第28讲 整体思想与代数运算 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第28讲 整体思想与代数运算 1 2 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理. 3 1.整体思想求代数式值的几种形式： （1）整体代入求值：一般只有一个条件，我们将已知条件看成一个整体，根据关键因素进行倍数提取及括号添加，从而将所求代数式与已知条件建立关系. 4 （2）整体加减求值：一般有两个条件，我们将两个条件看成两个整体， 根据所求代数式各项的系数进行适当变形，然后进行加减，从而将所求 代数式与已知两个条件建立关系. （3）整体构造求值：一般为代数式的展开式，根据所求系数，可以令 为适当的值，从而将所求系数之和与左侧代数式的值建立关系.若对 赋值一次无法直接求出部分系数之和，我们可进行两次赋值，然后利用 整体加减法进行处理. 5 2.整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求问题综合考虑后，得出结论.整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造.整体思想是一种重要的数学思想，我们在解题过程中经常会用到.整体思想使用得恰当，能提高解题效率，减少不必要的计算，直奔主题，因而整体思想在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛的应用，是初中数学学习中的重要思想方法. 6 知识点一：整体思想在代数式求值中的应用 我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，则 “整体 思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与 求值中应用极为广泛.请尝试： 7 （1）把 看成一个整体，合并 的结果是_ __________. <m></m> 思路点拨 利用整体思想，进行计算即可解答. 解题过程 故答案为 8 （2）已知 ，求 的值. 思路点拨 利用整体思想，判断代数式 与 的关系，将 整体代入进行计算即可解答。 解题过程 ， 9 （3）已知 ，求 的值. 思路点拨 根据已知易得 ，然后再将所求的式子去括号、 合并同类项，进行计算即可解答. 解题过程 ， ，即 10 方法提炼 本题考查整式的化简求值，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取与所求代数式相关的代数式的值，然后把要求的代数式变形整理出条件中已知或已求得的代数式，利用整体代入法求代数式的值. 11 整体代换是数学的一种思想方法，在求代数式的值时，整体 代换思想很常用，例如 ，求 的值，我们将 作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 12 （1）若 ，则 _ _______. <m></m> [解析] 原式 故答案为 . 13 （2）若 ，求 的值. [答案] . 原式 . 14 知识点二：整体思想在解方程中的应用 【问题情境】解方程： 【问题探究】设 ，则原方程可化为 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ，解得 利用上述方法解方程： 15 思路点拨 设 ，则原方程可化为 ，求得 ，则 ，即可求解方程. 解题过程 设 ，则原方程可化为 ，移项，得 ， 合并同类项，得 ，系数化为1，得 ，解得 . 16 方法提炼 本题考查一元一次方程的解法，整体换元法是解方程常用的方法，即将方程中重复出现的关于某未知数的代数式用新的未知数表示，可起到降次、消元或化繁为简的效果. 17 解方程： [答案] 设 ，则原方程可化为 ，解得 ，解得 18 若 （1）当 时，有何结论？ 思路点拨 把 代入所给等式中得到 ，即 解题过程 当 时， ，即 19 （2）当 时，有何结论？ 思路点拨 把 代入所给等式中得到 ，整理得 . 解题过程 当 时， ，即 ①. 20 （3）当 时，有何结论？ 思路点拨 把 代入所给等式中得到 ，整理得 . 解题过程 当 时， ， 即 ②. 21 （4）求 的值. 思路点拨 把（2）和（3）中的两个结论相减可计算出 的值 解题过程 由①-②得 22 方法提炼 从整体去观察一个代数式或等式，可以从宏观上掌握一个代数式的结构特征，而将题中的 用特殊的值代入，根据左右两边代数式的恒等关系又可从微观上探究系数之间的关系，这种既看局部、又看整体的研究方法是解决问题普遍而有效的方法. 23 1.已知 满足 ，则代数式 的值为 ( ) C A.0 B.-1 C.-7 D.-10 2.若 ，则 的值为( ) B A.-10 B.-4 C.4 D.10 24 3.已知 ，则多项式 的 值为 ( ) A A.2 B.6 C.