第29讲 简单的数学建模 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第29讲 简单的数学建模 1 2 数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题. 3 数学模型一般是实际事物的一种数学简化，它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别.要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像等.为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学语言，使用数学语言描述的事物就称为数学模型. 4 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程.也就是说，数学建模是指根据具体问题，在一定假设下找出这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程.构建数学模型是一种形象和逻辑思维相结合的十分重要的数学思考方法，是通过抓住研究对象的重要特征，从而进行简化、假设、抽象而构造出来的令人信服的科学形态.数学建模的一般步骤如下：（1）认真观察，分析变量，找出特征.（2）寻求与该特征相吻合的数学模型.（3）总结“模型”的适用范围，检验模型. （4）解决数学模型的应用关系，稳定运行，及时拓展. 5 知识点一：数式运算模型的应用 &1& 新学期，两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： 6 （1）每本书的厚度为____ ，课桌的高度为____ 0.5 85 思路点拨 用高的一摞书距离地面的距离减去低的一摞书距离地面的距离后除以3即为每本书的厚度;用低的一摞书的高度减去3本书的厚度即为课桌的高度， 解题过程 书的厚度为 ，课桌的高度 为 故答案为0.5；85. 7 （2）当课本数为 （本）时，用同样方式叠放在桌面上的一摞数学课 本高出地面的距离为_ ______.（用含 的代数式表示） <m></m> 思路点拨 高出地面的距离=课桌的高度+ 本书的厚度，把相关数 值代入即可， 解题过程 本书的厚度为 ，课桌的高度为 ， 高出地面的距离为 故答案为 8 （3）若桌面上有54本与（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有16名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离. 思路点拨 把 代入（2）中得到的代数式求值即可. 解题过程 当 时， 余下的数学课本高出地面的距离是 9 方法提炼 对于生活中的数学问题，首先要理解题意，找出其中的数量关系，其次是将问题数学化，即用数学的符号语言描述题中的数量关系，最后选择合理的数学模型解决问题.而代数式及其运算是最常用的数学模型. 10 &2& 甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店的价格为6元/千克，在乙批发店，当一次购买数量不超过50千克时，价格为7元/千克；当一次购买数量超过50千克时，超过50千克的部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 千克 11 （1）下表中， _____， _____， _____. 一次购买苹果的数量/千克 20 50 100 甲批发店花费/元 120 600 乙批发店花费/元 350 300 140 600. [解析] 故答案为300；140；600. 12 （2）分别用含 的代数式表示： ①甲批发店所花费的钱数为_ ___元. <m></m> ②当一次购买数量不超过50千克时，乙批发店所花费的钱数为_ ___元. <m></m> ③当一次购买数量超过50千克时，乙批发店所花费的钱数为__________ _______元. <m></m> [解析] ， 故答案为 13 （3）如果小王在同一个批发店一次购买120千克的苹果，通过计算说明他在哪个批发店购买更实惠. [答案] 当 时， ， ＞ 他在乙批发店购买更实惠. 14 知识点二：方程模型的应用 &3& 某校七（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了其中4位参赛者的得分情况. 参赛者 答对题数 答错题数 得分/分 20 0 120 ① 2 106 ② ③ 78 10 ④ 50 15 （1）求答错一道题的得分情况. 思路点拨设答错一道题得 分，根据 的得分情况可得答对一道题 的得分情况，根据 的得分列出方程即可求解. 解题过程 由参赛者 知，答对一道题得分为 （分）. 设答错一道题得 分.由题意得 ，解得 答错一道题得-1分. 16 （2）补全表格. ①____；②____；③___；④____. 18 14 6 10. 思路点拨 根据 的得分列方程求解. 解题过程 ① ②设 答对 道题.由题意得 ，解得 ③ ④ 故答案为18；14；6；10. 17 （3）参赛者 说他的得分是60分，请你判断可能吗，并说明理由. 思路点拨 假设可能，列方程判断方程的解是否为整数即可. 解题过程 不可能.理由如下：设 答对 道题，得分为60分. 由题意得 ，解得 （不合题意，舍去）. 参赛者 不可能得分是60分. 18 方法提炼 本题考查方程模型的应用，即在解决数学问题时，通过设元从未知转化为已知，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程或方程组完成未知向已知的转化. &4& 某市积极推行居民医疗保险制度，享受医保的居民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，医疗费用直接报销.医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含50 0元） 超过500元且不超过100 00元的部分 超过10000元 的部分 报销比例 标准 不予报销 20 （1）若张大爷某次就医的医疗费为2800元，求张大爷按标准能报销多少元. [答案] （元）. 张大爷按标准能报销1380元. （2）若王阿姨某次就医的医疗费为 元，其中 ，请用 含 的代数式表示按标准报销的金额. [答案] , 按标准报销的金额为 元. 21 （3）若王阿姨某次就医的自付医疗费为5350元，求王阿姨该次就医的医疗费为多少元. [答案] 设王阿姨该次就医的医疗费为 元. （元）. .由题意得 ，解得 王阿姨该次就医的医疗费为13000元. 22 &5& 【问题提出】某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题.为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 23 （1）如图1，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直 线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一 条线段把它们连结起来.由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每 个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成 条线段，而 每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有 （条）线 段，所以该校一共要安排10场比赛. 24 （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图2，我们可知该校一 共要安排____场比赛. 15 思路点拨 根据图2即可得结果. 解题过程 学校有6支足球队进行单循环比赛， 则该校一共要安排 （场）比赛.故答案为15. 25 （3）根据以上规律，若学校有 支足球队进行单循环比赛，则该校一 共要安排_ ______场比赛. <m></m> 思路点拨 根据（1）（2）发现的规律即可写出 支足球队进行单 循环比赛，一共的比赛场数. 解题过程 根据以上规律可知，学校有 支足球队进行单循环比赛， 则该校一共要安排 场比赛.故答案为 . 26 【实际应用】 9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班 上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_____次. 861 思路点拨 根据(3)中的规律即可得到班上42位新同学每两个人都相互握一次手，总共握手的次数. 解题过程 班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握 手 （次）.故答案为861. 27 【拓展提高】 往返于 两地的一列高铁，途中还有 个经停站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这 条线路上往返行车，要准备车票的种数为____种. 72 思路点拨 中途经过7个车站，共9个站往返行车，再根据以上规律即可得结论. 解题过程 在这条线路上往返行车，要准备车票的种数为 （种）. 故答案为72. 28 方法提炼 本题属于计数问题，计数方法原理属于组合数学的范畴，加法原理和乘法原理是计数问题常用的解题策略，其中乘法原理是指：完成某一件事情，如果是分两个步骤，并且第一步中有 种不同的方法；第二步中有 种不同的方法，那么完成这件事情共有 种不同的方法. 29 1.植树节，某校需完成一定的植树任务，其中九年级共种了任务数的一 半，八年级种了剩下任务数的 ，七年级共种了 棵树苗，则该校植树 的任务数为 ( ) A A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵 30 2.某商品原价 元，按下列两种方案调整价格，方案一：先涨价 ， 再降价 ；方案二：先涨价 ，再降价 下列关于售价的说 法正确的是 ( ) A A.方案一售价更高 B.方案二售价更高 C.两种方案售价相同 D.哪种方案售价高不确定 31 3.《孙子算经》中有这样一个问题：“用绳子去量一根木材的长，绳子 还余3.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材 的长为多少尺？”若设木材的长为 尺，则 的值为 ( ) C A.2.5 B.3.5 C.5.5 D.6.5 32 4.某校开展社团活动，每位学生可以选择一个社团参加.已知参加体育类 社团的有 人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6， 参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的 多2，则参加三类社 团的总人数为 ( ) C A. B. C. D. 33 [解析] 由题意可得，参加体育类社团的有 人，参加文艺类社团的有 人，参加科技类社团的有 人， 参加三类社团 的总人数为 .故选C. 34 5.“十一”黄金周期间，许多商家会推出优惠促销活动.小明的新衣服是商 家打折促销后买的.上衣原价120元，打了六折买的，裤子打了七折买的， 一共花了128元钱，则小明的裤子的原价是____元. 80 6.如图，两个正方形的面积分别为16，9，两涂色部分 的面积分别为 ，则 ___. 7 35 7.已知七年级学生小张家所在的小区、市图书馆和电影院在同一直线上， 它们之间的距离如图所示.