第09讲 整式 （知识清单+11大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

第09讲 整式 （知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探索 题型十一 图形类规律探索 知识清单 知识点1．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点2．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点3．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 题型练习 【题型一】单项式的判断 【例1】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）下列各式不是单项式的是（    ） A． B．a C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列代数式8，中，单项式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）代数式：，，，0，，其中单项式的个数为 ． 3．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 【题型二】单项式的系数、次数 【例2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）单项式的次数为（　　） A．4 B．5 C．6 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，3 B．，4 C．，4 D．，4 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）多项式的次数是 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： (1)若三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为________； (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为，，，则这个长方形体包装盒的体积为________； (3)有理数的相反数是________； (4)《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套）．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了张这种版式的邮票作为奖品，共花费________元； (5)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为，有五种通用尺度（即尺寸规格）．若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为________． 【题型三】写出满足某些特征的单项式 【例3】（七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）写出一个次数为3、含两个字母的单项式 ． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【题型四】单项式规律题 【例4】（24-25七年级上·云南昭通·期末）一列单项式按以下规律排列：3，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)、、、，______； (2)试写出第2024个单项式； (3)试写出第个单项式． 【题型五】多项式的判断 【例5】（24-25七年级上·广东河源·期末）在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）在学习数与代数领域知识时，小明查阅资料了解到对代数式做如图所示的分类，下列选项符合▲的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 3．（七年级上·陕西西安·期中）已知下面6个式子：，，，，，．回答下列问题： (1)上面式子中是单项式的有 ，是多项式的有 ； (2)多项式中次数最高的是 ，它是 次 项式． 【题型六】多项式的项、项数或次数 【例6】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）多项式是（  ） A．四次三项式 B．三次五项式 C．九次三项式 D．五次三项式 【举一反三】 1．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知整式． (1)若该整式的次数是1，求a的值并写出常数项； (2)若该整式的常数项是0，求的值． 【题型七】多项式系数、指数中字母求值 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于x的二次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川德阳·期中）已知是关于x，y的三次二项式，那么的值是(    ) A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知多项式是关于x的二次三项式，求m的值． 【题型八】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例8】（24-25七年级上·重庆万州·期末）把多项式按的降幂排列后，它的第三项为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川乐山·期末）多项式按字母的降幂排列是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知多项式． (1)把多项式按降幂排列； (2)把多项式按降幂排列． 【题型九】整式的判断 【例9】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）观察下列各式：x，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在式子，，，，中，整式有 个． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【题型十】数字类规律探索 【例10】（22-23七年级上·广西河池·期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…；（2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2022 D．2023 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）某种细胞从今天8点开始分裂成三个，9点时分裂成9个并同时死去2个，10点时分裂成21个并同时死去两个，11点时分裂成57个并同时死去两个，按此规律，下午2点时细胞成活的个数是 ． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）观察下列各式： ； ； ； ；…． (1)根据规律计算的值为______； (2)计算的值． 【题型十一】图形类规律探索 【例11】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用棋子摆出一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第100个图形里棋子的个数为（    ） A．302 B．303 C．304 D．305 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（   ）    A．根 B．根 C．根 D．根 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中共有6个花盆，第2个图案中共有12个花盆，第3个图案中共有20个花盆……．以此类推，第10个图案中花盆的个数为 ． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形 (1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________； (2)求第2024个图形中三角形的个数． 好题必刷 一、单选题 1．的系数与次数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．关于单项式﹣，下列说法中正确的是（　　） A．系数是﹣ B．次数是4 C．系数是﹣ D．次数是5 3．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．常数项是 C．四次项的系数是5 D．按y的降幂排列为 4．如图所示，长方形的长是，宽是，将长方形的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的四边形面积记作，以此类推，则可用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 5．多项式是关于，的四次二项式，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第7个单项式是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是0 C．是二次三项式 D．单项式的次数是2，系数为 8．