第21讲 含字母系数的方程与绝对值方程 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第21讲 含字母系数的方程与绝对值方程 1 2 1.方程中除了未知数之外还有其他字母，这些字母表示相关未知数的系数，这类方程称为含字母系数的方程若把字母系数看成已知数，则可解出方程，方程的解用含字母系数的代数式表示即可. 2.绝对值符号中含有未知数的方程称为绝对值方程;解绝对值方程的基本策略是利用绝对值的性质将其转化为普通方程求解. 3 1.在关于 的一元一次方程 中，对于未知数 来说， 就是 的系数，称为字母系数， 为常数项，这时该方程称为含字母系数的一元一次方程.当 时，把 和 看成已知数，可解方程得 ；当 时，方程有无数解；当 时，方程无解. 4 2.含字母系数的一元一次方程的解法与普通的一元一次方程解法一样，只是解的过程中要区分字母系数与未知数，最终解得的未知数的值通常用含字母系数的代数式表示，特别注意的是用一个含字母的式子去除或乘方程的两边时，这个式子不能为零. 5 3.我们把绝对值符号中含有未知数的方程称为绝对值方程，解绝对值方程的基本方法有：（1）根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解；（2）利用绝对值的几何意义，借助于数轴，根据图形的直观性求解.分类讨论、数形结合是解这类方程最常用的数学思想方法. 6 知识点一：含字母系数的一元一次方程 &1& 阅读下面的材料，并解答后面的问题. 材料：试探讨方程 的解的情况. 解：当 时，方程有唯一解 ； 当 时，方程有无数个解； 当 时，方程无解. 7 （1）已知关于 的方程 无解，求 的值. 思路点拨 通过去括号、移项、合并同类项，可将已知方程变形为 ，根据方程无解，可得 且 ，由 此即可求出 的值 解题过程 方程去括号，得 ， 移项，得 ，合并同类项，得 此方程无解， 且 ，解得 . 8 （2）解关于 的方程 思路点拨 通过去括号、移项、合并同类项，将方程化为 ，由已知得到 ，系数化为1即可求出方 程的解. 解题过程 方程去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 由 可得 ， 系数化为1，得 9 方法提炼 本题考查含字母系数的方程的解和解方程，正确区分方程中的未知数和字母系数，并根据解一元一次方程的一般步骤对方程进行变形是解题的关键. 10 解关于 的方程： （1） [答案] 由题意得 ， . （2） [答案] ， ， 当 时， ；当 时， 为任意实数. 11 知识点二：与一元一次方程相关的绝对值方程 &3& 阅读下列解题过程并解答类似的题目. 解方程： 解：由 ，得 若 ，解得 ；若 ，解得 原方程的解是 或 12 （1）解方程： 思路点拨 由 ，得 ，再解两个一次方 程即可. 解题过程 由 得 若 ，解得 ；若 ，解得 . 原方程的解是 或 . 13 （2）若方程 的解也是方程 的解，求 的值. 思路点拨 由 ，得 ，再解两个一次方程，最后利用方程的解的定义进行解答即可. 14 解题过程 由 ，得 若 ，解得 ；若 ，解得 的解是 或 当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 的值是6或2. 15 方法提炼 本题考查绝对值方程的解法、一元一次方程的解法，熟练掌握根据绝对值的性质将方程转化为一元一次方程的方法是解题的关键. 16 &4& 解方程： （1） [答案] 由绝对值的意义可得 当 时， ，解得 当 时， ，解得 （舍去）. 原方程的解为 17 （2） [答案] 当 时，原方程化为 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，解得 （舍 去）； 当 时，原方程化为 ，解得 . 原方程的解为 或 . 18 &5& 阅读理解： 在解形如 这一类含有绝对值的方程时，为 了去绝对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的 ，可以 根据绝对值的意义先对 的取值分成 和 两种情况，再去绝对 值符号： 19 当 时，原方程可化为 ，解得 ，不符合 ，舍去； 当 时，原方程可化为 ，解得 ，符合 ， 综上所述，原方程的解为 20 （1）【方法应用】解方程： 思路点拨 分两种情况讨论: ， ，将方程转化为一元一次方程求解. 21 解题过程 分两种情况讨论： 当 时，原方程可化为 ，解得 ，符合 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ，不 符合 ，舍去， 原方程的解为 . 22 （2）【拓展应用】解方程： 思路点拨 分三种情况讨论: ， ， 解题过程 分三种情况讨论： 当 时，原方程可化为 ，解得 ，符合 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ，符合 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ，不 符合 ，舍去， 原方程的解为 或 . 23 （3）【迁移应用】求 的最小值. 思路点拨 分三种情况讨论: ， 解题过程 分三种情况讨论： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 的最小值为2031. 24 方法提炼 本题考查解一元一次方程、绝对值的性质，熟练准确地计算是解题的关键，同时结合了分类讨论的数学思想，题（3）也可以根据绝对值的几何意义结合数轴解答. 25 1.方程 的解是( ) C A. B. C. 或 D. 或 2.若关于 的方程 与方程 的解相同，则 的 值是( ) A A.-1 B.-6 C.-9 D.-11 26 3.已知方程 的解是 ，则关于 的方程 的 解为( ) C A. B. C. D. 4.方程 的解有( ) D A.1个 B.2023个 C.2024个 D.无数个 [解析] 的解有无数个. 故选D. 27 5.解方程 ，得 ____. - 5 6.若关于 的方程 与 的解互为相反数，则 的值为_____. - 13 28 7.若关于 的方程 的解满足方程 ，则 的 值是_ ______. <m></m> 或 <m></m> [解析] 由题意得 或 ，解得 或 . 当 时，原方程为 ， ，解得 . 当 时，原方程为 ， ，解得 . 的值为 或 .故答案为 或 . 29 8.已知关于 的方程 有正整数解，则整数 的值为_________. 3或1或0 [解析] 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 . 方程有正整数解， 或 或 ， 解得 或 或 故答案为3或1或0. 30 9.已知关于 的方程 （1）当 时，方程的解为_ _____. <m></m> [解析] . 故答案为 . 31 （2）若 是方程的解，用等式表示 与 满足的数量关系： _ ________. <m></m> [解析] 是方程的解， 故答案为 32 （3）若这个方程的解与关于 的方程 的解相同，求 的值. [答案] 解关于 的方程 ，得 ； 解关于 的方程 ，得 . 两方程的解相同， . . 33 10.我们知道由 可得 或 ，例如解方程： ，我们只要把 看成一个整体就可以根据绝对值的意 义进一步解决问题. 根据绝对值的意义，得 或 ，解得 或 根据以上材料解决下列问题： 34 （1）解方程： [答案] 根据绝对值的意义，得 或 ，解得 或 . （2）解方程： [答案] 根据绝对值的意义，得 或 ， 解得 或 35 11.若 ，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. [解析] 当 ＞ 3时，原方程可化为 ，等式不成立；当 时，原方程可化为 ，解得 ；当 时， 原方程可化为 ，等式恒成立.综上所述， 的取值范围 是 故选B. 36 12.阅读：关于 的方程 在不同的条件下解的情况如下：（1） 当 时，有唯一解 ；（2）当 时，有无数个解； （3）当 时，无解.请你根据以上知识作答：已知关于 的 方程 无解，则 的值是 ( ) A A.1 B.-1 C. D.0 37 [解析] 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 该方程无解， ，即 故选A. 38 13.已知关于 的方程 只有一个解，则 ___. 1 14.下列关于 的方程的结论，其中正确的是________.（填序号） ①若 ，则关于 的方程 的解为 ； ②若 ，且 ，则方程 的解是 ； ③若 有唯一的解，则 ； ④若 ，且 ，则 一定是方程 的解. ②③④ 39 [解析] ① 当 时，方程 有无数个解，故 ①不符合题意. ② ，且 且 解方程 ，得 ，故②符合题意. ③去括号，得 ； 移项、合并同类项，得 方程有唯一解， ，即 ，故③符合题意. 40 ④将 代入原方程，得左边 右边， 一定是方程 的解，故④符合题意. 故答案为②③④. 41 15.小明喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定 义：若 是关于 的一元一次方程 的解， 是关于 的方 程的所有解的其中一个解，且 满足 ，则称关于 的 方程为关于 的一元一次方程的“友好方程”.例如：一元一次方程 的解是 ，方程 的所有解是 或 ，当 时， ，所以 为一元一次方 程 的“友好方程”. 42 （1）已知关于 的方程：① ；② ，哪个方程是一元 一次方程 的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 ____. ② [解析] 方程①的解为 ，方程②的解为 ，方程 的解为 ， 方程①不是方程 的“友好方程”，方程②是方程 的“友好方程”.故答案为②. 43 （2）若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“友好方程”，请求出 的值. [答案] 或 2. 或 方程 两个方程是“友好方程”， 或 或 44 16.已知 与 分别是关于 的方程 与 的解. 45 （1）若关于 的方程 的解与方程 的解相同，求 的值. [答案] 解方程 ，得 关于 的方程 的解与方程 的解相同， 是方程 的解. 46 （2）当 时，求代数式 的值. [答案] 是关于 的方程 的解， 47 （3）若 ，则称关于 的方程 与 为“差半点方程”.试判断关于 的方程 与 是否为“差半点方程”，并说明理由. 48 [答案] 关于 的方程 与 是“差半点方程”. 理由如下：解方程 ，得 ； 解方程 ，得 . ， 49 关于 的方程 与 是“差半点方程”. $$