精品解析：甘肃省天水市武山县百泉初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

武山县百泉初级中学2024—2025学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 6. 若等式成立，则（ ） A. B. C. D. x为一切实数 7. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 9. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 10. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则____________． 13. 已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为__________． 14. 已知，则的值为______． 15. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 16. 超市搞促销活动，将某商品经过两次降价，售价由86元降至52元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程为_________． 三、解答题（10小题，共96分） 17. 计算： （1） （2） 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． （1）画出向左平移4个单位长度的； （2）以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 21. 已知，，求的值． 22. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 23. 如图，点在的边上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，点D、E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 26. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武山县百泉初级中学2024—2025学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若是一元二次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入进行计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：使一元二次方程两边相等的未知数的值．据此解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 3. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式．判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，比较被开方数是否相同．据此即可求解． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 5. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 6. 若等式成立，则（ ） A. B. C. D. x为一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组．根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且等式两边需同时成立，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B． 7. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过移项、配方将方程转化为完全平方形式，再对比选项即可得出答案． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ∴． 故选：C 8. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 9. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 10. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 12. 关于x的方程是一元二次方程，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 13. 已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为__________． 【答案】4：9． 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据题意得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 16. 超市搞促销活动，将某商品经过两次降价，售价由86元降至52元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为则经过两次变化后的数量关系为． 【详解】解：第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，则列出的方程是． 故答案为：． 三、解答题（10小题，共96分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的除法，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘法，平方差公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）先把两边都除以3，再用直接开平方法求解； （2）整理后用求根公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴或 ∴ 【小问4详解】 ∴ ∴ ∴或 ∴ 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里面的，再算除法，把分式化为最简分式，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． （1）画出向左平移4个单位长度的； （2）以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，位似作图． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 先将化为，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 将，代入得： 原式 ． 22. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解： 对于方程， 其中，，         ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 23. 如图，点在的边上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明： ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ． 24. 如图，在中，点D、E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）由四边形是菱形，，推出，是等边三角形得到，推出，则． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 又菱形中，， 是等边三角形， ， ∴， ∴． 25. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】（1）降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用. （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 【小问2详解】 解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 26. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】（1）当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）当移动3秒时，四边形的面积为，理由： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $