第14讲 方程的相关概念 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第14讲 方程的相关概念 1 2 1. 等式的基本性质：性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或式，结果仍得等式。性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为0），结果仍得等式。 2. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程。 3 方程的定义：含有未知数的等式叫方程。方程是含有未知数的等式， 在这一概念中要抓住方程定义的两个要点：①等式；②含有未知数。 2. 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的 解的过程，叫做解方程。要验证某个数是不是一个方程的解，只要将该 数代入这个方程中，若此时方程左右两边数值相等，则这个数为方程的 解，否则不是方程的解，这个过程称为方程解的检验。 4 3. 等式的基本性质是解方程的重要依据，解方程就是利用等式的性质 对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化。应用时要注意把握 两点：①怎样变形；②依据哪一条。变形时只有做到步步有据，才能保 证结果是正确的。 4. 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅 含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a，b是常数，并且a≠0）叫做一元一 次方程的标准形式。 5 知识点一：方程及一元一次方程的定义 &1&下列式子：①3x+2=5x-1；②+=1；③1-x=0；④ -1=2y；⑤x+7y=36；⑥6x+4y>2，其中属于方程的是　　　　，属于一元一次方程的是　　　　。（填序号） 6 思路点拨 根据方程和一元一次方程的定义逐个判断即可。 解题过程 ①3x+2=5x-1既符合方程的定义，又符合一元一次方程的定义，故①既是方程，也是一元一次方程；②+=1，有未知数x，但左边不是整式，故②是方程，但不是一元一次方程；③1-x=0既符合方程的定义，又符合一元一次方程的定义，故③既是方程，也是一元一次方程； 7 解题过程 ④ -1=2y有未知数y，但未知数的最高次数是2，故④是方程，但不是一元一次方程；⑤x+7y=36是含有两个未知数的等式，故⑤是方程，但不是一元一次方程；⑥6x+4y>2不是等式，故⑥既不是方程，也不是一元一次方程。 所以是方程的有①②③④⑤，是一元一次方程的有①③。 故答案为：①②③④⑤；①③。 8 方法提炼 本题考查方程的定义和一元一次方程的定义：含有未知数的等式是方程；只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程是一元一次方程。注意两个定义的联系与区别。 9 下列各式中，是方程的有( ) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10 已知 是关于 的一元一次方程. （1） _ _-1__. （2）求 的值. 【答案】 原式 ， 将 代入得 知识点二：从实际问题中抽象出方程 &3& 小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了 两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子贵12元，买 苹果与买 橘子的费用相等，设橘子的单价为 元. 12 （1）根据题意列出方程. 思路点拨 根据题意分别表示出买 苹果与买 橘子的费用， 根据等量关系列方程即可. 解题过程 根据题意得 13 （2）在 中，判断哪一个是（1）中所列方程的解. 思路点拨 把 ， ， 分别代入 ，即 可得到结论. 解题过程 把 分别代入 ， 当 时， 等号的左右两边不相等. 不是方程的解. 当 时， 等号的左右两边不相等. 不是方程的解. 当 时， 等号的左右两边相等 是方程的解. 14 方法提炼 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程、方程的解、代数式求值等，正确理解题意是解题的关键. 15 &4& 根据题意列出方程。 （1）某数的40%比其相反数的还少，设该数为x，则由题意可列方程为（ - x） - 40%x = 。 （2）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校24 km，甲、乙两位同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的速度的1.2倍，结果甲比乙早到了24 min，设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则由题意可列方程为　 - = 　。 （3）从正方形的铁皮上截去一条2 cm宽的长方形铁皮，余下的面积是80 cm ，设原来的正方形铁皮的边长是a cm，则由题意可列方程为　a（a - 2） = 80　。 2 16 知识点三：等式的性质及简单应用 已知 ，利用等式的性质求 的值. 思路点拨 根据等式的性质，等式的两边同时减去 ，可得 ，再把等式的两边同时除以5即可得 的值，即可求 得答案. 