第27讲 观察、归纳与猜想 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第27讲 观察、归纳与猜想 1 2 观察、归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），通过认真分析、仔细观察、综合归纳、大胆猜想、得出结论，进而加以验证的数学探索问题。 3 1.归纳与猜想类问题主要分以下两大类： （1）猜想规律型：一般有数式规律型和图形规律型两类，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想. 4 （2）猜想结论型：一般有猜想数式结果、数量关系和变化情况三类，相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等，都能用到. 2.归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三种途径：从数与式的特征观察；从几何图形的结构观察；通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况. 5 3.观察、归纳和猜想的解题思维过程是：从特殊情况入手 探索发现规律 综合归纳 猜想得出结论 验证结论. 6 知识点一：数字变化规律型问题 如图1，从大拇指开始，按食指、中指、 无名指、小指，再回到大拇指的顺序，依次 数正整数 7 （1）当第5次数到中指时，这个数是____. 23 思路点拨 根据题意可知每5个数表示的手指为一个循环，第5次数到中指，则循环了4次，然后再从大拇指数到中指，据此求解即可. 解题过程 由题意得，当第5次数到中指时，这个数是 故答案为23. 8 （2）当数到2023时，表示的是哪一个手指？请说明理由. 思路点拨 根据题意可知每5个数表示的手指为一个循环，据此求解即可。 解题过程 当数到2023时，表示的是中指.理由如下： 由题意可知，每5个数表示的手指为一个循环， 数到2023与数到3的手指一样. 当数到2023时，表示的是中指. 9 （3）若改变顺序，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、 中指 的顺序，如图2，当数到2023时，表示的是哪一个手指？请说 明理由. 思路点拨 根据题意可知，每8个数表示的手指为一个循环，据此求解即可. 10 解题过程 数2023对应的手指为中指.理由如下： 由题意可知，每8个数表示的手指为一个循环， 数2023与数7对应的手指一样 2023对应的手指为中指. 11 方法提炼 本题考查数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键，这类循环规律的问题主要是通过观察找到循环节. 12 &2& 观察下边的一列等式： 第 1个等式： ； 第 2个等式： ； 第 3个等式： ； 第 4个等式： ；…… 请根据以上规律，解决下列问题： 13 （1）试写出第5个等式. [答案] （2）请证明第4个等式. [答案] 设 ，即 14 知识点二：图形变化规律型问题 【观察思考】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1 个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子， 第4个图形中有15个棋子 15 【规律总结】 （1）第5个图形中有____个圆形棋子. 18 思路点拨 仔细观察可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多 3个，即可得出答案. 解题过程 （个）.故答案为18. 16 （2）第 个图形中有_ ________个圆形棋子.（用含 的代数式表示） <m></m> 思路点拨 根据（1）中发现的规律得出第 个图形中的棋子数为 ，据此计算即可得解. 解题过程 仔细观察可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3 个，根据这一规律得出第 个图形中的棋子数为 ，故答案为 17 【问题解决】 （3）现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由. 思路点拨 由（2）中的规律可知， ，解方程即可. 解题过程 由（2）中的规律可知， ，解得 可摆放出第674个图形. 18 方法提炼 本题考查数与形结合的规律，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律用代数式表示出一般规律是解题的关键. 19 如图所示为一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三 角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3 个图案有10个三角形 20 （1）按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形？ [答案] 第1个图案有4个三角形，即 ， 第2个图案有7个三角形，即 ， 第3个图案有10个三角形，即 ， 第4个图案有13个三角形，即 ………… 第6个图案有19个三角形，即 21 （2）按此规律摆下去，第 个图案有多少个三角形？（用含 的代数 式表示） [答案] 按此规律摆下去，第 个图案有 个三角形. （3）按此规律摆下去，第2024个图案有多少个三角形？ [答案] 当 时， 第2024个图案有6073个三角形. 22 &5& 【背景阅读】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数： ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列. 23 【实践操作】 （1）写出斐波那契数列的前10个数. 思路点拨 根据斐波那契数列的定义即可求解. 解题过程 斐波那契数列的前10个数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55. 24 （2）斐波那契数列的前2024个数中，有______个奇数. 1350 思路点拨 分析斐波那契数列，可以发现每三项都是前两个为奇数第三个为偶数，结合2024是3的多少倍余儿，即可得出结论. 解题过程 这组数列为 ，以3个为一组， 结合题意可知，每组第三个数为偶数，其他两个均为奇数， ， 奇数个数为 故答案为1350. 25 （3）现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1所示的正方形系列： 图1 图2 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个， 正方形拼成如图2 所示的长方形并记为①，②，③，④，⑤， 26 （ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写下表（不计拼出的长方形内部的线段）. 