第3章 实数 第8讲 平方根与立方根 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第8讲 平方根与立方根 1 2 1.平方根的定义:如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫做 的平方 根，也叫做 的二次方根这就是说，如果 ，那么 叫做 的平方 根，表示为 ，其中 的正平方根 称为它的算术平方根. 2.立方根的定义:如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根 或三次方根，这就是说，如果 那么 叫做 的立方根，记作 . 3 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.一个正数 的正平方根表示为“ ”，负平方根表示为“ ”.正数 的正平方根，叫做 的算术平方根，记作 .0的算术平方根是0. 4 2.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数.任意数都有立方根.求一个数 的立方根的运算，叫做开立方，其中 叫做被开方数.注意：符号 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、0、负数都有唯一的立方根. 5 3.非负数 的算术平方根 有双重非负性：①被开方数 是非负数；②算术平方根 本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个非负数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找. 6 知识点一：平方根与开平方 &1& 求下列各数的平方根： （1）121. 解题过程 . （2）0.01. 解题过程 . 7 （3） . 解题过程 . （4） 解题过程 . 8 思路点拨 根据平方根的定义以及开平方与平方运算的互逆关系求解即可. 方法提炼 本题考查求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 9 &2& 计算： （1） . [答案] （2） . [答案] 10 （3） . [答案] （4） . [答案] . 11 知识点二：立方根与开立方 求下列式子中的 ： （1） 思路点拨 求出 ，再根据立方根的定义求出即可. 解题过程 ，即 12 （2） 思路点拨 直接根据立方根的定义开方得出一个方程，求方程的解即可. 解题过程 ，即 13 （3） 思路点拨 先把等式两边加27，再根据立方根的定义得出一个方程，求方程的解即可。 解题过程 ，即 . 14 方法提炼 本题考查立方根的定义，正确利用立方根的定义求出答案是解题的关键. 15 已知一个正数 的两个不同的平方根分别是 和 （1）求 和 的值. [答案] 由题意可知， ，解得 （2）求 的立方根. [答案] 的立方根是3. 16 知识点三：开方运算 &5& 根据下表回答下列问题： 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.4 1 295.8 4 299.2 9 302.7 6 306.2 5 309.7 6 313.2 9 316.8 4 320.4 1 324 （1）316.84的平方根是_____. 17.8 解题过程 的平方根是 故答案为 17 （2） _____. 17.3 解题过程 故答案为17.3. （3） _____. 171 解题过程 故答案为171. 18 （4）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数 有___个. 4 解题过程 ， ，又 介于17.6与17.7之间， 整数 的可能值为 满足条件的整数 有4个.故答案为4. 19 （5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论. [答案] 解题过程结论：当 时，随着 的增大， 也增大.（答案不唯一） 20 思路点拨 根据表格中的数据关系及规律，结合平方根、算术平方根的定义回答问题即可. 方法提炼 本题考查平方根和算术平方根的定义以及开方运算的规律，正确利用平方根和算术平方根的定义计算是解题的关键. 21 &6& 观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决问题： ， ， ， ， [答案] 由规律得，被开方数的小数点向右（或向左）移动 位，则算 术平方根的小数点向右（或向左）移动 位. （1）已知 ，求 的值. [答案] 22 （2）已知 ， ，求 的值. [答案] （3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知 ， ，用含 的式子表示 [答案] 类比求算术平方根的规律，可得：被开方数的小数点向右（或 向左）移动 位，则立方根的小数点向右（或向左）移动 位. ，即 23 如图，把图1中两个小正方形纸 片分别沿对角线剪开，拼成一个面 积为 的大正方形纸片（如图 2）. 24 （1）原小正方形的边长为___ 2 思路点拨 根据大正方形纸片的面积求出小正方形纸片的面积，再进一步求出小正方形纸片的边长. 解题过程 设小正方形的边长为 ，则 或 （舍去）. 小正方形的边长为 故答案为2. 25 （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形 的长、宽之比为 ，且面积为 ？若能，试求出剪出的长方形纸 片的长、宽；若不能，试说明理由. 思路点拨 根据剪出的长方形面积为 ，列方程并用开平方的方法求出长方形的长，然后与大正方形纸片的边长比较进行判断即可， 26 解题过程 不能剪出符合要求的长方形纸片.理由如下： 设剪出来的长方形长为 ，宽为 由题意得 或 （舍去） 长方形的长为 大长方形的边长为 ， ， 不能剪出 符合要求的长方形纸片. 27 （3）如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度；若不能，请说明理由. 思路点拨 根据大正方形的面积等于5个小正方形的面积和确定大正方形的边长，然后根据图3的纸片确定大正方形即可。 28 解题过程 能.画出示意图如图4，共有5个小正方形，那么组成的大正方 形的面积为5，边长为 . 