第5章 第16讲 解方程与方程的解 培优提分课件-2025-2026学年浙教版2024数学七年级上册

第16讲 解方程与方程的解 1 2 1.一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元一次方程的解. 2.同解方程:如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程. 3 1.方程解的检验：把方程的解代入原方程，验证等式左右两边的值是否相等即可.已知方程的解确定方程的待定系数：把方程的解代入原方程，建立新的方程即可. 4 2.方程的特殊解问题的解题步骤： （1）将方程整理成 的形式. （2）解方程得 . （3）根据方程解的特殊性确定满足条件的参数值，这里的特殊解有自然数解、整数解以及解的范围等，常用枚举法或分离常数法解题. 5 3.同解方程： （1）解方程是一个方程的变形过程，即变形前后的方程始终是同解方程. （2）方程的解相同的含参问题的解题步骤：①先解出两个方程的解（用参数表示）；②根据解相同列出关于参数的方程；③解方程求出参数值从而确定方程的解. 6 知识点一：方程的特殊解问题 &1& 定义：若整数 的值使关于 的方程 的解为整数，则称 为此方程的“友好系数”. 7 （1）判断 是否为方程 的“友好系数”，写出 判断过程. 思路点拨分别求出方程的解，然后进行判断即可. 解题过程 当 时，方程为 ，解得 ， 是方程的“友好系数”. 当 时，方程为 ，解得 是方程的“友 好系数”. 8 （2）方程 的“友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？ 如果是有限个，请求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，请说 明理由. 思路点拨求出方程的解，根据 是整数， 也是整数进行求解即可. 9 解题过程 方程 的“友好系数”的个数是有限个. ， 为整数， ，解得 . 要使 的值为整数，则 为整数， 或 或2. 10 方法提炼 本题考查解一元一次方程，根据 的值为整数找出6的因数得到 是解题的关键，要注意这里的整数是实数范围内的整数，不要遗漏负整数. 11 已知关于 的一元一次方程 ，其中 是正整 数. （1）当 时，求 的值. [答案] 当 时，原方程即为 ，解得 12 （2）若方程有正整数解，求 的值. [答案] 去分母，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 是正整数，方程有正整数解， 或9，解得 或 13 知识点二：同解方程问题 &3& 在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为同解方程. 14 （1）若方程 与关于 的方程 是同解方程，求 的值. 思路点拨由同解方程的定义可得，方程 的解为 ，将 代入 即可求得 的值. 解题过程 方程 与关于 的方程 是同解方程， 方程 的解为 ，解得 . 15 （2）若关于 的两个方程 与 是同解方程， 求 的值. 思路点拨化简关于 的方程 ，求得 的值，再根据 同解方程的定义即可求得 的值. 解题过程 由 ，得 关于 的两个方程 与 是同解方程， ，解得 16 （3）若关于 的两个方程 与 是同 解方程，求此时符合要求的正整数 的值. 思路点拨分别求得关于 的两个方程 与 的解，再根据同解方程的定义即可求得 ， 的值. 17 解题过程 由 ，得 ； 由 ，得 关于 的两个方程 与 是同解方程， 是正整数， 或2.当 时， ；当 时， ， 18 方法提炼 本题考查对同解方程定义的理解、一元一次方程的解法，其中对同解方程定义的理解是解题的关键. 19 已知关于 的两个方程 和 . （1）若方程 的解为 ，求方程 的解. [答案] 把 代入方程 ， 得 ，解得 把 代入方程 ， 得 ，解得 . 20 （2）若方程 和 的解相同，求 的值. [答案] 解方程 得 ， 解方程 得 方程 和 的解相同， ，解得 . 21 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程 互为“美好方程”.例如：方程 和 互为“美好方程”. （1）请判断方程 与方程 是否互为“美好 方程”，并说明理由. 思路点拨分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可. 22 解题过程 方程 与方程 互为“美好方程”. 理由如下：解方程 得 ，解方程 得 方程 与方程 互为“美好方程”. 23 （2）若关于 的方程 与方程 互为“美好方程”， 求 的值. 思路点拨分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关 于 的方程解答即可. 解题过程 关于 的方程 的解为 ，方程 的解为 关于 的方程 与方程 互为“美好方程”， ，解得 24 （3）若关于 的两个方程 与 互为“美 好方程”，求关于 的方程 的解. 思路点拨求得方程 的解，利用“美好方程”的定义得 到方程 的解，将关于 的方程 变形，利用同解方程的定义即可得到 的值，从而求得方程的解. 25 解题过程 方程 的解为 关于 的两个方程 与 互为“美好 方程”， 方程 的解为 关于 的方程 可变形为 ， ，解得 关于 的方程 的解为 26 方法提炼 本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，利用同解方程的定义解答是解题的关键，本题是新定义题型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键. 27 1.已知关于 的方程 的解是 ，则 的值是( ) B A. B. C. D. 2.若关于 的方程 与 的解相同，则 的值为 ( ) A A.4 B.3 C.5 D.6 28 3.某书中有一个一元一次方程： ，“ ”处的数印刷时被墨 盖住了，查后面的答案，知道方程的解为 ，那么 处被墨盖 住的数应该是 ( ) D A. B.3 C. D.5 29 4.已知关于 的方程 的解是 ，则 的值是 ( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 5.若关于 的方程 有正整数解，则整数 的值为( ) B A.1或-1或3或-3 B.1或3 C.1 D.3 6.若 是方程 的解，则 ____. - 2 7.已知关于 的方程 与 的解相同，则 __. <m></m> 30 8.定义运算“☆”，其规则为 ☆ ，则方程（4☆3）☆ 的解 为 ____. 21 [解析] ☆ ， （4☆3）☆ ☆ ， 整理，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 故答案为21. 31 9.已知关于 的方程 与 的解互为倒数，求 的值. [答案] 的解为 ， 方程 的解为 . 代入原方程得 ，解得 . 32 10.观察下列关于 的方程及其解的特征： 的解为 ； 的解为 ； 的解为 根据观察得到的规律，解答下列问题： 33 （1）方程 的解为______. <m></m> （2）猜想方程 的解，并验证. [答案] 方程 的解为 验证：将 代入方程，左边 右 边， 是方程 的解. （3）直接写出按此规律排列的第2023个方程： _ _________________________. <m></m> 34 11.已知关于 的一元一次方程 的解是 ， 则关于 的一元一次方程 的解为( ) C A. B. C. D. 35 [解析] 方程 可变形为 方程 的解是 ， ，解得 故选C. 36 12.若整数 使关于 的一元一次方程 有非正整数解，则符 合条件的所有整数 之和为( ) B A.-6 B.-3 C.0 D.3 37 [解析] 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ，即 . 该方程有非正整数解， 符合题意的整数 的值为3，6， - 6， - 3， - 2， -1. 符合条件的所有整数 之和为 .故选B. 13.若关于 的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为 “奇异方程”.例如： 的解为 ，则方程 是“奇异方 程”.已知关于 的一元一次方程 是“奇异方程”，则 的值为 _ _. <m></m> [解析] 解方程 ，得 . 关于 的一元一次方程 是“奇异方程”， . ，解得 . 故答案为 . 39 14.在一元一次方程中，若两个方程的解相同，则称这两个方程为同解 方程.方程 与方程 ____（填“是”或“不是”）同 解方程；若关于 的两个方程 与 是同解方程，则 ___；若关于 的两个方程 与 是同解方程， 则 _ ____. 是 1 <m></m> 40 [解析] 方程 与方程 的解均为 ， 方程 与方程 是同解方程. 解方程 ，得 ， 关于 的两个方程 与 是同解方程， 把 代入 ，得 ，解得 41 解关于 的两个方程 与 得 ， ， 关于 的两个方程 与 是同解方程， ，解得 . 故答案为：是；1； -7 15.已知关于 的方程 . （1）若方程与关于 的方程 有相同的解，求 的 值. [答案] ， . . 由题意得 ， 43 （2）若方程的解是正整数，则正整数 的值是______. 3或8 [解析] 由（1）知方程 的解为 ， 都是正整数， 是5的倍数，且 . 当 时， ；当 时， （舍）； 当 时， ；当 时， （舍）， 或8.故答案为3或8. 44 16.定义一种新运算： ，如 请解 决下列问题： （1）直接写出结果： ____； ____. - 9 18 45 （2）若 ，比较 与 的大小，并说明理由. [答案] .理由如下： 由题意得 ， ， . . . 46 （3）若关于 的方程 的解与方程 的解相 同，求 的值. [答案] 方程 可变形为 ， 解得 . 方程 的解为 . 这两个方程的解相同， . 47 17.若关于 的一元一次方程 有一个正整数解，则 可取得的最小正数是多少？请求出相应的解. 48 [答案] 由 ，得 ，即 ， . 要使 为正整数， 取最小的正数，则 ，解得 ， 此时方程的解为 49 $$