第3章 实数 第9讲 实数与实数的运算 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第9讲 实数与实数的运算 1 2 1.定义:无限不循环小数叫做无理数.无理数和有理数统称为实数. 2.实数的分类:&1& 3.实数的运算法则和有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，还可以进行开方运算，其中0和正实数可以开平方. 3 1.无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根，如 ， ， 等. （2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003 （每两个3 之间依次多一个0）.（3）含有 的绝大部分数，如 注意：判断一个 数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果. 2.实数与数轴上的点是一一对应关系.任意一个实数都可以用数轴上的点 表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任意一点 表示的数，不是有理数，就是无理数. 4 3.实数的大小比较：（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的数反而小.（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大，在原点左侧，绝对值大的数反而小. 5 4.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用. 6 知识点一：实数的定义与分类 在实数 ， ，3.14159， ， 中，无理数有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思路点拨 根据无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，即可解答. 解题过程 在实数 ， ，3.14159， ， 中， 无理数有 ， ，共2个.故选B. 7 方法提炼 本题考查无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解题的关键. 8 把下列各数的序号填在相应的横线上：① ；② ； ③ ；④ ；⑤-3.14；⑥ ；⑦0；⑧ （每两个2之 间依次多1个8）. 整数：________.负分数：______.无理数：________. ①④⑦ ②⑤ ③⑥⑧ 9 知识点二：实数的运算 &4& 计算： （1） . 思路点拨 直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简. 解题过程 原式 （2） . 思路点拨 直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案。 解题过程 原式 - - . 10 （3） . 思路点拨 综合利用立方根、算术平方根、绝对值的性质进行化简得出答案。 解题过程 原式 . 11 （4） . 思路点拨 综合利用立方根、算术平方根、绝对值的性质进行化简得出答案。 解题过程 原式 . 12 方法提炼 本题考查化简绝对值、求一个数的算术平方根及立方根、实数的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键. 13 &5& 计算： （1） . [答案] 原式 （2） . [答案] 原式 14 知识点三：实数大小的估算及运算的简单应用 阅读下面的文字：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环 小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来. ， .于是可以用 来表示 的小数部分.又例如： ，即 ， 的 整数部分是2，小数部分是 .请解答下列问题： 15 （1） 的整数部分是___，小数部分是_ _________. 4 <m></m> . 思路点拨 估算得到所求整数部分与小数部分即可. 解题过程 ，即 ， 的整数部分是4，小数部分是 .故答案为4； . 16 （2）已知 是 的整数部分， 是其小数部分，求 的值. 思路点拨 根据题意确定出 与 的值，代入原式计算即可得到结果. 解题过程 . 的整数部分 ，小数部分 . . 17 方法提炼 本题考查估算无理数的大小以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 18 观察 的整数部分为2，小数部分为 . （1） 的整数部分是___， 的小数部分是_ ________. 6 <m></m> [解析] . 的整数部分是6， 的小数部分是 . 故答案为6； . 19 （2）小明想将一个长 、宽 的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为 ，面积之和为 ，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由. 20 [答案] 小明不能裁剪出这两个正方形.理由如下： 设小正方形的边长为 ，则大正方形的边长为 由题意得 ，解得 或 （舍）. 小正方形的边长为3 ，大正方形的边长为 ， . 小明不能裁剪出这两个正方形. 21 定义：把形如 与 （ 为有理数，且 为 正整数且开方开不尽）的两个数称为“共轭实数”. （1）请你列举一对“共轭实数”：_ ________________________________. <m></m> 与 <m></m> （答案不唯一） 思路点拨 根据题意写出一对“共轭实数”即可. 22 （2） 与 ______“共轭实数”； 与 ____“共轭实数”. （填“是”或“不是”） 不是 是 思路点拨 利用新定义判断即可. 23 （3）“共轭实数” ， 是有理数还是无理数？为什么？ 