29 方法提炼 本题考查开平方运算在图形面积中的应用，首先需要掌握正方形的面积求法并利用面积关系得到简单方程，再利用开方运算求出正方形的边长. 30 1.用式子表示“4的平方根是 ”，正确的是( ) D A. B. C. D. 2.下列各式中没有算术平方根的是( ) D A. B.0 C. D. 31 3.已知一个数的算术平方根是 ，则比这个数大2的数是( ) B A. B. C. -2 D. 4.下列说法不正确的是( ) C A. 是0.09的平方根，即 B. C. 的平方根是 D.存在立方根和平方根相等的数 32 5.若 ，则 的值为( ) D A.0 B.-2 C.0或2 D.0或-2 6.若一个立方体的体积是 ，则这个立方体的棱长是___ 6 7.小华编写了一个程序：输入 立方根 算术平方根 输出 若 ，则 ____. 64 33 8.若 界于相邻的整数 之间，则 的算术平方根为___. 3 9.观察下列计算过程：因为 ，所以 ，同样，因为 ，所以 ， ，由此猜想 _______. 111111 34 10.求下列各式的值： （1） . [答案] . （2） . [答案] . 35 （3） . [答案] . （4） . [答案] . （5） . [答案] 36 11.请根据如图所示的对话内容回答下列问题. （1）求该魔方的棱长. [答案] 设魔方的棱长为 由题意得 ，解得 该魔方的棱长为 （2）求该长方体纸盒的长. [答案] 设该长方体纸盒的长为 由题意得 ，解得 该长方体纸盒的长为 37 12.已知 ， ，则 ( ) D A.0.00607 B.0.0607 C.0.001921 D.0.01921 38 13.设 ， ， ， ， ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 39 [解析] ， ， ， ， ， ， 40 .故选C. 14.若 ，则 ______.（用含 的式子表示） <m></m> [解析] ， ， 故答案为 42 15.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若 其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和 谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称 为“最大算术平方根”.例如1，4，9这三个数， ， ， ，其结果都是整数，所以1，4，9三个数是“和 谐组合”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6.若2，8，1 8三个数是“和谐组合”，则其中“最小算术平方根”与“最大算术平方根” 的和是____. 16 43 [解析] 三个数是“和谐组合”，其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 “最小算术平方根”与“最大算术平方根”的和是 故答案为16. 44 16.如图，用两个面积为 的小正方形纸 片剪拼成一个大正方形. （1）求拼成的大正方形纸片的边长. [答案] 大正方形的边长为 45 （2）若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 且面积为 ？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，请说明理由. 46 [答案] 能剪出符合题意的长方形纸片. 设长方形纸片的长为 ，宽为 由题意得 ，解得 或 （舍去）. 长方形的长为 ，宽为 ＜ 沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出 的长方形纸片的长、宽之比为3 2，且面积为 47 17.阅读下列材料： 已知59319的立方根是正整数，要得到 的结果，可以按如下步 骤思考： 第一步：确定 的位数，因为 ，而 1000＜59319＜1000000，所以10＜ ＜100，由此得 是 两位数. 48 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数字是9，而只有9的立 方的个位上的数字是9，所以 的个位上的数字是9. 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为 ，而27＜59＜64，所以 的十位上的数字是3. 综合以上可得， 请根据上述内容，完成以下问题： 49 （1）若 为正整数，它的个位上的数字是 的个位上的数字是 ， 请将下表填写完整. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 7 ___ 5 ___ 3 ___ 9 4 6 2 [解析] 故 答案为4；6；2. 50 （2）已知262144，474552都是整数的立方，则 ____， ____. 64 7.8 [解析] ①要得到 的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定 的位数， ， 而 ， .由此得 是两位数. 51 第二步：确定个位数字， 的个位上的数字是4，而只有4的立 方的个位上的数字是4， 的个位上的数字是4. 第三步：确定十位数字，划去262144后面的三位144得到 ，而 ， 的十位上的数字是6. 52 综合以上可得， ②要得到 的结果，即要得到 的结果，也就是 ，我们可以先求出 的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定 的位数， ， 而 ， ，由此得 是两位数. 53 第二步：确定个位数字， 的个位上的数字是2，而只有8的立 方的个位上的数字是2， 的个位上的数字是8. 第三步：确定十位数字，划去474552后面的三位552得到 ，而 ， 的十位上的数字是7. 54 综合以上可得， ， 故答案为64；7.8. 55 （3）已知71289是某正整数 的平方，则 _____. 267 [解析] 已知71289的算术平方根是正整数，要得到 的结果，可 以按如下步骤思考： 第一步：确定 的位数， ， 而 ， ，由此得 是三位数. 56 第二步：确定个位数字， 的个位上的数字是9，而3或7的平 方的个位上的数字是9， 的个位上的数字是3或7. 第三步：确定百位和十位数字，划去71289后面的两位89得到712， ，而 的 百位、十位上的数字分别为2和6. 故答案为267. 57 $$