第3章 实数 第6讲 有理数的混合运算 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第6讲 有理数的混合运算 1 2 有理数混合运算的顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先进行括号内的运算. 3 1.进行有理数的混合运算时，在每一步运算中，都要先确定符号，再确定绝对值. 2.有理数混合运算的四种运算技巧：（1）转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.（2）凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数、分母相同的两个数、和为整数的两个数、乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.（3）分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.（4）巧用运算律：有理数的运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律，灵活、巧妙运用运算律，可以使计算简便. 4 知识点一：有理数的混合运算 &1& 计算： （1） 思路点拨 从左向右依次计算即可. 解题过程 原式 5 （2） 思路点拨 逆用分配律，求出算式的值是多少即可. 解题过程 原式 （3） 思路点拨 首先计算乘方和乘除法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可. 解题过程 原式 6 （4） 思路点拨 首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法，求出算式的值是多少即可， 解题过程 原式 . 7 （5） . 思路点拨 首先计算乘方和绝对值，然后计算乘法和除法，最后算加法和减法，求出算式的值是多少即可. 解题过程 原式 . 8 方法提炼 本题考查有理数的混合运算，要熟练掌握其运算法则，并注意明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先进行括号内的运算. 9 &2& 计算： （1） [答案] 原式 （2） [答案] 原式 . 10 （3） . [答案] 原式 . （4） . [答案] 原式 11 知识点二：有理数的巧算及简单应用 &3& 阅读下面的文字，完成解答过程. （1） ， ， ，则 ________ ____，并且用含有 的式子表示发现的规律. <m></m> [答案] 思路点拨 根据题中所给例子直接得出结论. 12 解题过程 ， ， ， .故答案为 . 规律为 . 13 （2）根据上述方法计算： . 思路点拨 参考(1)中规律分别表示出 ，再计算即可. 14 解题过程 ， ， ， . 15 （3）根据（1）（2）的计算，我们可以猜测下列结论： _ __________________（其中 均为正整数），请据此计算： . <m></m> 解题过程 . 16 思路点拨 根据(1)(2)的结论找出规律，再计算即可. 方法提炼 拆项是有理数求和运算中常用的技巧，拆项主要用到以 下关系式：（1） ；（2） - ；（3） ；（4） . 17 &4& 计算： （1） [答案] 原式 18 （2） . [答案] 原式 （3） [答案] 原式 19 &5& 在有理数范围内，我们定义三个数之间的运算法则“ ”： ，例如： 请解答下列问题： 20 （1）计算： 思路点拨 （2）把相应的值代入新运算中，结合有理数的相应的法则运算即可。 解题过程 原式 21 （2）计算： 思路点拨 见（1） 解题过程 原式 . 22 （3）在 ， ， ，0， ， ， ，1这8个数中，任意取三个数作 为 的值，进行“ ”运算，求出所有计算的结果中的最大值. 思路点拨 分 和 两种情况考虑，分别代入新运算中找出最大值，比较后即可得出结论. 23 解题过程 当 时， ， 要使其值最大，则 取1，且 ，结果为1. 当 时， ， 要使其值最大，则 取1和 ，结果为 . 综上所述，其最大值为 . 24 方法提炼 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则并能根据题中的新运算正确列出算式是解题的关键. 25 1.计算 的结果为( ) C A.-6 B.6 C.-2 D.2 2.若 成立，则“ ”中的运算符号是( ) B A. B.- C. D. 26 3.按如图所示的程序输入-2进行计算，输出的结果为( ) A A.4 B.5 C.6 D.7 27 4.现定义两种运算“ ”“ ”：对于任意两个整数， ，则 的值 是 ( ) B A.8 B.-4 C.2 D.-2 [解析] 根据题中的新定义得 . 故 选B. 28 5.计算： ____. 25 6.若 和 互为相反数， 和 互为倒数，则 的值是______. 2024 7.在算式 中的“ ”里，填入运算符号___（填“ ”“-”“ ” 或“ ”），可使算式的值最大. <m></m> 8.若字母 表示一个有理数，下列关于 的运算：① ；② ；③ ；④ 其中一定成立的有 _______（填序号）. ①② 29 9.计算： （1） [答案] 原式 （2） [答案] 原式 . 30 （3） [答案] 原式 . （4） [答案] 原式 . 31 （5） . [答案] 原式 32 10.设 ，利用等式 ，则与 最接近的正整数是( ) D A.18 B.20 C.24 D.25 33 [解析] 利用等式 ，代入原式， 得 ， 而 ，故选D. 34 11.“24点”游戏规则：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用 上面的数进行混合运算，使结果为24或-24，其中红色代表负数，黑色 代表正数， 分别代表1，11，12，13.例如小明同学抽取的4张牌 分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是他列出的算式为 现在小明同学想挑战“36点”，将这四张牌中 的任意一张换成其他牌，使结果为36或-36.下列方法：①将红桃4换成 黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成 黑桃 其中可行的有 ( ) D A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 35 [解析] ① ，符合题意. ② ，符合题意. ③ ，符合题意. ④ ，符 合题意. 故选D. 36 12.如图所示为一个“数值转换机”. （1）当小明输入4，-2这两个数时， 两次输出的结果依次为___，_ _. 1 <m></m> [解析] 由题意得，当输入4时， ，则输 出结果为 当输入 - 2时， ，则输出结果为 . 故答案为1； . 37 （2）有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出 的结果是2.聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______. 2或7 [解析] 当按照取绝对值，输出为2时，输入的数据是2或7；当按照取倒数，输出为2时，输入的数据在小于10的正整数范围内无解.故答案为2或7. 38 13.观察下列等式： ， ， ， ， ，根据你得出的规律写 出第 个等式为_ ___________________，并根据该规律计算： ___. <m></m> <m></m> 39 [解析] 第 个等式为 ， 故答案为 ； . 40 14.课堂上，老师给出1， ， ，-12这四个有理数，借助“ ”这 四个运算符号，引导学生们做如下练习： （1）计算： . [答案] 41 （2）对于式子： ，补全“ ”中的运算符号，使运 算结果为正整数，并写出运算过程. [答案] “ ”中的运算符号是“-”. ， 运算结果为正整数，符合题意，即“ ”中的运算符号为“-”. 42 15.观察下列算式，解答问题： ； ； ； 43 （1）请猜想 _ __________. <m></m> [解析] 观察已知算式可知 故答案为 44 （2）请猜想 _ ________. <m></m> [解析] 故答案为 45 （3）请利用上题猜想结果，计算 的值.（要有计算过程） [答案] 46 16.小颖认为“对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果 和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除”.她想探寻其中的道理，选 择了一个特殊的三位数123进行了如下尝试： . 能被3整除， 是整数 能被3整除. 47 （1）在373，456，511，728中，能被3整除的数是_____. 456 [解析] 不是3的倍数， 不能被3整除. 是3的倍数， 能被3整除. 不是3的倍数， 不能被3整除. 不是3的倍数， 不能被3整除.故答案为456. 48 （2）小颖的观点正确吗？请说明理由. [答案] 正确.理由如下：设这个三位数的百位数字为 ，十位数字为 ， 个位数字为 ， 则 ， 当 能被3整除时，该三位数就能被3整除. 49 （3）满足什么条件的三位数一定能被9整除？请说明理由. [答案] 当三位数的各个数位上的数字的和能被9整除时，这个三位数就 能被9整除.理由如下： 设这个三位数的百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ， 则 ， 当 能被9整除时，该三位数就能被9整除. 50 $$