-6 D.-2 [解析] . 故选A. 25 4.当 时，代数式 的值为10，则当 时，代数 式 的值为 ( ) D A.12 B.10 C.7 D.4 [解析] 当 时， ， 当 时， 故选D. 26 5.一题多解是拓展我们发散思维的重要策略.对于方程“ ”可以有多种不同的解法，观察此方程， 假设 （1）原方程可变形为关于 的方程：____________，通过先求 的值， 从而可得 _ _. <m></m> <m></m> （2）上述方法用到的数学思想是__________. 整体思想 27 6.当 时， 的值是-1，则 的值是___. 5 7.已知关于 的一元一次方程 的解是 ，那么 关于 的一元一次方程 的解是________. <m></m> 28 8.在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均 相等，则代数式 的值为___. 7 11 19 9 29 [解析] 由题意可得 ①， ②， ③，① ③，得 ，整理，得 ，则 故答案为9. 30 9.已知 是关于 的方程 的解. （1）求代数式 的值. [答案] 把 代入 中，得 . （2）求代数式 的值. [答案] 31 10.已知四个多项式 ， 有下列结论： ①四个多项式的和是大于1的正数； ②若多项式 是关于 的二次二项式，则该多项式的 二次项系数为3或4； 32 ③若 的取值满足 的绝对值之和为3，则存在 的值，使多项式 的值为0. 其中正确的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 [解析] ① ， 四个多项式的和是大于或等于1的正数，故①错误. 33 ② ， 多项式 是关于 的二次二项式， 或 ，解得 或 . 或4. 二次项系数为3或4，故②正确. 34 ③ ，解得 ， 不存在 的值，使多项式 的值为0，故③错误. 正确的有1个.故选B. 35 11.如图，在一个大长方形中放入三个边长不相等 的小正方形①，②，③，若要求两个涂色部分的 周长差，只要知道下列哪两条线段的差的绝对值？ ( ) B A. B. C. D. 36 [解析] 如图，设小正方形①，②，③的边长分别是 ， 37 又 两个涂色部分的周长差 只要知道 ，即可求出两个涂色部分的周长差. 故选B. 38 12.定义：对于一个数 ，我们把 称作 的“相伴数”.若 ，则 ；若 ，则 例如： ， 已 知当 时，有 ，则代数式 的 值为_ ____. <m></m> 39 [解析] 当 ＞ ＜ 0时， ， . . 故答案为 . 40 13.已知 ，则 ___. 5 [解析] ， 令 ，则 ， 即 ①. 41 令 ，则 ，即 ②. ① ②得 令 ，则 ，即 . 故答案为5. 42 14.阅读下列解方程的途径： （1）按照图1所示的途径，填写图2内空格. ①_ _________；②______. <m></m> <m></m> 43 （2）已知关于 的方程 的解是 或 （ ） 均为常数），求关于 的方程 为常数， 的解（用含 的代数式表示）. [答案] 由题意得 或 ，解得 . 44 15.数学中，运用整体思想在求整式的值时非常重要. 例如：已知 ，则 请你根据上面材料解答以下问题： （1）若 ，求 的值. [答案] . 45 （2）当 时， ，求当 时， 的值. [答案] 当 时， 当 时， . 46 （3）当 时， ，直接写出当 时， 的值（用含 的代数式表示）. [答案] 当 时， . 当 时， . 47 16.若一个四位自然数 的各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之 和为5，后两位数字之和为6，则称 为“智慧数”.把“智慧数” 的前两 位数字和后两位数字整体交换得到新的四位自然数 ，规定 .例如： 是“智慧 数”，则 ； 不是“智慧数”. 48 （1）判断2342和4152是否是“智慧数”，并说明理由. [答案] 2342是“智慧数”.理由如下： 是“智慧数”. 4152不是“智慧数”.理由如下： 不是“智慧数”. 49 （2）若自然数 是“智慧数”（其中 ，且 为整数），若 恰好能被5整除，求出所有满足条件的自然数 的值. [答案] 自然数 是“智慧数”， . ， . 50 恰好能被5整除， ，且 为整数， 的个位数字为0或5. 当个位数字为0时，若 的值是正数，个位数字为3，则 ，不存在. 当个位数字为0时，若 的值是负数，个位数字为7，则 . 51 当 时， ，则自然数 为1442； 当 时， ，则自然数 为2351. 当个位数字为5时，若 的值是正数，个位数字为8，则 当 时， ，则自然数 为4124； 当 时， ，则自然数 为3215. 52 当个位数字为5时，若 的值是负数，个位数字为2，则 ，不存在. 综上所述，所有满足条件的自然数 的值为1442，2351，4124，3215. 53 $$