10.4 线段的垂直平分线 课件 2024—2025学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

10.4线段的垂直平分线 它们有什么共同的特点？ 温故知新 导入新课 1.轴对称图形具有轴对称的特点而显得异常美丽.那什么样的图形是轴对称图形呢? 如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 1、画一条线段BC,对折BC使点B、C重合，折痕与BC的交点为D. 画一画、想一想 2、想一想:BD=CD吗?折痕与直线所成的两个角是多少度?折痕(即线段的对称轴)与线段有什么关系? 垂 直 平 分 证明 B C l D 新知探究 A 通过刚才的动画对垂直平分线有了一个直观感受，下面给出数学证明。 垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线 动手操作 怎样画出线段的垂直平分线？ 方法①：折纸 方法②：过中点画垂线 动手操作 怎样画出线段的垂直平分线？ A B 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A，B为圆心, 大于 AB长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 过点C,D作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请与同伴交流CD为什么是AB的垂直平分线？ 方法③：尺规作图 动手操作 画一画、想一想 1、请大家两个人为一组，一个人画一条线段AB另一人作出这条线段的垂直平分线 2、在线段AB的垂直平分线上任取一点P，分别连结PA、PB，你发现连结的这两条线段有什么关系？ 3、换个点再试一试？通过刚才的探究，你有猜想，如何验证？ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 探究发现 线段垂直平分线的性质 已知：如图，MN⊥AB于点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点。试说明：PA=PB △APC≌△BPC 边: 角: 边: ∠ACP=∠BCP AC=BC 分析：要得到AP=BP PC=PC C M A B N P （1）如何说明PA=PB？ 思考 （2）请你书写过程？ 归纳总结 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 几何语言 C M A B N P ∵MN⊥AB，AC=BC，点P在直线MN上 ∴AP=BP 点在线段垂直平分线上 距离（线段）相等 【用途】利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可以解决线段相等的问题。 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D A B C E D （1）若∠A = 40°，求∠DBC的度数； （2）若△DBC的周长为15cm，BC=5cm， 求AC的长。 解：(1)∵AB=AC,∠A = 40° ∴∠C=∠ABC=（180°-40°） 2=70° ∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∴∠A =∠ABD =40° ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30° (2)∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∴AD+CD=BD+CD=AC ∵△DBC的周长为15cm ，BC=5cm ∴BD+CD+BC=15 ∴BD+CD=AC=10cm A B C E D 探究发现 线段垂直平分线的判定 问题1：请你指出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的条件和结论。 条件：点在线段的垂直平分线上 结论：点到线段两端点的距离相等 问题2：请你写出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题。 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 问题3：这个命题是真命题吗？若是，请你证明，若不是，请举反例。 探究发现 线段垂直平分线的判定 已知：如图，QA=QB 试说明：点Q在线段AB的垂直平分线上 Q A B M N C 解：过点Q作MN⊥AB于点C 在Rt△AQC和Rt△BQC中 ∴∠QCA=∠QCB=90° AQ=BQ（已知） QC=QC（公共边） ∴Rt△AQC≌Rt△BQC（HL） ∴AC=BC 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 作垂直， 证中点 取中点，证垂直 归纳总结 线段垂直平分线的判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 几何语言 ∴ MN⊥AB，AC=BC ∵ AQ=BQ 点到线段两端点距离相等 点在线段的垂直平分线上 【用途】利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可以解决点的位置问题。 Q A B M N C 1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( ) A．80° 　　 B．70° C．60° D．50° C B A D E C 2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G. 求证：EG＝EC. F A B C E G D 证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴EG＝EC. ∴△DEG≌△AEC (ASA). ∴∠CAE＝∠CDF. ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. 又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°. ∴ AE＝DE. ∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°. ∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. F A B C E G D 作法：(1) 作直线 l. 3. 已知：线段 a. 求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a. E D l A B a C N M a a (5) 连接 AB. △ABC 就是所求作的三角形. (4) 在射线 CE 上截取 CA = a， 在射线 CM 上截取 CB = a. (3) 作线段 DE 的垂直平分线 MN 交 DE 于 C. (2) 在直线 l 上任取一条线段 DE. $$