小张周六上午带了100元现金先从小区门口乘 出租车去了市图书馆，付车费8元；中午再从市图书馆乘出租车去了电 影院，付车费12.4元.该市出租车的收费标准如下：不超过 计费为 元，超过 后的部分按每千米 元计费. 36 （1） ___， ____. 8 2.2 （2）乘坐出租车 时的车费为_____________元.（用含 的 代数式表示） <m></m> 37 8.《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子 上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位妇女在 从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记 1838 [解析] （个）.故答案为 1838. 录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为______个. 38 9.生态公园计划在园内的坡地上种植一片有 两种树的混合林，需要 购买这两种树苗共100棵.假设这批树苗种植后成活95棵，种植 两种 树苗的相关信息如下表： 品名 单价（元/棵） 栽树劳务费（元/棵） 成活率 15 3 20 4 39 （1）求购买这两种树苗各多少棵. [答案] 设购买 种树苗 棵，则购买 种树苗 棵. 由题意得 ，解得 购买 种树苗75棵，购买 种树苗25棵. （2）求种植这片混合林的总费用需多少元.（总费用 购买树苗费用 栽树劳务费） [答案] （元）. 种植这片混合林的总费用需1950元. 40 10.如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既 不重叠，又无缝隙，那么该长方形就称为“优美长 方形”.如图，已知“优美长方形” 的周长为52， 则正方形 的边长为 ( ) C A.3 B.13 C.6 D.8 41 [解析] 设正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，正方形 的 边长为 ，正方形 的边长为 “优美长方形” 的周长为 ，解得 正方形 的边长为6.故选C. 42 11.如图，已知 两点在数轴上，点 表示的数为 ， 点 以每秒1个单位长度的速度从点 向右运动，点 以每秒3个单位 长度的速度从点 向左运动（点 同时出发），则当点 到原点 的距离相等时，经过的时间为 ( ) C A. B. 或 C. 或 D. 43 [解析] 点 表示的数为 ， 点 表示的数为20. 设经过 ，点 到原点 的距离相等.由题意得点 表示的数为 ，点 表示的数为 由题意得 或 ，解得 或 经过 或 后，点 到原点 的距离相等.故选C. 44 12.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高 度的圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ，用两根相同的管子在 高度处连通 或 （即管子底部离容器底 ），现三个容器中，只有乙中有水，水位 高 ，如图所示.若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水 ，甲的水位上升 ，则开始注入 ____ 水后，甲的水位 比乙高 45 [解析] 由题意得，甲、乙、丙三个容器的底面积之比为1 1， 向甲和丙注入 高的水量，即 后，乙的水位每分钟 上升 设开始注入 水后，甲的水位比乙高 ①当甲的水位上升到 ，乙的水位不变时，由题意得 ，解得 . 46 ②当甲、丙的水位到达管子底部 ，乙的水位上升到 时. 由题意得 ，解得 . 开始注入 或 水后，甲的水位比乙高 故答案为 或 . 47 13.乐乐在妈妈的监督下进行了7次跳绳检测，检测他一分钟跳绳的个数， 并把每次的个数都与前一次进行比较，超出的部分记为“ ”，不足的部 分记为“-”.下表记录了他第2次到第7次的检测结果. 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 -8 48 （1）若乐乐第1次的检测成绩为 个，请直接写出： ①第4次检测成绩的个数（用含 的代数式表示）. [答案] 第4次检测成绩的个数为 . ②第2次到第6次的检测中，成绩超过 个的次数. [答案] 第2次到第6次的检测成绩（个）依次为 ， 第2次到第6次的检测中，成绩超过 个的次数是3. 49 （2）若乐乐第1次的检测成绩为100个，第7次的检测成绩为106个. ①求表中 的值. [答案] 由题意得 ，解得 . 表中 的值为 . 50 ②妈妈为了鼓励乐乐，每跳绳一个奖励1颗小星星，并从第2次开始，与前一次进行比较，每超过一个再额外奖励2颗小星星，乐乐这7次检测一共能得到多少颗小星星？ [答案] 由题意得乐乐这7次检测成绩（个）依次为100，101，93，98， 102，107，106. 一共能得到的小星星颗数为 （颗）. 乐乐这7次检测一共能得到737颗小星星. 51 14.如图1，已知 平分 52 （1） _ ____. <m></m> [解析] 平分 . 故答案为 53 （2）若在图1中画射线 ，设 平分 ，用含 的 代数式表示 的大小. [答案] ①如图1，当 在 的下方时， 平分 平分 ， . 54 ②如图2，当 在 的上方且 ＜ 时， . ③如图3，当 在 的上方且 ＞ 时， . 55 （3）如图2，若 与 分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针所 在的射线， ，在时针与分针转动过程中， 始终平分 ，则经过多少时间后， 的度数第一次等于 ？ [答案] 平分 设经过 后， 的度数第一次等于 由题意得 ，解得 ， 经过 后， 的度数第一次等于 56 $$