末）王爷爷家有一块30平方米的空地，其中的用来种各种蔬菜，白菜地的面积占蔬菜地的。白菜地有多少平方米？淘淘说可以先算出，根据下图可以知道，求的是( )。 高频考点讲练4：分数乘小数的计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·山西长治·期中）在手工课上，同学们用彩带编制工艺品。一条彩带长1.2米，编制一个蝴蝶结需要多少米彩带？编制一朵花需要多少米彩带？ 【训练1】（24-25六年级上·全国·课后作业）鸵鸟是现在世界上最大的鸟，身高可达2.5米，某种企鹅的身高是鸵鸟的。这种企鹅的身高是多少米？ 【训练2】（23-24六年级上·全国·课后作业）计算。                         高频考点讲练5：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】（23-24六年级上·全国·单元测试）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3    ( )     ( )    ( ) 【训练1】（23-24六年级上·河北沧州·期中）一个比0大的数乘，得到的数就（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的3倍 C．不变 【训练2】（24-25六年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 高频考点讲练6：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）芳芳发现：计算分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。因为有乘法交换律，所以两个分数相乘，互相交换分子，积不变。例如：。她根据这一发现，在计算时通过合理变化，用乘法分配律非常快地求出了结果。猜一猜她是怎么做的，然后把她的计算过程写出来。 【训练1】（24-25六年级上·江西抚州·期末）计算下面各题，怎么简便就怎么算。                          【训练2】（24-25六年级上·河南开封·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）         （2） （3）            （4） 高频考点讲练7：分数的连乘运算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆·期末）胸藏文墨怀若谷，腹有诗书气自华”。安安平时喜欢阅读，下面是安安读《西游记》选文后的一些记录。在不认识的字中能理解意思的字有多少个？ 读书记录①本段选文共480字。 ②一共有的字不认识。 ③读错的字比不认识的少。 ④不认识的字中根据上下文能理解意思的占。 （1）要解决这个问题需要（    ）作为已知条件（填序号）。 （2）根据选择的条件解决上面的问题。 【训练1】（24-25六年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）人体在不同年龄段的骨骼数不同，成人共有骨头206块，其中手骨的块数占全身骨头数的，脊椎骨的数量是手骨的。求成人有多少块脊椎骨？ 【训练2】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）先说出运算顺序，再计算。                   高频考点讲练8：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？ 【训练1】（23-24六年级上·山东菏泽·期中）在学校举行的书法比赛中，获三等奖的同学有72人，获二等奖的人数是三等奖的，获一等奖的人数是二等奖的，获一等奖的有多少人？ 【训练2】（23-24六年级上·河北唐山·期中）红星小学六年级有学生270人，五年级学生人数是六年级的，四年级学生人数是五年级的，红星小学四年级有学生多少人？ 高频考点讲练9：已知总量及一部分分率，求另—部分量 【典例精讲】（24-25六年级上·北京顺义·期末）有两根同样长的绳子，第一根用去米，第二根用去绳子的，剩下的部分哪根绳子长？画一画，写一写，解释自己的思考过程。 【训练1】（23-24六年级上·山东菏泽·期中）一根电线长15米，用去它的后，又用去米，还剩下( )米。 【训练2】（23-24六年级上·福建厦门·期中）一本连环画96页，小东第一天看了全书的，第二天看了剩下的，小东第三天应该第（    ）页看起。 A．41 B．42 C．51 D．52 高频考点讲练10：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）军舰鸟素有“飞行冠军”之称，它每小时可飞行400千米，信鸽的飞行速度大约是军舰鸟的，鸵鸟的奔跑速度大约比军舰鸟的飞行速度慢了。 （1）信鸽的飞行速度大约是每小时多少千米？ （2）鸵鸟的奔跑速度大约是每小时多少千米？ 【训练1】（23-24六年级上·重庆·期末）“CityWalk”意为“城市漫步”，是当比较流行的一种城市旅游方式。6月初，某红书平台Citywalk相关笔记数是27万篇，而到7月下旬，笔记数增加了。截至7月下旬，某红书平台Citywalk相关笔记是多少万篇？ 【训练2】（21-22六年级上·河南洛阳·期末）数学课上小强在方格纸上画了一个长10厘米、宽6厘米的长方形，再把这个长方形的长和宽分别增加。 （1）他通过计算发现：新长方形的长和宽分别相当于原来的，新长方形的面积是原来长方形的。于是小强提出猜想：把任意长方形的长和宽分别增加，会不会也有同样的规律呢？ （2）请你举例验证这个规律。 （3）推想：如果把一个长方形的长和宽分别增加，新长方形的面积是原来的。 【演练1】（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题。       9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 【演练2】（2021·江苏南京·小升初真题）《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩下的一半……第四天取的长度是这根木棒的（    ），这样，每天截取一半，永远都截不完。 A． B． C． D． 【演练3】（2024·湖南怀化·小升初真题）聪聪原本有600枚邮票。他把其中的送给了明明，然后把剩下邮票的送给了欢欢。请问聪聪最后还剩下多少枚邮票？ 【演练4】（2023·广西柳州·小升初真题）甲、乙两组分别上交比赛作品，两个组一共上交多少件作品？根据上面线段图提供的信息，下列算式中正确的有（    ）。 ①  ②32×  ③（32×＋32）＋32  ④32× A．②③④ B．①③④ C．③④ D．②③ 【演练5】（2021·甘肃陇南·小升初真题）某连锁商场2020年盈利达640万元，其中上半年盈利是全年盈利的，第四季度盈利是上半年盈利的。该连锁商场2020年第四季度盈利多少万元？ 1．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）修一条路，第一周修了，第二周修了余下的，第三周修完了所有剩下的。下列说法正确的是（    ）。 A．第二周修的最多 B．第一周和第三周修的一样多 C．第二周修了全长的 D．第一周修的是第三周的2倍 2．（24-25六年级上·河南商丘·期末）姐姐和弟弟喜欢集邮，姐姐把邮票张数的送给弟弟后，两人的邮票张数同样多。已知姐姐原来有80枚邮票，弟弟原来有（    ）枚邮票。 A．40 B．42 C．48 D．54 3．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）修一段100米长的路，甲单独修10天完成，乙单独修15天完成。现在甲、乙合作6天，下列说法正确的是（    ）。 A．还没有完成 B．正好完成 C．已经提前完成 D．无法确定 4．（25-26六年级上·全国·随堂练习）乐乐用彩带做蝴蝶结。 (1)一根彩带长，用去了。这根彩带还剩( )m。 (2)一根彩带长，用去一些后还剩。这根彩带还剩( )m。 5．（25-26六年级上·全国·随堂练习）填一填。 ( )＋( )＋( )＝( ) ( )×( )＝( ) 6．（25-26六年级上·全国·随堂练习）保护环境，人人有责。爱苗小分队要制作一批环保宣传牌，其中圆形宣传牌的面积是，三角形宣传牌的面积是圆形宣传牌的，那么三角形宣传牌的面积是( )。 7．（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 8．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）一根3米的钢管，用去后还剩米。( )（判断对错） 9．（24-25六年级上·河北沧州·期末）水结成冰后，体积增加，那么冰融化成水后，体积减少。( )（判断对错） 10．（2025六年级上·全国·专题练习）脱式计算，能简算的要简算。                   11．（2025六年级上·全国·专题练习）国庆假期期间，各电商平台搞促销活动，海海的妈妈在某电商平台买了一个长方体收纳箱，宽4dm，长是宽的，高比长短。这个收纳箱的体积是多少立方分米？ 12．（25-26六年级上·全国·随堂练习）长江的长度约是6400千米，黄河的长度约是长江的，中国最长的内陆河——塔里木河的长度约是黄河的。塔里木河约长多少千米？ 13．（25-26六年级上·全国·随堂练习）六（1）班和六（2）班的同学们在学校操场上打扫卫生，每班负责打扫整个操场的。六（1）班已经完成了全班任务的，六（2）班已经完成了全班任务的。两个班分别已经打扫了整个操场的几分之几？ 14．（25-26六年级上·全国·课前预习）学校建教学楼原计划投资420万元，实际比原计划节约了。实际投资多少万元？ 15．（25-26六年级上·全国·课前预习）一块长方形玻璃，长是分米，宽是长的，这块玻璃面积是多少平方分米？ 16．（24-25六年级上·山东临沂·期中）足球赛门票150元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？ 17．（23-24六年级上·全国·课后作业）一根长20米的绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，第三次剪去余下的，依此类推，第九次剪去最后余下的。这九次一共剪去多少米？ 18．（2024六年级·全国·专题练习）小宇有56本书，小梅借走，剩下的书小红借走，再剩下的书小明借走，小宇还剩多少本书？ 19．（22-23六年级上·河南周口·期末）现有含糖量为的糖水200克，要把它变成含糖量为的糖水，需要加糖多少克？ 20．（19-20六年级上·全国·期中）教室里有甲、乙两盒粉笔，甲盒有40根粉笔，如果拿出它的放入乙盒，此时乙盒中的粉笔数还比甲盒少，乙盒原来有粉笔多少根？ $$2025-2026学年数学六年级上学期举一反三培优精讲练（人教版） 姓名： 班级： 学号： 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 专题01 分数乘法的计算与应用 （重点难点专题汇编）解析版 【导图指引+知识梳理+10个考点讲练+真题演练+优选题训练 共55题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 优选题型，培优强化：结合本专题内容精选15-20题较难题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识梳理 知识点梳理01：分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 （2）一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 知识点梳理02：分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 ①为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） ②约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 （2）分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） ①如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 ②分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 ③在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 ④分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）小数乘分数的运算法则是： ①把小数化成分数计算； ②如果所乘分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数计算； ③小数和分母能约分的，先约分在计算比较方便。 知识点梳理03：积与因数的关系 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0)。 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。 注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 知识点梳理04：分数乘法混合运算 （1）分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 知识点梳理05：分数乘法的应用 （1）连续求一个数的几分之几是多少？（用乘法） 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 （2）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的数是多少的解题方法： ①单位“1”的量×=这个数量； ②单位“1”的量单位“1”的量=这个数量。 技巧点拨 一、分数乘整数的解题技巧 核心思路：将分数乘法转化为“分母不变，分子与整数相乘”，再通过约分简化结果。 1. 理解题意：明确题目是求“几个相同分数相加”或“一个数的几分之几是多少”。 2. 分步计算 • 步骤1：将整数与分数的分子相乘，分母保持不变。 • 步骤2：检查是否可以约分 • 步骤3：将假分数转化为带分数 3. 约分技巧：计算前先观察整数与分母是否有公因数，提前约分简化计算。 二、分数乘分数的解题技巧 核心思路：通过画图或实际意义理解“分子乘分子，分母乘分母”，再约分。 1. 画图辅助：用长方形或线段图表示分数，通过重叠部分直观理解结果。 2. 分步计算 • 步骤1：分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母。 • 步骤2：约分到最简形式 3. 实际意义验证：结合题目背景验证结果是否合理。 三、混合运算的解题技巧 核心思路：遵循运算顺序（先乘除后加减），灵活运用约分和分配律。 1. 运算顺序：有括号先算括号内，无括号则从左到右依次计算。 2. 分配律简化：遇到“一个数乘两个分数的和”时，可拆分为两个乘法相加。 3. 约分时机：混合运算中，优先约分可简化计算步骤。 四、实际应用题的解题技巧 核心思路：将问题转化为分数乘法模型，分步解决。 1. 关键信息提取：找出题目中的单位“1”（整体量）和分率（几分之几）。 2. 分步列式 • 步骤1：根据分率求部分量（单位“1”×分率）。 • 步骤2：处理剩余问题（如加减或连续分率）。 3. 单位一致性检查：确保所有长度、面积、体积等单位统一，避免结果错误。 高频考点讲练1：整数乘分数的计算与应用 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·随堂练习）学校调查了80名同学长大后想从事的职业，其中的同学长大后想当老师，想当医生的人数是想当老师的人数的。有多少名同学想当医生？（先补全线段图，再解答） 【答案】12名；画图见详解 【思路引导】根据题意，把80名同学看作单位“1”，想当老师的同学占，即求80的是多少，用乘法计算；想当医生的人数占想当老师人数的，所以用想当老师的人数乘即可得到想当医生的人数；据此解答。 【规范解答】 80×＝60（名） 60×＝12（名） 答：有12名同学想当医生。 【训练1】（24-25六年级上·广西南宁·期末）北京冬奥会后，越来越多的人开始加入到滑雪这项运动中。某专卖店前年滑雪板销售量是400个，去年的销售量是前年的，今年的销售量是去年的，今年滑雪板销售量是多少个？ 【答案】600个 【思路引导】把专卖店前年滑雪板销售量看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用前年的销售量乘，求出去年的销售量，再用去年的销售量乘即可求出今年滑雪板的销售量。 【规范解答】 ＝500× ＝600（个） 答：今年滑雪板销售量是600个。 【训练2】（24-25六年级上·重庆黔江·期末）一个家用电器厂生产的冰箱定价是4200元，洗衣机的定价比冰箱少1680元。现在两种电器都按定价的出售，买1台这样的洗衣机，需要多少钱？ 【答案】2100元 【思路引导】已知冰箱定价是4200元，洗衣机的定价比冰箱少1680元，则洗衣机的定价是（4200－1680）元； 已知两种电器都按定价的出售，把洗衣机的定价看作单位“1”，单位“1”已知，用洗衣机的定价乘，求出买1台这样的洗衣机需要的钱数。 【规范解答】4200－1680＝2520（元） 2520×＝2100（元） 答：买1台这样的洗衣机，需要2100元。 高频考点讲练2：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·随堂练习）一根绳子长，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半。如此重复四次后，还剩下多少米？ 【答案】米 【思路引导】长的绳子，把绳子看作单位“1”，可得第一次剪去一半后剩下1－＝；第二次剪去剩下的一半后剩下的一半是；第三次再剪去的一半后剩下；第四次再剪去的一半后剩下；再根据分数乘法的意义列出算式计算即可解答。 【规范解答】1－＝ －×＝ －×＝ －×＝ ×＝（米） 答：还剩下米。 【训练1】（24-25六年级上·重庆九龙坡·期末）根据中国传统礼仪，给客人倒水时应倒茶杯容量的至之间。按照这个标准，用一个盛有2.1升水的茶壶，往容量为100毫升的茶杯里倒水，最多可以倒（    ）杯。 A．21 B．26 C．30 D．33 【答案】C 【思路引导】由于最多可以倒多少杯，那么要尽可能的每杯茶水量最少，即倒茶杯容量的即可，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即100×求出一个茶杯倒多少毫升，再根据1升＝1000毫升，转换单位，再除以一个杯子里倒的量即可求出最多可以倒多少杯。 【规范解答】100×＝70（毫升） 2.1升＝2100毫升 2100÷70＝30（杯） 最多可以倒30杯。 故答案为：C 【训练2】（24-25六年级上·广东东莞·期末）C919大型客机是中国首款完全按照最新国际适航标准研制的单通道大型干线客机，具有中国完全的自主知识产权。C919大型客机的翼展约36米，机身高度是翼展长度的，C919大型客机的机身高约是多少米？ 【答案】12米 【思路引导】由题意可知，把客机的翼展长度看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用客机的翼展长度乘可得机身的高度。 【规范解答】（米） 答：C919大型客机的机身高约是12米。 高频考点讲练3：分数乘分数的计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·福建莆田·期末）一台拖拉机每小时耕地公顷，请你在图中用阴影部分表示小时耕地的公顷数。（长方形表示1公顷） 【答案】见详解 【思路引导】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子表示涂色部分的份数。 根据分数的意义，求小时耕地的公顷数，就是求公顷的是多少。每小时耕地公顷，所以把长方形表示的1公顷平均分成2份，其中的1份就是1小时耕地的面积，先把这一份涂上蓝色，再把涂蓝色部分平均分成5份，最后把这5份中的3份涂上黄色，这黄色部分就表示小时耕地的公顷数，据此画图。 【规范解答】×＝（公顷） 如下图，黄色部分表示小时耕地的公顷数。 【训练1】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。各小组围绕“分数乘法和整数乘法、小数乘法的运算道理相同吗？”发表了自己的想法。 分数乘法和整数乘法、小数乘法运算道理一样吗？ ①组研究分数乘法的算理。 算理：分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘决定了分数单位的个数。 举例：×＝（×2）×（×5）＝（×）×（2×5）＝×10＝ ②组研究整数乘法的算理 算理：整数乘那个数，两个数计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例：30×500＝（10×3）×（100×5）＝（10×100）×（3×5）＝1000×15＝15000 ③组研究小数乘法的算理 算理：小数乘小数，两个小数的计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例： （1）你同意第一组的想法吗？请你结合的计算过程具体说明理由。 （2）你同意第二组的想法吗？请你结合他们的计算过程补充说明理由。 （3）你同意第三组的想法吗？请你以“0.3×0.07”为例举例说明理由。 【答案】（1）同意；理由见详解 （2）同意；理由见详解 （3）同意；理由见详解 【思路引导】（1）第一组的算理是：分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘决定了分数单位的个数。以为例，里面有2个，里面有5个。两个分数单位相乘的积决定了分数单位；把两个乘数的分子相乘分数单位的个数。 （2）第二组以30×500说明，30里面有3个10，500里面有5个100，10和100都是整数的计数单位。把计数单位相乘决定了结果的计数单位；把两个整数的计数单位的个数相乘决定了结果的计数单位的个数。 （3）以“0.3×0.07”为例，0.3里面有3个0.1，0.07里面有7个0.01.把两个计数单位相乘决定了结果的计数单位；把两个小数的计数单位的个数相乘结果的计数单位的个数。据此解答即可。 【规范解答】（1）答：同意。以为例，×＝，那么积的分数单位就是，所以说分母相乘的积决定了分数单位；2×5＝10，则积里面有10个，即分子相乘决定了分数单位的个数。 （2）答：同意。以30×500说明，30里面有3个10，500里面有5个100。10×100＝1000，那么积的计数单位就是1000，即两个数计数单位相乘决定了结果的计数单位；3×5＝15，则积里面有15个1000，即两个数计数单位的个数相乘决定了结果的计数单位的个数。 （3）答：同意。以“0.3×0.07”为例，0.3里面有3个0.1，0.07里面有7个0.01。0.1×0.01＝0.001，则积的计数单位是0.001，即两个小数的计数单位相乘决定了结果的计数单位；3×7＝21，则积里面有21个0.001，即两个小数的计数单位的个数相乘决定了结果的计数单位的个数。 【训练2】（24-25六年级上·河北保定·期末）王爷爷家有一块30平方米的空地，其中的用来种各种蔬菜，白菜地的面积占蔬菜地的。白菜地有多少平方米？淘淘说可以先算出，根据下图可以知道，求的是( )。 【答案】白菜地的面积占空地面积的几分之几 【思路引导】将整个长方形，即空地面积看作单位“1”，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，先选取整个长方形的，即各种蔬菜的面积占空地面积的几分之几，再将各种蔬菜的面积看作单位“1”，从选取的整个长方形的中选取，即的，用乘法算式，求出的是白菜地的面积占空地面积的几分之几，据此分析。 【规范解答】根据分析，求的是白菜地的面积占空地面积的几分之几。 高频考点讲练4：分数乘小数的计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·山西长治·期中）在手工课上，同学们用彩带编制工艺品。一条彩带长1.2米，编制一个蝴蝶结需要多少米彩带？编制一朵花需要多少米彩带？ 【答案】蝴蝶结0.8米；一朵花2.7米 【思路引导】把一条1.2米长的彩带看作单位“1”，编制一个蝴蝶结用了条彩带，编制一朵花用了条彩带，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出编制一个蝴蝶结、一朵花各需要彩带的长度。 【规范解答】蝴蝶结：1.2×＝0.8（米） 花：1.2×＝2.7（米） 答：编制一个蝴蝶结需要0.8米彩带，编制一朵花需要2.7米彩带。 【训练1】（24-25六年级上·全国·课后作业）鸵鸟是现在世界上最大的鸟，身高可达2.5米，某种企鹅的身高是鸵鸟的。这种企鹅的身高是多少米？ 【答案】0.6米 【思路引导】将鸵鸟的身高看成单位“1”，就是求2.5米的是多少，求一个数的几分之几用乘法。 小数乘分数，可以将小数和分数的分母约分后再计算，或者将小数转化为分数后根据分数的乘法计算。 【规范解答】2.5×＝0.6（米） 答：这种企鹅的身高是0.6米。 【训练2】（23-24六年级上·全国·课后作业）计算。                         【答案】；；1 【思路引导】根据混合运算的顺序：有括号的先算括号中的，没有括号的先算乘除，再算加减，同一级的，从左到右依次计算。 （1）先计算括号里面的减法，再算括号外面的乘法； （2）先计算乘法，再算加法； （3）先计算括号里面的乘法，再计算括号里面的加法，最后算括号外面的乘法。 【规范解答】 高频考点讲练5：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】（23-24六年级上·全国·单元测试）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3    ( )     ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ 【思路引导】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；据此解答。 【规范解答】 【训练1】（23-24六年级上·河北沧州·期中）一个比0大的数乘，得到的数就（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的3倍 C．不变 【答案】A 【思路引导】一个比0大的数乘，就是求这个数的是多少，根据一个数（大于0），乘一个小于1的数，积小于第一个因数。 【规范解答】因为，所以一个比0大的数乘，得到的数就缩小到原来的。 故答案为：A 【训练2】（24-25六年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜ 【思路引导】一个非0数，乘大于1的数，积大于原数；一个非0数，乘小于1的数，积小于原数，据此解答。 【规范解答】10×和10 因为＜1，所以10×＜10 ×和 因为＞1，所以×＞ ×和 因为＞1，所以×＞ ×和1 因为＜1，所以×＜ 因为＜1，所以×＜1 高频考点讲练6：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）芳芳发现：计算分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。因为有乘法交换律，所以两个分数相乘，互相交换分子，积不变。例如：。她根据这一发现，在计算时通过合理变化，用乘法分配律非常快地求出了结果。猜一猜她是怎么做的，然后把她的计算过程写出来。 【答案】见详解； 【思路引导】观察，参照例子，可以交换中两个分子的位置，变成，积不变；这样算式变成，两个乘法算式中有相同的因数，运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算即可求出结果。 【规范解答】根据乘法交换律a×b＝b×a把变成，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【训练1】（24-25六年级上·江西抚州·期末）计算下面各题，怎么简便就怎么算。                          【答案】；52； 【思路引导】“”先计算乘法，再计算加法； “”根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）将提出来，再计算； “”将2024写成2023加上1，再根据乘法分配律展开计算。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝52 ＝ ＝ ＝ ＝ 【训练2】（24-25六年级上·河南开封·期末）脱式计算，能简算的要简算。 （1）        （2） （3）            （4） 【答案】（1）17；（2）120； （3）；（4）7 【思路引导】（1）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a－b）×c＝a×c－b×c，根据乘法分配律，将原式变成，即可简算； （2）乘法交换律：a×b＝b×a，乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）；根据乘法交换律和结合律，将原式变成，即可简算； （3）将101拆成（100＋1），即将原式改写成，再根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a－b）×c＝a×c－b×c，将算式变成，即可简算； （4）根据乘法分配律的逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c或a×c－b×c＝（a－b）×c，将原式变成，即可简算。 