观察下列等式：，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 9．下列图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中，第1个图中一共有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，…，按照此规律第5个图中正方形的个数为（    ） A．30 B．46 C．55 D．60 10．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串2024的和为． 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 11．多项式按字母的降幂排列是 ． 12．次数最高项是 ，项数是 ，常数项是 ． 13．单项式的系数是 ． 14．观察这些数的规律， 3，-8，15，-24，35，…则第10个数是 ． 15．多项式有 项，其中次数最高项是 ，常数项是 ． 16．一组按规律排列的式子：，，，，… …，则第6个式子是 ． 17．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第一个图案为1个正方形和1个等边三角形，第二个图案为2个正方形和1个等边三角形，第三个图案为3个正方形和1个等边三角形……．依照此规律排列下去，则第六个图案用的木棍根数是 ． 18．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得；……若，则的值为 ；若，则的值为 ． 三、解答题 19．已知多项式． (1)把多项式按降幂排列； (2)把多项式按降幂排列． 20．把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 21．已知是关于，的四次三项式，写出该多项式，并指出该多项式的项． 22．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 23．有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题： (1)第七个数是______，第n个数可表示为________； (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 24．观察下面三行数： ② ③ (1)请根据第①行数的排列规律，表示第①行中的第n个数． (2)请根据第②③行数与第①行数的关系，分别表示出第②③行数中的第n个数． (3)取每行数的第十个数，计算这三个数的和． 25．观察下面的三行单项式： ……① ……② ……③ （1）根据你发现的规律，第①行第8个单项式为__________． （2）第②行第8个单项式为_________．第③行第8个单项式为_________． （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当时的值． 26．观察以下等式： ； ； ； ， (1)请写出第个等式：________________； (2)根据规律，用含字母的式子表示第个等式：________________； (3)计算：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 整式 （知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 写出满足某些特征的单项式 题型四 单项式规律题 题型五 多项式的判断 题型六 多项式的项、项数或次数 题型七 多项式系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型九 整式的判断 题型十 数字类规律探索 题型十一 图形类规律探索 知识清单 知识点1．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点2．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点3．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 题型练习 【题型一】单项式的判断 【例1】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）下列各式不是单项式的是（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】此题考查的是单项式，掌握其定义是解决此题的关键．根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，找出单项式即可． 【详解】解：因为式子的分母含有字母， 所以式子不是单项式． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列代数式8，中，单项式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可． 【详解】在代数式8，中，单项式有8，，，，共5个， 故选：C 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）代数式：，，，0，，其中单项式的个数为 ． 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】解：式子，，0，符合单项式的定义，是单项式； 式子，分母中含有字母，不是单项式； 式子，不是单项式． 故单项式有3个． 故答案为：3． 3．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 【答案】（1）③⑤⑦；①②；（2）是三次四项式．（答案不唯一） 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． （1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次四项式的定义即可求解 【详解】解：（1）单项式有：③；⑤2；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）选①⑤， 则是三次四项式．（答案不唯一）． 【题型二】单项式的系数、次数 【例2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）单项式的次数为（　　） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数，单项式的次数是所有字母的指数之和，与系数无关．根据单项式次数的求解方法进行求解即可得答案． 【详解】解：所有字母的指数之和为． 因此，该单项式的次数为4． 故选A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．，3 B．，4 C．，4 D．，4 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，根据单项式的数字因数是单项式的系数，字母的次数之和为单项式的次数，进行作答即可． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是，3， 故选：A 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）多项式的次数是 【答案】2 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数是2， 故答案为；2． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： (1)若三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为________； (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为，，，则这个长方形体包装盒的体积为________； (3)有理数的相反数是________； (4)《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套）．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了张这种版式的邮票作为奖品，共花费________元； (5)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为，有五种通用尺度（即尺寸规格）．若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查了单项式，以及列代数式，列出正确的代数式是解本题的关键．各项列出代数式，判断单项式的系数与次数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，它的系数是，次数是2； （2）解：由题意得，，它的系数是1，次数是3； （3）解：由题意得，，它的系数是，次数是1； （4）解：由题意得，，它的系数是12，次数是1； （5）解：由题意得，，它的系数是，次数是2． 【题型三】写出满足某些特征的单项式 【例3】（七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）写出一个次数为3、含两个字母的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式，熟知单项式的定义、单项式次数的定义是解题的关键．根据单项式的次数的定义解答即可． 【详解】解：单项式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式定义：数与字母的积叫单项式，根据题意，结合单项式定义即可得到答案，熟记单项式定义是解决问题的关键． 【详解】解：由单项式定义可得，该单项式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 【题型四】单项式规律题 【例4】（24-25七年级上·云南昭通·期末）一列单项式按以下规律排列：3，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，奇数位为正，偶数位为负，且第个单项式的绝对值为，进行求解即可． 【详解】解：，，， ∴第个单项式是； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了数字变化类和单项式，根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答，理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键． 【详解】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， ； ； ； ； ； 第个单项式的系数为：， 第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11，， 单项式的次数为：， 第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，…第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查单项式规律探索，根据分子，…，可得出第n个单项式的分子，由分母3，5，9，17，…，可得出第n个单项式的分母，由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得出符号规律，即可求出结果． 【详解】解：由分子，…，可得第n个单项式的分子为； 由分母3，5，9，17，…，可得第n个单项式的分母为； 由符号是奇数个单项式为正，偶数个单项式为负，可得符号规律为， 所以第n个单项式是， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)、、、，______； (2)试写出第2024个单项式； (3)试写出第个单项式． 【答案】(1) (2) (3)第个单项式为： 【知识点】单项式规律题 【分析】此题考查了找单项式规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，字母是a，a的指数比前面那个单项式的次数大的值，系数比前面那个单项式系数的绝对值大，奇数为正，偶数为负；由此可解出本题； （2）根据观察出的规律可以得到第2024个单项式即可； （3）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n的值；由此可解出本题． 【详解】（1）解：根据观察发现后面的单项式为：； （2）解：第2024个单项式为：； （3）解：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n， 故第n个单项式为． 【题型五】多项式的判断 【例5】（24-25七年级上·广东河源·期末）在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）在学习数与代数领域知识时，小明查阅资料了解到对代数式做如图所示的分类，下列选项符合▲的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可． 【详解】A．是分式，故A选项不符合题意； B．是多项式，故B选项符合题意； C．是无理式，故C选项不符合题意； D．是单项式，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 【答案】3 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 3．（七年级上·陕西西安·期中）已知下面6个式子：，，，，，．回答下列问题： (1)上面式子中是单项式的有 ，是多项式的有 ； (2)多项式中次数最高的是 ，它是 次 项式． 【答案】(1)，，；，， (2)，四，三 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、多项式的项、项数或次数 【分析】（1）根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； （2）根据多项式相关概念：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，多项式中含有一个单项式就有几项，据此解答即可． 【详解】（1）解：题目中是单项式的有：，，； 是多项式的有：，，； 故答案为：，，；，，； （2）解：多项式中次数最高的是，它是4次3项式， 故答案为：，四，三． 【点睛】本题考查了单项式和多项式的有关定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 【题型六】多项式的项、项数或次数 【例6】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）多项式是（  ） A．四次三项式 B．三次五项式 C．九次三项式 D．五次三项式 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数和项的定义，解题的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数． 根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【详解】解：根据多项式的定义可知，多项式是五次三项式， 故选D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项、项数或次数，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据定义判定即可． 【详解】解：A、是二次三项式，故该选项符合题意； B、不是整式，故该选项不符合题意； C、是二次三项式，不是四次三项式，故该选项不符合题意； D、是三次三项式，故该选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ． 【答案】 4 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式、多项式的系数，次数是关键． 在多项式中，最高次项的次数即为多项式的次数，数字因数即为该项的系数，由此即可求解． 【详解】解：多项式中，的次数是次，的次数是次， ∴多项式的次数是， 三次项系数是， 故答案为：①；② ． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知整式． (1)若该整式的次数是1，求a的值并写出常数项； (2)若该整式的常数项是0，求的值． 【答案】(1)，常数项为 (2) 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数，常数项，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为整式的次数是1，则，即可作答． （2）因为整式的常数项为0，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵整式的次数是1， ∴， 即， 故常数项为； （2）解：∵整式的常数项为0， 则， 即． 【题型七】多项式系数、指数中字母求值 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于x的二次三项式，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式．正确利用多项式次数与系数的定义得出m的值是解题关键． 直接利用二次三项式的次数与项数的定义列方程，求出m的值． 【详解】由题意知且， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川德阳·期中）已知是关于x，y的三次二项式，那么的值是(    ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题主要考查了多项式．利用多项式的次数与项数得到，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的三次二项式 ∴ ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的概念，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的有关概念．根据九次二项式的定义可得，且，计算即可． 【详解】解：由题可知：， 解得∶ ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知多项式是关于x的二次三项式，求m的值． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查多项式的项及次数，一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数是几就叫做几次多项式．根据二次三项式的定义即可得到． 【详解】解：因为多项式是关于x的二次三项式， 所以，且， 所以． 