思路点拨 根据新定义得“共轭实数”是无理数， 解题过程 “共轭实数” ， 是无理数.理由如下： 是开方开不尽的数， 是无理数 是不等于0的有理数， 是无理数. 有理数 加上或减去一个无理数 ，其结果仍是无理数. “共轭实数” ， 是无理数. 24 （4）若有理数 满足 ，求 的值. 思路点拨 由 得 ，然后根据有 理数、无理数的概念即可得到答案. 解题过程 由 得 ， 为有理数， 为有理数. 必为有理数方能与 相等. 25 方法提炼 本题考查无理数的概念、新概念“共轭实数”以及实数的运算，准确理解新概念及无理数的定义是解题的关键. 26 1.如图，若数轴上的点 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数 是( ) D A. B. C. D. 27 2.若 ，则“ ”表示的运算符号是( ) D A. B.- C. D. 3.下列说法正确的是( ) C A.不带根号的数都是有理数 B.两个无理数的和还是无理数 C.平方根等于本身的数是0 D.立方根等于本身的数是0 4.设 为整数，且 ，则 的值为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 28 5.如图所示为一个数值转换器，当输入的 为81时，输出的 是( ) C A.9 B. C. D. 6.计算： ____. <m></m> 7.定义：不超过实数 的最大整数称为 的整数部分，记作 例如 ， ，按此规定， ___， _____. 1 <m></m> 29 8.用序号将下列各数填入相应的横线内. ① ；② ；③ ；④0；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧0. ； ⑨3.14. （1）整数：________. ③④⑥ （2）分数：________. ①⑧⑨ （3）无理数：________. ②⑤⑦ 30 9.计算： （1） . [答案] 原式 . （2） . [答案] 原式 . 31 （3） . [答案] 原式 . （4） . [答案] 原式 . 32 10.阅读下列解题过程： ； ； ； 33 （1）计算： __. <m></m> [解析] .故答案为 . 34 （2）按照你所发现的规律，猜想： ____.（ 为正整数） <m></m> [解析] 依据上述运算的规律可得： .故答案为 . 35 （3）计算： . [答案] 原式 . 36 11.下表记录了一些数的平方： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 256 259.2 1 262.4 4 265.6 9 268.9 6 272.2 5 275.5 6 278.8 9 282.2 4 285.6 1 289 37 下列结论：① ；②26896的平方根是 ；③ 的整数部分为4；④一定有3个整数的算术平方根在16.1，16. 2之间.其中正确的有 ( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [解析] 由表格知 ，故结论①正确.26896的平方根是 ，故结论②正确. 的整数部分为3，故结论③错误. 260，261，262的算术平方根在16.1，16.2之间，故结论④正确.故选C. 38 12.对于实数 ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， ，例如： 已知 , ， ，且 和 为两个连续的正 整数，则 的值为 ( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 39 [解析] , , ， ， . 是两个连续的正整数， 故选D. 40 13.已知数轴上有 三点，点 表示的数分别为-1，2， ， 且点 在点 的右侧，则点 关于点 的对称点表示的数为_ ________. <m></m> [解析] 点 的位置如图. . 点 关于点 的对称点在数轴上表示的数为 .故答案为 . 41 14.有理数与无理数之间的运算有着某种规律，例如：若 和 是有理 数， ，则 已知 和 是有理数. （1）若 ，则 的平方根为____. <m></m> [解析] ， 和 是有理数， 的平方根为 故答案为 42 （2）若 ，其中 是 的平方根，则 的 值为___. 4 [解析] ， 和 是有理数， ，且 . 是 的平方根， 故答案为4. 43 15.某地气象资料表明，该地雷雨持续的时间 可以用下面的公式来 估计： ，其中 是雷雨区域的直径. （1）如果雷雨区域的直径为 ，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ [答案] 根据 ，其中 . ＞ 这场雷雨大约能持续 44 （2）如果一场雷雨持续了 ，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？ [答案] 根据 ，其中 ＞ 这场雷雨区域的直径大约是 45 16.阅读下列材料： ，即 ， 的整数部分为1，小数部分为 . 请根据材料提示，进行解答： （1） 的整数部分是___，小数部分是_ ________. 3 <m></m> 46 （2）已知 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值. [答案] . . 47 （3）已知 ，其中 是整数，且 ，请直接写 出 的值. [答案] . 的整数部分是15，小数部分是 . ，其中 是整数，且 , 48 17.定义：如果一个数的平方等于-1，记为 ，那么这个数 就叫做虚数单位，我们把形如 （ 为实数）的数叫做复数，其中 叫做这个复数的实部， 叫做这个复数的虚部.复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似. 49 例如： ； ； ； 根据以上信息，解答下列问题： 50 （1）填空： _ ___. <m></m> [解析] . 故答案为 . 51 （2）计算： [答案] 52 （3）计算： [答案] ， ， ， . 53 $$