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 思路点拨 根据图形特性，可以找出每个长方形的长与宽，计算即可得出结论. 解题过程 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 26 42 27 （ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽. 思路点拨 根据规律，得到序号为⑩的长方形长为144，宽为89. 解题过程 序号为⑩的长方形的长为144，宽为89. 28 方法提炼 本题考查图形的变化，解题的关键：（1）把数列分成每3个一组，即可找到2奇1偶的特点.（2）观察图形，利用整体替换，即能找到长方形的长与宽的规律. 29 1.观察下列一组数： ， ， ，根据排列规律推出第8个数是 ( ) C A. B. C. D. 2.一列单项式按以下规律排列： ，则第 个单 项式为 ( ) A A. B. C. D. 30 3.如图，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H， 第3个结构式中有3个C和8个 按照此规律，在第 个结构式中H的 个数为 ( ) D A. B. C. D. 31 4.如图，在第10个黄色的球的前面，共有____个蓝色的球. 45 5.如图所示为用火柴棒拼出的一系列图形，第1个图形有4根火柴棒，第 2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，按照这样的规律，第 个图形共有_ ________根火柴棒. <m></m> 32 6.如图，2个相同的某种杯子叠放的高度为 个该种杯子叠放的高度是 个该种杯子叠放 的高度是 ，那么8个该种杯子叠放的高度为 ____ 31 7.如图，填在各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得 出： ____， _____. 10 159 33 8.已知 ，且 为自然数，对 进行如 下“分裂”，可“分裂”成 个连续奇数的和， （1）按上述“分裂”要求， _________________， 可“分裂”的最 大奇数为____. <m></m> 19 （2）按上述“分裂”要求， 可“分裂”成连续奇数和的形式： _ _______________________. <m></m> 如图，有如下规律： 34 9.用同样规格的蓝、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为 的小路. （1）铺第6个图形用蓝色正方形瓷砖____块，用白色正方形瓷砖____块. 25 14 （2）按照此方式铺下去，铺第 个图形用蓝色正方形瓷砖_________块， 用白色正方形瓷砖_ ________块（用含 的代数式表示）. <m></m> <m></m> 35 （3）在（2）的基础上，若蓝、白两种颜色的瓷砖规格都为“长 宽 ”，若按照此方式铺满一段总面积为 的小路， 是多少？ 36 [答案] 第 个图形中有 块蓝色正方形瓷砖，有 块白色瓷砖， 第 个图形中有 块正方形瓷砖. ，解得 37 10.我们知道，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相 减的结果是偶数，一个奇数与一个偶数相加、相减的结果是奇数.现有 由 个正整数排成的一组数，记为 ，任意改变它 们的顺序后记作 若 ，有下列说法：① 可以 为0；②当 是奇数时， 是偶数；③当 是偶数时， 是奇数.其中正 确的个数是 ( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 38 [解析] ①当 或 或 或 或 时， ，故①正确.②当 是奇数时，若 个数都是奇数或偶数，则相减后肯定出现偶数，则 一定是偶数；若 个数中有奇数也有偶数，则相减后也必出现偶数，则 一定是偶数，故②正确.③由①知，此时 可以为0，故③错误. 正确的有2个.故选C. 39 11.若 ， ， ， ，则 的值为 ( ) D A. B. C. D. 40 [解析] ， ， ， ， ， ， . .故选D. 41 12.仔细观察下列三组数：第一组： ；第二组： ；第三组：-2， ，取每组数的第 个数，则这三个数的和为_ _______. <m></m> [解析] 每组数的第 个数分别为 故答案为 42 13.如图，将从1开始的连续奇数按规律排列下去， 用有序数对 表示第 行从左到右第 个数， 如 表示15，则 表示的奇数是____. 47 43 14.为保障校园体育活动安全有序地开展，学校计划利用假期在足球场 四周安装安全防护栏.如图，假如每张防护栏长 ，每两张防护栏中 间加装一根立柱进行加固，每根立柱宽为 （1）按照这样的规律每增加1根立柱，则防护栏总长度将增大____ 2.7 [解析] 按照这样的规律每增加1根立柱，则防护栏总长度将增大 故答案为2.7. 44 （2）若某安全防护栏一共有 （ 为正整数）根立柱，求防护栏的总 长度（用含 的代数式表示）. [答案] 防护栏的总长度为 ， 防护栏的总长度为 45 【问题解决】 （3）现要按照以上规律围一个正 方形的安全防护栏，且每一边的交 界处为1根立柱.已知围成后防护栏 总长度为 ，则安全防护栏中使用了多少根立柱？ 46 [答案] 每边的长（不含最后一根立柱）为 ， 每边的立柱（不含最后一根立柱）数为 （根），总共使用的立柱数为 （根）， 安全防护栏中使用了60根立柱. 47 15.某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式，如图. （1）有4张桌子，用第一种摆放方 [答案] 有4张桌子，用第一种摆放方式，可以坐的人数为 用第二种摆放方式，可以坐的人数为 用第一种摆放方式，可坐18人；用第二种摆放方式，可坐12人. 式，可坐多少人？用第二种摆放方式，可坐多少人？ 48 （2）有 张桌子，用第一种摆放方式，可坐多少人？用第二种摆放方 式，可坐多少人？（用含 的代数式表示） [答案] 第一种：1张桌子可坐的人数为 ；2张桌子可坐的人数为 ；3张桌子可坐的人数为 ， 当有 张桌子时，可坐的人数为 ； 第二种：1张桌子可坐的人数为 ；2张桌子可坐的人数为 ；3张桌子可坐的人数为 ， 当有 张桌子时，可坐的人数为 ； 49 （3）一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子.若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由. 50 [答案] 选择第一种方式来摆餐桌.理由如下： 第一种方式：4张桌子拼在一起可坐18人， 20张桌子可拼成5张大桌子，共可坐 （人）. 第二种方式：4张桌子拼在一起可坐12人， 20张桌子可拼成5张大桌子，共可坐 （人）. ， 选择第一种方式来摆餐桌. 51 16.观察下列等式，探究、发现规律，并解决问题： ① ； ② ； ③ ； （1） ____. 20 52 （2） _ ________________. <m></m> [解析] 故答案为 53 （3） _ _________________________. <m></m> [解析] 54 故答案为 $$