【规范解答】（1） ＝ ＝5＋12 ＝17 （2） ＝ ＝10×12 ＝120 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝7 高频考点讲练7：分数的连乘运算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆·期末）胸藏文墨怀若谷，腹有诗书气自华”。安安平时喜欢阅读，下面是安安读《西游记》选文后的一些记录。在不认识的字中能理解意思的字有多少个？ 读书记录①本段选文共480字。 ②一共有的字不认识。 ③读错的字比不认识的少。 ④不认识的字中根据上下文能理解意思的占。 （1）要解决这个问题需要（    ）作为已知条件（填序号）。 （2）根据选择的条件解决上面的问题。 【答案】（1）①②④ （2）6个 【思路引导】（1）要解决问题“在不认识的字中能理解意思的字有多少个”，需要知道本段选文共480字，共有的字不认识，不认识的字中根据上下文能理解意思的占。 （2）先把本段选文的总字数看作单位“1”，其中的字不认识，单位“1”已知，用本段选文的总字数乘，求出不认识的字的个数； 再把不认识的字的个数看作单位“1”，其中根据上下文能理解意思的占，单位“1”已知，用不认识的字的个数乘，求出在不认识的字中能理解意思的字的个数。 【规范解答】（1）要解决这个问题需要（①②④）作为已知条件。 （2）480×× ＝16× ＝6（个） 答：在不认识的字中能理解意思的字有6个。 【训练1】（24-25六年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）人体在不同年龄段的骨骼数不同，成人共有骨头206块，其中手骨的块数占全身骨头数的，脊椎骨的数量是手骨的。求成人有多少块脊椎骨？ 【答案】26块 【思路引导】已知成人共有骨头206块，其中手骨的块数占全身骨头数的，把成人全身骨头数看作单位“1”， 单位“1”已知，用全身骨头数乘，求出手骨的块数； 已知脊椎骨的数量是手骨的，把手骨的块数看作单位“1”，单位“1”已知，用手骨的块数乘，求出脊椎骨的块数。 【规范解答】206×× ＝54× ＝26（块） 答：成人有26块脊椎骨。 【训练2】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）先说出运算顺序，再计算。                   【答案】26；50；； ；；56 【思路引导】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法交换律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，先把98拆分为14×7，然后根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 高频考点讲练8：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（24-25六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。在沙漠植树造林要选择需水量较低的树木。在西北某沙漠的一个区域种植胡杨800棵，种植沙柳的棵数是胡杨棵数的，种植沙枣的棵数又是沙柳棵数的，这个区域种植沙枣树多少棵？ 【答案】400棵 【思路引导】将胡杨棵数看作单位“1”，胡杨棵数×沙柳对应分率＝沙柳棵数；再将沙柳棵数看作单位“1”，沙柳棵数×沙枣对应分率＝沙枣棵数，据此列式解答。 【规范解答】800×× ＝500× ＝400（棵） 答：这个区域种植沙枣树400棵。 【训练1】（23-24六年级上·山东菏泽·期中）在学校举行的书法比赛中，获三等奖的同学有72人，获二等奖的人数是三等奖的，获一等奖的人数是二等奖的，获一等奖的有多少人？ 【答案】12人 【思路引导】由题意可知，是把三等奖人数看作单位“1”，是把二等奖人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可得解。 【规范解答】 （人） 答：获一等奖的有12人。 【训练2】（23-24六年级上·河北唐山·期中）红星小学六年级有学生270人，五年级学生人数是六年级的，四年级学生人数是五年级的，红星小学四年级有学生多少人？ 【答案】200人 【思路引导】已知五年级学生人数是六年级的，把六年级学生人数270人看作单位“1”，单位“1”已知，用六年级学生人数乘，求出五年级学生人数； 已知四年级学生人数是五年级的，是把五年级学生人数看作单位“1”，单位“1”已知，用五年级学生人数乘，求出四年级学生人数。 【规范解答】270×× ＝240× ＝200（人） 答：红星小学四年级有学生200人。 高频考点讲练9：已知总量及一部分分率，求另—部分量 【典例精讲】（24-25六年级上·北京顺义·期末）有两根同样长的绳子，第一根用去米，第二根用去绳子的，剩下的部分哪根绳子长？画一画，写一写，解释自己的思考过程。 【答案】见详解 【思路引导】分别讨论：当两根绳子长都是1米时； 第一根：用1－，求出剩下的长度； 第二根：把绳子的长度看作单位“1”，平均分成7份，用去，还剩下（1－），再用绳子的长度×（1－），求出剩下的长度，画图，再进行比较。 当两根绳子小于1米时，设绳子的长度为米时： 第一根：用－，求出剩下的长度； 第二根：把剩下把绳子的长度看作单位“1”，平均分成7份，用去，还剩下（1－），再用绳子的长度×（1－），求出剩下的长度，画图，再进行比较。 当两根绳子的长度大于1米时：设绳子的长度是2米时： 第一根：用2－，求出剩下的长度； 第二根：把绳子的长度看作单位“1”，平均分成7份，用去，还剩下（1－），再用绳子的长度×（1－），求出剩下的长度，画图，再进行比较。 【规范解答】当绳子的长度都是1米时： 第一根绳子：如图： 1－＝（米） 第二根绳子： 如图： 1×（1－） ＝1× ＝（米） ＝，当两根绳子长度都是1米时，剩下的长度相等。 当两个绳子的长度小于1米时，设绳子的长度是米时； 第一个绳子：如图： － ＝－ ＝（米） 第二根绳子： 如图： ×（1－） ＝× ＝（米） ＝；＞，当两根绳子长度小于1米时，第二根剩下的长。 当绳子的长度大于1米，设绳子的长度为2米时： 第一根绳子：如图： 2－＝（米） 第二根绳子：如图： 2×（1－） ＝2× ＝（米） ＞，当两根绳子长度大于1米时，第一根绳子的长度长。 【训练1】（23-24六年级上·山东菏泽·期中）一根电线长15米，用去它的后，又用去米，还剩下( )米。 【答案】5/5.4/ 【思路引导】把这根电线的全长看作单位“1”，用去它的后，还剩下它的（1－），根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用全长乘（1－）即可求出这时剩下多少米。又用去米，那么再减去即可解答。 【规范解答】15×（1－） ＝15× ＝6（米） 6－＝5（米） 则还剩下5米。 【训练2】（23-24六年级上·福建厦门·期中）一本连环画96页，小东第一天看了全书的，第二天看了剩下的，小东第三天应该第（    ）页看起。 A．41 B．42 C．51 D．52 【答案】D 【思路引导】求一个数的几分之几用乘法计算；用全书页数乘，求出第一天看的页数，再用全书页数减去第一天看的页数，求出剩下页数；用剩下页数乘，求出第二天看的页数，求出两天共看页数，再往后一页就是小东第三天开始看的页数，据此解答即可。 【规范解答】第一天：（页） 第二天： （页） 36＋15＋1 ＝51＋1 ＝52（页） 所以小东第三天应该第52页看起。 