解题过程 ， 等式的两边同时减去 ，得 ，即 ， 等式的两边同时除以5，得 17 方法提炼 本题考查等式的性质，掌握等式的性质并应用性质对等式进行合理的变形是解题的关键. 18 假设“ ”分别表示三种不同的物体.如图，前两架天平 保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放___个 . 6 19 [解析] 设“ ”的质量分别是 由题意得 要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个 . 故答案为6. 20 已知关于 的方程： 的解是 ； 的解是 ； 的解是 （1）观察上述方程以及解的特征，直接写出关于 的方程 的解：_ _______________. 解题过程 <m></m> 思路点拨 根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解. 21 （2）比较关于 的方程 与上面各方程的关系，猜想它 的解是_ ______. <m></m> 思路点拨 结合（1）即可写出方程的解. （3）请验证（2）中猜想的结论. 思路点拨 将 代入方程左边，即可进行验证. 解题过程 把 代入等式，左边 右边 是方程 的解. 22 （4）利用（2）中的结论，求关于 的方程 的解. 思路点拨 原方程可以变形为 ， 把 当作一个整体，即可求解. 解题过程 将原方程两边同时减1，得 ， ，解得 23 方法提炼 本题考查方程的解，正确理解方程解的定义以及等式的性质，能够把 当作一个整体是解题的关键. 24 1.下列方程中，是一元一次方程的为( ) B A. B. C. D. 2.下列方程的解是 的方程是( ) B A. B. C. D. 25 3.下列变形正确的是( ) D A.如果 ，那么 B.如果 ，那么 C.如果 ，那么 D.如果 ，那么 4.小明编了一道数学谜题： ，等号左、右两边的“ ” 内表示同一个数字，若设这个数字为 ，则所列方程是 ( ) D A. B. C. D. 26 5.根据等式的性质，下列各式变形正确的是( ) C A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 6.方程 中， 处被墨水盖住了.已知该方程的解是 ， 则 处的数是_ ___. <m></m> 27 7.已知一个数的平方与这个数的倒数之和等于25 ，设这个数为 ，则 根据题意可列方程为_ _________________. <m></m> 8.下列说法：①等式是方程；② 是方程 的解；③ 和 都是方程 的解.其中正确的是____.（填序号） ③ 28 9.检验括号内的数是不是方程的解. （1） [答案] 将 代入，左边 ，右边 ，左边 右边， 不是方程的解. 将 代入，左边 ，右边 ，左边 右边， 不是方程的解. 29 （2） [答案] 将 代入，左边 ，右边 ，左边 右边， 不是方程的解. 将 代入，左边 ，右边 ，左边 右边， 不是方程的解. 30 10.阅读材料：若 ，则 请据此解答下列问题. （1）若 ，则 ___. 6 [解析] 故答案为6. 31 （2）已知 ，求多项式 的值. [答案] . . 32 11.已知 是关于 的方程 的解，则 的值是 ( ) D A.1 B. C.16 D.14 [解析] 是关于 的方程 的解， ，解得 故选D. 33 12.已知关于 的方程 是一元一次方程， 则多项式 的值是_ ____. <m></m> [解析] 由题意得 且 . . 故答案为 . 34 13.若 ，则 _ ___. <m></m> [解析] ， 原式 .故答案为 . 35 14.已知 是方程 的解，求代数式 的值. 36 [答案] 把 代入方程 ， 得 ，解得 . 把 代入 ， 当 时，原式 ， 当 时，原式 代数式 的值是 或23. 15.甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到 两工地.已知 工地需要70吨， 工地需要110吨，甲仓库运到 两工地的运费分别是140元/吨、150元/吨，乙仓库运到 两工地的运费分别是200元/吨、80元/吨，本次运送水泥的总运费为25900元，求甲仓库运到 工地水泥的吨数. 38 （1）设甲仓库运到 工地的水泥为 吨，请在下面表格中用 表示出 其他未知量. 甲仓库 乙仓库 工地 工地 39 [答案] 甲仓库运到 工地的水泥为 吨，则运到 地的水泥为 吨；乙仓库运到 工地的水泥为 吨，则运到 地的 水泥为 吨. 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 工地 工地 40 （2）用含 的代数式表示运送甲仓库100吨水泥的运费：____________ _________元.（写出化简后的结果） <m></m> [解析] 运费为 元. 故答案为 41 （3）请根据题目中的等量关系和以上的分析列出方程.（只列出方程即 可，写成 的形式，不用解） [答案] ，整理得 42 16.根据等式和不等式的性质，可以得到：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小. 43 （1）试比较代数式 与 的值之间的大小关系. [答案] ， 不论 为何值， . 44 （2）已知 ， ，请你运用前 面介绍的方法比较代数式 与 的大小. [答案] ， 不论 为何值， ， ，即 . 45 （3）比较 与 的大小. [答案] ， 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 . 46 $$