第24讲 方程思想与几何计算 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第24讲 方程思想与几何计算 2 1.方程思想:分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题. 2.几何问题中能根据图形特征分析等量关系，设未知数建立方程求线段或角度. 3 方程思想解决问题要注意以下几点： 1. 要具有正确列出方程的能力：有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程. 2.要具备用方程思想解题的意识：有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识. 4 3.要掌握运用方程思想解决问题的要点：即掌握列方程解决问题的一般步骤和注意点，步骤为审、设、列、解、验、答，特别要注意检验这一过程，既要检验方程解的正确性，又要检验方程的解是否符合图形特征或实际意义，对于动态的几何问题还需要分类讨论. 5 知识点一：用方程思想求线段 如图， 为线段 上一点 ，点 在 上， 为 的中点. （1）若 ，设 的长为 ① 的长为_ _____（用含 的式子表示）. <m></m> [解析] 解题过程 为 的中点， 故答案为： . 6 ②当 时，求 的值. [答案] 解题过程由①得 ，解得 思路点拨 ①根据题意可得 ，再根据线段中点的定义可得 的长.②根据线段中点的定义可得 ，再列方程可得答案。 7 （2）若 ， 的值为__. <m></m> 思路点拨 设 用含 的式子表示出 和 的长度，再计算即可. [解析] 设 ，则 为 的中点， .故答案为： . 8 方法提炼 用方程思想求线段的一般步骤：（1）设其中的一条线段为 .（2）根据线段的和、差、倍、分关系用 表示出其他相关线段.（3）根据线段之间的数量关系列出方程，其中部分量之和等于总量是列方程的常用等量关系. 9 如图，点 在线段 上，线段 与 的长度之比为 为线段 的中点. （1）若 ，求 的长. 10 [答案] 设 ，且 ，解得 是线段 的中点， 11 （2）在线段 上取一点 ，满足 ，若 ，求 的 长（用含 的式子表示）. [答案] 12 知识点二：用方程思想求角度 以直线 上一点 为端点作射线 ，将一把三角尺的直角顶点放 在 处（注： ）. 13 （1）如图1，若三角尺 的一边 在射线 上，且 ， 求 的度数. 思路点拨 根据 求解即可. 解题过程 14 （2）如图2，将三角尺 绕点 逆时针转动到某个位置时，若恰好 满足 ，且 ，求 的度数. 思路点拨 根据 列方程求解即可. 15 解题过程 设 ，则 ， ，解得 ，即 16 （3）如图3，将三角尺 绕点 逆时针方向转动到某个位置，若 恰好平分 ，请说明 所在射线是 的平分线. 思路点拨 由 恰好平分 ，得 ，再根据平角的定义得 即可得证. 17 解题过程 平分 ， ，即 所在射线是 的平分线. 18 方法提炼 用方程思想求角度的一般步骤：（1）设其中的一个角的度数为 .（2）根据角的和、差、倍、分以及互余、互补等关系用含 的式子表示出其他相关角.（3）根据角之间的数量关系列出方程，其中部分量之和等于总量是列方程的常用等量关系. 19 如图1，已知 三点在 同一条直线上，射线 分别平分 （1）求 的度数. [答案] 点 在同一条直线上， 射线 和射线 分别平分 和 20 （2）如图2，在 内引一条射线 ，其余条件不变，设 ①求 的度数（用含 的式子表示）. [答案] 21 ②若 是 的2倍，求 的度数. [答案] 是 的2倍， ，解得 ，即 22 &5& 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”.如图1，若射线 在 的内部，且 ，则 是 的“内半角”.根据以上信息，解决下面的问题： 23 （1）如图 ，若 是 的“内半角”， 则 _ ____. <m></m> 思路点拨 根据题意算出 的度数，利用 即可算出 的度数. 24 [解析] 解题过程 是 的“内半角”， ， 故答案为： . 25 （2）如图2，已知 ，将 绕点 按顺时针方向旋转角 度 至 若 是 的“内半角”，求 的值. 思路点拨 根据旋转性质可推出 和 ，然后可用含 的式子表示 和 的度数，根据 是 的“内半角”列出方程即可求出 的值. 26 [答案] 解题过程由旋转性质可知 ， 是 的“内半角”， ，即 ，解得 的值为 27 （3）将一把含有 角的三角尺 按如图3所示的方式放置，使 边与 重合， 边与 重合.如图4，将三角尺 绕顶点 以 的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为 ，当射线 构成“内半角”时，直接写出 的值. 思路点拨 根据旋转一周构成“内半角”的情况共有四种，分别画出图形， 求出对应 值即可. 28 [答案] 解题过程①如图4，当 时，此时 是 的“内 半角”. 由旋转性质可知 ， 是 的“内半角”， ，即 ，解得 . 29 ②如图5，当 时，此时 是 的“内半角”. 由旋转性质可知 ， 是 的“内半角”， ，即 ， 解得 30 ③如图6，当 时，此时 是 的“内半角”. 由旋转性质可知 ， 是 的“内半角”， ，即 ，解得 31 ④如图7，当 时，此时 是 的“内半角”. 32 由旋转性质可知 ， 是 的“内半角”， ，即 ，解得 . 综上所述，当射线 构成“内半角”时， 的值为 或30 或90或 . 33 方法提炼 本题考查新定义以及角的相关计算，解题的关键一是理解什么是“内半角”，二是根据旋转情况分类讨论画出图形，三是利用方程解决问题. 34 1.如图，从直线 上的点 引射线C ，若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 35 2.