22.1.2 二次函数y＝ ax²的图象和性质 课件 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 第2课 二次函数y＝ ax2的图象和性质 　　(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条过点(0，b)的 ⁠ ．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条过 ⁠的直 线． 　　(2)描点法画一次函数的步骤为 、 、 ⁠． 直线 原点 列表 描点 连线 　　知识点 二次函数y＝ax2的图象和性质 　　1． 例 (人教九上P30【例1】改编)先填表，然后在如图的平面直角坐 标系中画出下列函数的图象： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝ x2 … 2 ​ 0 ​ 2 … y＝2x2 … 8 2 0 2 8 … 4 1 0 1 4 2 ​ 0 ​ 2 8 2 0 2 8 　　观察图象填空： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝x2 向上 y轴 (0，0) y＝ x2 向上 y轴 (0，0) y＝2x2 向上 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，0) 　　思考：(1)顶点是抛物线的最 ⁠点． 　　(2)a越 ，抛物线y＝ax2(a＞0)的开口越小． 　　(3)当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大 而 ⁠． 低 大 减小 增大 　　2． 变式 先填表，然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的 图象： x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … y＝－ x2 … －2 － 0 － －2 … y＝－ 2x2 … －8 －2 0 －2 －8 … －4 －1 0 －1 －4 －2 － 0 － －2 －8 －2 0 －2 －8 　　观察图象填空： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝－x2 向下 y轴 (0，0) y＝－ x2 向下 y轴 (0，0) y＝－2x2 向下 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 　　思考：(1)顶点是抛物线的最 ⁠点． 　　(2)a越 ，抛物线y＝ax2(a＜0)的开口越小． 　　(3)当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大 而 ⁠． 高 小 增大 减小 　　 二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 开口 开口向 ⁠ 开口向 ⁠ |a|越大，开口越小 对称轴 y轴(x＝0) 顶点坐标 (0，0) 上 下 　　 最值 当x＝0时，y有最 值 ⁠ 当x＝0时，y有最 ⁠ 值 ⁠ 增减性 当x＜0时，y随x的增大而 ⁠ ⁠； 当x＞0时，y随x的增大而 ⁠ ⁠ 当x＜0时，y随x的增大 而 ⁠； 当x＞0时，y随x的增大 而 ⁠ 小 0 大 0 减 小 增 大 增大 减小 　　1． (人教九上P32练习改编)二次函数y＝3x2的图象是一条 ⁠ ，它的开口向 ，顶点坐标是 ；对称轴是 ⁠ ⁠，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ⁠． 抛物 线 上 (0，0) y 轴 减小 增大 　　2． 二次函数y＝mx2的图象如图所示，则： 　　(1)m 0； 　　(2)开口向 ⁠； 　　(3)对称轴是 ⁠； 　　(4)顶点坐标是 ⁠； 　　(5)当x＝ 时，y取最大值，即为 ⁠； ＜ 下 y轴 (0，0) 0 0 　　(6)当x＞0时，y随x的增大而 ⁠． 减小 　　3． (2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的 图象上，则(　A　) A． y3>y2>y1 B． y2>y1>y3 C． y1>y3>y2 D． y3>y1>y2 A 　　4． (易错题)已知抛物线y＝2x2，当－1≤x≤2时，y的取值范围是 (　B　) A． －2≤y≤8 B． 0≤y≤8 C． 2≤y≤8 D． 0≤y≤2 B 　　5． (拓展题)如图，已知抛物线y＝ax2经过点A(2，－2)． 　　(1)这个函数的解析式为 ⁠； y＝－ x2 提示：∵抛物线经过点A(2，－2)，∴4a＝－2.解得a＝－. ∴这个抛物线的解析式为y＝－x2. 　　(2)抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ⁠， △AOB的面积是 ⁠； (－2，－2) 4 提示：∵点A(2，－2)， ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(－2，－2)． ∵点A(2，－2)，B(－2，－2)，∴AB＝2－(－2)＝2＋2＝4. ∴S△AOB＝×4×2＝4. 　　(3)抛物线上一点C满足S△ABC＝ S△AOB，求点C的坐标． 　　解：假设存在点C，且点C到AB的距离为h，则S△ABC＝ AB·h＝ 2h. 　　∵S△ABC＝ S△AOB，∴2h＝ ×4. 　　解得h＝1. 　　①当点C在AB下方时，点C的纵坐标为－2－1＝－3， 　　此时－ x2＝－3.解得x1＝ ，x2＝－ . 　　∴点C的坐标为(，－3)或(－ ，－3)． 　　②当点C在AB上方时，点C的纵坐标为－2＋1＝－1， 　　此时－ x2＝－1.解得x3＝ ，x4＝－ . 　　∴点C的坐标为(，－1)或(－ ，－1)． 　　综上所述，点C的坐标为(，－3)或(－ ，－3)或(，－1)或(－ ，－1)． $$