故答案为：D 高频考点讲练10：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）军舰鸟素有“飞行冠军”之称，它每小时可飞行400千米，信鸽的飞行速度大约是军舰鸟的，鸵鸟的奔跑速度大约比军舰鸟的飞行速度慢了。 （1）信鸽的飞行速度大约是每小时多少千米？ （2）鸵鸟的奔跑速度大约是每小时多少千米？ 【答案】（1）60千米 （2）72千米 【思路引导】（1）把军舰鸟的飞行速度看作单位“1”，已知信鸽的飞行速度大约是军舰鸟的，用军舰鸟的飞行速度乘，即可求出信鸽的飞行速度。 （2）把军舰鸟的飞行速度看作单位“1”，已知鸵鸟的奔跑速度大约比军舰鸟的飞行速度慢了，即鸵鸟的奔跑速度是军舰鸟的（1－），据此用军舰鸟的飞行速度乘（1－），即可求出鸵鸟的奔跑速度。 【规范解答】（1）400×＝60（千米） 答：信鸽的飞行速度大约是每小时60千米。 （2）400×（1－） ＝400× ＝72（千米） 答：鸵鸟的奔跑速度大约是每小时72千米。 【训练1】（23-24六年级上·重庆·期末）“CityWalk”意为“城市漫步”，是当比较流行的一种城市旅游方式。6月初，某红书平台Citywalk相关笔记数是27万篇，而到7月下旬，笔记数增加了。截至7月下旬，某红书平台Citywalk相关笔记是多少万篇？ 【答案】46.98万篇 【思路引导】由题意可知，把6月初，某红书平台Citywalk相关笔记数看作单位“1”，根据求比一个数多几分之几是多少，先用加法计算7月下旬的笔记数是6月初的几分之几，再用乘法计算。 【规范解答】 （万篇） 答：截至7月下旬，某红书平台Citywalk相关笔记是46.98万篇。 【训练2】（21-22六年级上·河南洛阳·期末）数学课上小强在方格纸上画了一个长10厘米、宽6厘米的长方形，再把这个长方形的长和宽分别增加。 （1）他通过计算发现：新长方形的长和宽分别相当于原来的，新长方形的面积是原来长方形的。于是小强提出猜想：把任意长方形的长和宽分别增加，会不会也有同样的规律呢？ （2）请你举例验证这个规律。 （3）推想：如果把一个长方形的长和宽分别增加，新长方形的面积是原来的。 【答案】（1）；； （2）见详解； （3） 【思路引导】（1）将长增加，用长乘（1＋）即可。同理，可以求出宽增加是宽乘（1＋）。据此，求出变化后的长和宽，以及面积，再利用除法求出新长方形的长和宽分别相当于原来的几分之几，新长方形的面积是原来长方形的几分之几。 （2）可以假设一个新的长方形，它的长是6厘米，宽是5厘米，根据（1）的思路，来验证这个猜想的正误即可。 （3）根据（1）和（2）可知，长宽各增加后，面积是原来的（1＋）×（1＋），那么长宽各增加后，面积是原来的（1＋）×（1＋）。 【规范解答】（1）10×（1＋）÷10 ＝1＋ ＝ 6×（1＋）÷6 ＝1＋ ＝ 10×（1＋）×6×（1＋）÷（10×6） ＝60×÷60 ＝ 所以，新长方形的长和宽分别相当于原来的，新长方形的面积是原来长方形的。 （2）令一个长方形的长是6厘米，宽是5厘米，那么有： 6×（1＋）÷6 ＝1＋ ＝ 5×（1＋）÷5 ＝1＋ ＝ 6×（1＋）×5×（1＋）÷（6×5） ＝30×÷30 ＝ 所以，新长方形的长和宽分别相当于原来的，新长方形的面积是原来长方形的，那么这个猜想是正确的。 （3）（1＋）×（1＋） ＝× ＝ 所以，如果把一个长方形的长和宽分别增加，新长方形的面积是原来的。 【考点评析】本题考查了长方形面积和分数乘法，掌握面积公式，有一定运算能力是解题的关键。 【演练1】（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题。       9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 【答案】2；11111104 【思路引导】（1）先将分数转化为小数，转为小数就是0.25，转化为小数是0.05，再利用积的变化规律，即2.5×0.3825＝0.25×3.825，38.25×0.05＝3.825×0.5，再根据乘法的分配律提出3.825，将剩下数相加，最后得出结果是3.825，再减去1.825。 （2）将9看成10－1，99看成100－1，999看成1000－1，9999看成10000－1，99999看成100000－1，999999看成1000000－1，再将这些数相加，最后利用加法交换律，将10、100、1000、10000、100000、1000000相加，将剩下的1相加，最后相减即可。 【规范解答】 【演练2】（2021·江苏南京·小升初真题）《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩下的一半……第四天取的长度是这根木棒的（    ），这样，每天截取一半，永远都截不完。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】一半即，据题意可知，第一个一半是把这根木棒看作单位“1”，第二个一半是把第一天取剩下的木棒看作单位“1”，即以为单位“1”，求的是多少，可用乘法计算，依此类推，计算得解。 【规范解答】 第四天取的长度是这根木棒的。 故答案为：D 【演练3】（2024·湖南怀化·小升初真题）聪聪原本有600枚邮票。他把其中的送给了明明，然后把剩下邮票的送给了欢欢。请问聪聪最后还剩下多少枚邮票？ 【答案】315枚 【思路引导】据题意可知，是把聪聪原有的邮票数看作单位“1”，送给明明后剩下的邮票数对应的分率就是，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，就算出剩下的邮票数，是把出剩下的邮票数看作单位“1”，送给欢欢后剩下的邮票数对应的分率就是，用送给明明后剩下的邮票数乘送给欢欢后剩下的邮票数对应的分率，就得到聪聪最后剩下的邮票数。 【规范解答】 （枚） 答：聪聪最后还剩下315枚邮票。 【演练4】（2023·广西柳州·小升初真题）甲、乙两组分别上交比赛作品，两个组一共上交多少件作品？根据上面线段图提供的信息，下列算式中正确的有（    ）。 ①  ②32×  ③（32×＋32）＋32  ④32× A．②③④ B．①③④ C．③④ D．②③ 【答案】A 【思路引导】从图意可知：将甲组的作品数看作单位“1”，乙组比甲组多，求两个组一共上交多少件作品，根据这个数量关系逐项判断即可。 【规范解答】①将甲组的作品数量看作单位“1”，乙组的作品数量是甲组的作品数量的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。用即求出乙组的作品数量。不符合题意。 ②表示求出乙组的作品数量，再加上甲组的作品数量32，即求出了甲乙上交作品总数量。符合题意。 ③（32×＋32）表示乙组比甲组多的作品数量加上32即是乙组的作品数量，再加上甲组的作品数量32，即求出了甲乙上交作品总数量。符合题意。 ④将甲组的作品数量看作单位“1”，乙组的作品数量是甲组的作品数量的（1＋），甲乙共占甲的（1＋1＋），用32×即求出了甲乙上交作品总数量。符合题意。 符合题意的有②③④选项。 故答案为：A 【演练5】（2021·甘肃陇南·小升初真题）某连锁商场2020年盈利达640万元，其中上半年盈利是全年盈利的，第四季度盈利是上半年盈利的。该连锁商场2020年第四季度盈利多少万元？ 【答案】140万元 【思路引导】将全年盈利看作单位“1”，全年盈利×上半年盈利对应分率＝上半年盈利，将上半年盈利看作单位“1”，上半年盈利×第四季度盈利对应分率＝第四季度盈利，据此分析。 【规范解答】640××＝140（万元） 答：该连锁商场2020年第四季度盈利140万元。 【考点评析】关键是确定单位“1”，整体数量×部分对应分率＝部分数量。 1．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）修一条路，第一周修了，第二周修了余下的，第三周修完了所有剩下的。下列说法正确的是（    ）。 A．第二周修的最多 B．第一周和第三周修的一样多 C．第二周修了全长的 D．第一周修的是第三周的2倍 【答案】C 【思路引导】先求出每周修路占全长的分率，然后再比较大小。首先求出第二周修路占全长的分率，把这条路的全长看作单位“1”，第一周修了，那么余下的就是1－＝，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用×列式求出第二周修了全长的分率，再用1减去第一周和第二周修的分率和，求出第三周修路占全长的分率，最后将三周修路的分率进行比较。 【规范解答】1－＝ 第二周修了全长的： （1－）× =× ＝ 第一周修了，第二周修了，第三周修了全长的： 1－（＋） =1－ ＝ ＞ 所以第一周和第二周修的一样多，都是，且都比第三周修的少。 所以正确的是第二周修了全长的。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·河南商丘·期末）姐姐和弟弟喜欢集邮，姐姐把邮票张数的送给弟弟后，两人的邮票张数同样多。已知姐姐原来有80枚邮票，弟弟原来有（    ）枚邮票。 A．40 B．42 C．48 D．54 【答案】C 【思路引导】将姐姐邮票张数看作单位“1”，姐姐把邮票张数的送给弟弟后，两人的邮票张数同样多，说明姐姐比弟弟多了姐姐邮票张数的（×2），弟弟邮票张数是姐姐的（1－×2），姐姐邮票张数×弟弟对应分率＝弟弟邮票张数。 【规范解答】80×（1－×2） ＝80×（1－） ＝80× ＝48（枚） 弟弟原来有48枚邮票。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）修一段100米长的路，甲单独修10天完成，乙单独修15天完成。现在甲、乙合作6天，下列说法正确的是（    ）。 A．还没有完成 B．正好完成 C．已经提前完成 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】把修这段路的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙各自的工作效率； 现在甲、乙合作6天，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出甲、乙合作6天完成的工作量，再与工作总量“1”进行比较，即可得出结论。 【规范解答】甲的工作效率：1÷10＝ 乙的工作效率：1÷15＝ （＋）×6 ＝（＋）×6 ＝×6 ＝1 1＝1，正好完成。 故答案为：B 4．（25-26六年级上·全国·随堂练习）乐乐用彩带做蝴蝶结。 (1)一根彩带长，用去了。这根彩带还剩( )m。 (2)一根彩带长，用去一些后还剩。这根彩带还剩( )m。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意，已知一根彩带长，用去了，用减去，就是剩下的长度；列式计算即可。 （2）已知一根彩带长，用去一些后还剩，用乘，就是剩下的长度；列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）（米） 一根彩带长，用去了。这根彩带还剩m。 （2）（米） 一根彩带长，用去一些后还剩。这根彩带还剩m。 5．（25-26六年级上·全国·随堂练习）填一填。 ( )＋( )＋( )＝( ) ( )×( )＝( ) 【答案】 【思路引导】根据图示，将每个圆形平均分成4份，取其中1份，即；这里是3个相同的圆形都是取其中1份，然后将它们加起来，即＋＋，写成乘法的形式：×3，据此填空。 【规范解答】根据分析可得： ＋＋＝ ×3＝ 6．（25-26六年级上·全国·随堂练习）保护环境，人人有责。爱苗小分队要制作一批环保宣传牌，其中圆形宣传牌的面积是，三角形宣传牌的面积是圆形宣传牌的，那么三角形宣传牌的面积是( )。 【答案】 【思路引导】根据题意，把圆形宣传牌的面积看作单位“1”，根据数量关系圆形宣传牌的面积×＝三角形宣传牌的面积，用圆形宣传牌的面积m2乘；计算分数乘法，把分子和分母分别相乘；据此解答。 【规范解答】×＝＝（m2） 所以，三角形宣传牌的面积是m2。 7．（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）我国古代数学名著《九章算术》里有这样一道题：今有人持百斗米出三关，内关四而取一，中关五而取一，外关十而取一，余米几斗？意思是：有个人带了100斗米出三道关，内关按总货物的收税，中关按余下货物的收税，外关按余下货物的收税，最后还剩( )斗米。 【答案】54 【思路引导】将出关前米的斗数看作单位“1”，内关按总货物的收税，还剩出关前的（1－）；再将过内关后余下的斗数看作单位“1”，中关按余下货物的收税，还剩过内关后余下的（1－）；再将过中关后余下的斗数看作单位“1”，外关按余下货物的收税，还剩过中关后余下的（1－），出关前的斗数×过内关后余下的对应分率×过中关后余下的对应分率×过外关后余下的对应分率＝最后剩下的斗数，据此列式计算。 【规范解答】100×（1－）×（1－）×（1－） ＝100××× ＝75×× ＝60× ＝54（斗） 最后还剩54斗米。 【考点评析】关键是确定单位“1”，确定对应分率，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，列式计算。 8．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）一根3米的钢管，用去后还剩米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】用去，就是将这根钢管看成单位“1”，即用去就还剩这根绳子的，再根据求一个数的几分之几用乘法，得出剩下的米数。 【规范解答】3×（1－） ＝3× ＝2（米） 则一根3米的钢管，用去后还剩2米。 故答案为：× 9．（24-25六年级上·河北沧州·期末）水结成冰后，体积增加，那么冰融化成水后，体积减少。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】假设水的体积是9立方分米，将水的体积看作单位“1”，冰的体积是水的（1＋），水的体积×冰的对应分率＝冰的体积；再将冰的体积看作单位“1”，冰与水的体积差÷冰的体积＝冰融化成水后，体积减少几分之几，据此列式计算。 【规范解答】假设水的体积是9立方分米。 9×（1＋） ＝9× ＝10（立方分米） （10－9）÷10 ＝1÷10 ＝ 水结成冰后，体积增加，那么冰融化成水后，体积减少，原题说法错误。 故答案为：× 10．（2025六年级上·全国·专题练习）脱式计算，能简算的要简算。                   【答案】；；3.1； 17；；41 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）先算乘法，再算加法。   （2）先算小括号里的减法，再算乘法。   （3）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：，再进行计算。   （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：，再进行计算。 （5）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：，再进行计算。 （6）根据乘乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）和乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：＝，再进行计算。   【规范解答】根据分析可知： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.1 ＝17 ＝41 11．（2025六年级上·全国·专题练习）国庆假期期间，各电商平台搞促销活动，海海的妈妈在某电商平台买了一个长方体收纳箱，宽4dm，长是宽的，高比长短。这个收纳箱的体积是多少立方分米？ 【答案】 120立方分米 【思路引导】根据题意，已知长方体收纳箱，宽4dm，长是宽的，高比长短。先用4乘，求出长方体的长；高比长短，也就是说高是长的1－＝，用6乘，求出长方体的高；，求出收纳箱的体积；列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 长： 高： 体积： ＝24×5 ＝120（立方分米） 答：这个收纳箱的体积是120立方分米。 12．（25-26六年级上·全国·随堂练习）长江的长度约是6400千米，黄河的长度约是长江的，中国最长的内陆河——塔里木河的长度约是黄河的。塔里木河约长多少千米？ 【答案】2520千米 【思路引导】根据题意，黄河的长度约是长江的，先用长江的长度乘求出黄河大约长多少千米，塔里木河的长度约是黄河的，最后用黄河的长度乘，即可求出塔里木河约长多少千米。 【规范解答】6400×× ＝5600× ＝2520（千米） 答：塔里木河约长2520千米。 13．（25-26六年级上·全国·随堂练习）六（1）班和六（2）班的同学们在学校操场上打扫卫生，每班负责打扫整个操场的。六（1）班已经完成了全班任务的，六（2）班已经完成了全班任务的。两个班分别已经打扫了整个操场的几分之几？ 【答案】六（1）班；六（2）班 【思路引导】根据题意，已知六（1）班和六（2）班的同学们在学校操场上打扫卫生，每班负责打扫整个操场的。六（1）班已经完成了全班任务的，六（2）班已经完成了全班任务的。用乘，就是六（1）班已经打扫了整个操场的几分之几；用乘，就是六（2）班已经打扫了整个操场的几分之几；列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 答：六（1）班已经打扫了整个操场的，六（2）班已经打扫了整个操场的。 14．（25-26六年级上·全国·课前预习）学校建教学楼原计划投资420万元，实际比原计划节约了。实际投资多少万元？ 【答案】360万元 【思路引导】已知原计划投资420万元，实际比原计划节约了，把原计划投资的钱数看作单位“1”，则实际投资的钱数是原计划的（1－），单位“1”已知，用原计划投资的钱数乘（1－），求出实际投资的钱数。 【规范解答】420×（1－） ＝420× ＝360（万元） 答：实际投资360万元。 15．（25-26六年级上·全国·课前预习）一块长方形玻璃，长是分米，宽是长的，这块玻璃面积是多少平方分米？ 【答案】平方分米 【思路引导】把长方形玻璃的长看作单位“1”，长×宽的对应分率＝宽，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出这块玻璃的面积。 【规范解答】×× ＝× ＝（平方分米） 答：这块玻璃面积是平方分米。 16．（24-25六年级上·山东临沂·期中）足球赛门票150元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？ 【答案】30元 【思路引导】可假设原来的观众是100人，把原来的观众看作单位“1”，那么降价后观众是原来的（1＋），用100人乘（1＋），求出现在的观众人数。原来的票价是150元一张，将150元乘100，求出原来的收入。收入增加了，是把原来的收入看作单位“1”，那么现在的收入是原来的（1＋），将原来的收入乘（1＋），求出现在的收入。将现在的收入除以现在的观众人数，求出门票的现价。将原价减去现在的票价，求出一张门票降价多少元。 【规范解答】假设原来的观众人数为100人，那么原来的收入：150×100＝15000（元） 现在的观众数： 100×（1＋） ＝100× ＝150（人） 现在的收入： 15000×（1＋） ＝15000× ＝18000（元） 现在的票价：18000÷150＝120（元） 降价：150－120＝30（元） 答：一张门票降价30元。 【考点评析】本题中观众人数和对应的总收入没有具体的数据，较为抽象，可采用假设法，先将原来的观众人数假设出来，从而求出各项数据。假设法可将抽象的问题具体化，更便于解题。 17．（23-24六年级上·全国·课后作业）一根长20米的绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，第三次剪去余下的，依此类推，第九次剪去最后余下的。这九次一共剪去多少米？ 【答案】18米 【思路引导】把这根绳子的全长看作单位“1”，第一次剪去全长的，则还剩下全长的；第二次剪去余下的，则还剩下全长的；第三次剪去余下的，则还剩下全长的；依此类推，第九次剪去最后余下的，则还剩下全长的，单位“1”已知，用全长乘，即可求出第九次剪去后还剩下的长度，最后用全长减去剩下的长度，即是这九次一共剪去的长度。 【规范解答】 （米） （米） 答：这九次一共剪去18米。 【考点评析】本题考查分数乘法的实际应用，分析出每次剪完后绳子剩下全长的几分之几，并从中找出规律，然后根据分数乘法的意义解答，求出剪完九次后绳子剩下的长度是解题的关键。 18．（2024六年级·全国·专题练习）小宇有56本书，小梅借走，剩下的书小红借走，再剩下的书小明借走，小宇还剩多少本书？ 【答案】15本 【思路引导】这是一道“量率对应”题，要求小宇还剩多少本书，可以先求小宇剩余的书本占总数的几分之几，再用单位“1”×剩余数本对应分率，求得剩余的书本数。 题中涉及不同的单位“1”，根据题意，可画线段图如下所示： 求一个数的几分之几，用乘法： 第一次剩余的书本数＝总数×（1－） 第二次剩余的书本数＝第一次剩余的书本数×（1－） 最后剩余的书本数＝第二次剩余的书本数×（1－） 即，最后剩余的书本数＝总数×（1－）×（1－）×（1－） 【规范解答】56×（1－）×（1－）×（1－） ＝56××× ＝15（本） 答：小宇还剩15本书。 【考点评析】当题目涉及不同的单位“1”时，要找准单位“1”，单位“1”一般在“比”“占”“是”之后，在“的”之前；可利用线段图帮助理解其中的“量率对应”。 19．（22-23六年级上·河南周口·期末）现有含糖量为的糖水200克，要把它变成含糖量为的糖水，需要加糖多少克？ 【答案】25克 【思路引导】含糖量为的糖水200克，含水的质量为200×（1－）＝180（克），含糖量为的糖水，水重量是180÷（1－），计算出结果，再减去200克即可。 【规范解答】200×（1－） ＝200× ＝180（克） 180÷（1－） ＝180÷ ＝180× ＝225（克） 225－200＝25（克） 答：需要加糖25克。 【考点评析】此题抓住了水的质量不变来求浓度为的糖水质量，这是解题的关键。 20．（19-20六年级上·全国·期中）教室里有甲、乙两盒粉笔，甲盒有40根粉笔，如果拿出它的放入乙盒，此时乙盒中的粉笔数还比甲盒少，乙盒原来有粉笔多少根？ 【答案】28根 【规范解答】40×＝4（根） 40﹣4＝36（根） 36×＝4（根） 36﹣4﹣4＝28（根） 答：乙盒原来有粉笔28根． $$