如图， 是 的中点， ，若 ，则线段 的长 是( ) B A.10 B.12 C.14 D.16 3.已知三个锐角 ，且 比 大 ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. 36 4.如图，已知 是线段 上一点， 是 的中点， 是 的中点.若 ，则 的长为 ( ) D A.48 B.52 C.60 D.66 37 [解析] 设 是 的中点， 是 的中点， ，解得 故选D. 5.如图，已知点 在直线 上， 是直角， ，则 的度数为_ ____. <m></m> 6.若一个角的余角比它的补角的 大 ，则这个角的度数为_____. <m></m> 39 7.如图，已知线段 和 的公共部分 分别为 线段 的中点， ，则 的长为____. 24 40 [解析] 设 . 分别为线段 的中点， ，解得 故答案为：24. 41 8.已知一个角的补角加上 ，恰好等于这个角的余角的5倍，求这个 角的度数. [答案] 设这个角为 ，则这个角的补角为 ，余角为 由题意得 ，解得 这个角的度数为 42 9.如图，已知 平分 （1）图中有___个小于平角的角. 6 [解析] 图中小于平角的角分别是 ，共有6个. 故答案为：6. 43 （2）已知 ，求 的度数. [答案] 设 ，则 平分 . ，解得 44 10.如图，已知线段 ，延长线段 至点 ，使 ，延长线 段 至点 ，使 是线段 的中点. 45 （1）若 ，求线段 的长. [答案] ， 是 的中点， 46 （2）若 ，请直接写出线段 的长（用含 的式子表示）. [答案] 设 是 的中点， ，解得 , 47 11.已知点 在线段 的延长线上， 分别为 和 的中点，则 的长是______. 2或8 48 [解析] 当点 在点 的右边时，如图1. 点 在线段 的延长线上， ， 分别为 和 的中点， ， . 49 当点 在点 的左边时，如图2. 点 在线段 的延长线上， ， ， . 分别为 和 的中点， 50 ， . . 综上所述， 的长是2或8.故答案为：2或8. 51 12.已知 ， 则 的度数为_ ______________________. <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> 52 [解析] （1）当射线 在 的内部时， ①如图1，若射线 在 内部， 设 ，则 ， ，即 53 ②如图2，若射线 在 外部， 设 ，则 . . 54 （2）当射线 在 的外部时，根据题意，此时射线 靠近射线 ， 射线 的位置也只有两种可能. ①如图3，若射线 在 内部， 55 设 ，则 ，即 . . 56 ②如图4，若射线 在 外部， 设 ，则 ， ，解得 此种情况不符合题意. 综上所述， 的度数为 或 或 . 故答案为： 或 或 . 57 13.如图，把一根细线绳对折成两 条重合的线段 ，点 在线段 上，且 （1）若细线绳的长度是 ，求图中线段 的长. [答案] ， 58 （2）从点 处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长 的一段为 ，求原来细线绳的长. [答案] 设 若这根细线绳沿点 对折成线段 ，则剪断后的三段绳子的长分别为 ， ，解得 原来细线绳的长 若这根细线绳沿点 对折成线段 ，则剪断后的三段绳子的长分别为 ， ，解得 原来细线绳的长 综上所述，原来细线绳的长为 或 59 14.将一副三角尺按如图1所示的方 式拼接在一起，其中边 与 直线 重合， （1）求图1中 的度数. [答案] ， 60 （2）如图2，三角尺 固定不动，将三角尺 绕点 按顺时针方 向旋转一个角度 （即 ），在转动过程中两个三角尺一直处 于直线 的上方. ①当 平分 其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度 的值. 61 [答案] 当 平分 时， 当 平分 时， ， 当 平分 时， ， 综上所述，旋转角度 的值为 或 或 62 ②在转动过程中是否存在 ？若存在，求此时 的值； 若不存在，请说明理由. [答案] 当 在 的左侧时， ， 当 在 的右侧时， ， 综上所述，当 或 时， 63 15.【知识的迁移与应用】 【问题一】 甲、乙两车分别从相距 的 两地出发，甲车速 度为 ，乙车速度为 ，两车同时出发，同向而行（乙 车在前甲车在后），__________ 后两车相距 ？ 2.5或12.5 64 [解析] 设 后两车相距 若相遇前，则 ，解得 ； 若相遇后，则 ，解得 两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 或 后两车相距 故答案为：2.5或12.5. 65 【问题二】 如图，在一个圆形时钟的表面上， 表示时 针， 表示分针（点 为两针的旋转中心）.下午3点时， 与 成直角. （1） 时，时针与分针所成的角度为_ _____. <m></m> [解析] 故答案为： . （2）分针每分钟转过的角度为_ __，时针每分钟转过的角度为_____. <m></m> <m></m> 66 （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分 针成 角？ [答案] 设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过 ，时针与 分针成 角. ①当分针在时针上方时，由题意得 ，解得 . 67 ②当分针在时针下方时，由题意得 ，解得 . 在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过 或 ，时 针与分针成 角. $$