【题型八】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例8】（24-25七年级上·重庆万州·期末）把多项式按的降幂排列后，它的第三项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，把多项式降幂排列就是把多项式的项按照次数从大到小的顺序排列，解决本题的关键是把多项式按的降幂排列，然后再找到第三项即可． 【详解】解：把多项式按的降幂排列， 得到：， 它的第三项为． 故选：C ． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川乐山·期末）多项式按字母的降幂排列是 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握降幂排列的定义：按字母的指数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列是． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知多项式． (1)把多项式按降幂排列； (2)把多项式按降幂排列． 【答案】(1) (2) 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． （1）按照a的指数从大到小排列即可； （2）按照b的指数从大到小排列即可； 【详解】（1）解：多项式按a的降幂排列是； （2）解：多项式按b的降幂排列的是． 【题型九】整式的判断 【例9】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）观察下列各式：x，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的判断，根据定义逐项判断即可．单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：x，，都是单项式， ，都是多项式， ∴整式有5个， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】此题主要考查了整式的定义，正确把握定义是解题关键．利用整式包括单项式和多项式求解即可． 【详解】解：下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥ 其中整式有①；②；③；⑤；共4个． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在式子，，，，中，整式有 个． 【答案】3 【知识点】整式的判断 【分析】此题主要考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：式子，，，，中，整式有：，，，共3个． 故答案为：3． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【答案】见解析 【知识点】整式的判断、多项式的判断、单项式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式以及单项式的相关概念．单项式和多项式统称为整式，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式．据此即可求解； 【详解】解：单项式：，，，m； 多项式：，，； 整式：，，，，，，m． 【题型十】数字类规律探索 【例10】（22-23七年级上·广西河池·期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题干，易得：，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…；（2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2022 D．2023 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，由已知等式得到，，进行求解即可，解题的关键是得到相应的规律． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）某种细胞从今天8点开始分裂成三个，9点时分裂成9个并同时死去2个，10点时分裂成21个并同时死去两个，11点时分裂成57个并同时死去两个，按此规律，下午2点时细胞成活的个数是 ． 【答案】1459 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题目描述进行探索解答即可． 本题考查了规律性问题，弄清题意，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：8点时即0小时有3个， 9点时即1小时后分成个，成活个； 10点时即2小时后分成个，成活个， 11点时即3小时后分成个，成活个， 12点时即4小时后分成个，成活个， 下午1点即5小时后分成个，成活个， 下午2点即6小时后分成个，成活个， 故答案为：1459． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）观察下列各式： ； ； ； ；…． (1)根据规律计算的值为______； (2)计算的值． 【答案】(1)55 (2) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是在于观察出分子的变化情况． （1）观察不难发现，从1开始的平方数的和，分母都是6，分子为最后一个数与比它大1的数的积再乘以比这个数的2倍大1的数的积； （2）将原式写成，再根据规律求解即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴； 故答案为：55； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 【题型十一】图形类规律探索 【例11】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用棋子摆出一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第100个图形里棋子的个数为（    ） A．302 B．303 C．304 D．305 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型中的图形变化问题，首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．探究规律后，利用规律解决问题即可． 【详解】解：第一个图形有5个棋子， 第二个图形有8个棋子， 第三个图形有11个棋子， 那么第个图形一共有个棋子 当时，个 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（   ）    A．根 B．根 C．根 D．根 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查了图形的变化类，读懂题意，找出规律是解题的关键． 根据摆一个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），然后当时代入即可． 【详解】解：摆一个六边形需要木棍（根）， 摆个六边形需要木棍（根）， 摆个六边形需要木棍（根）， ， ∴摆个六边形需要木棍（根）， ∴当时，需要木棍（根）， 故选：． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中共有6个花盆，第2个图案中共有12个花盆，第3个图案中共有20个花盆……．以此类推，第10个图案中花盆的个数为 ． 【答案】132 【知识点】图形类规律探索 【分析】此题考查的是探索规律题，找出变化规律并归纳公式是解决此题的关键． 据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，即可求出结论． 【详解】解：第1个图形一共有个花盆； 第2个图形一共有个花盆； 第3个图形一共有个花盆； ∴第n个图形一共有个花盆； ∴第10个图形中花盆的个数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形 (1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________； (2)求第2024个图形中三角形的个数． 【答案】(1)14；； (2)第2024个图形中三角形的个数为6074个． 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并从中发现规律，然后利用发现的规律解题即可． （1）通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （2）根据（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形的三角形个数为； 第2个图形的三角形的个数为； 第3个图形的三角形的个数为； ∴第4个图形的三角形的个数为； …； ∴第n个图形的三角形的个数为． 故答案为：14；； （2）解：当时，． 好题必刷 一、单选题 1．的系数与次数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的概念，掌握定义是解题的关键．单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．利用单项式系数和次数的概念求解即可． 【详解】解：的系数与次数分别为，， 故选：B． 2．关于单项式﹣，下列说法中正确的是（　　） A．系数是﹣ B．次数是4 C．系数是﹣ D．次数是5 【答案】C 【分析】根据单项式的基本性质：单项式的次数（单项式中所以字母的指数的和）、系数（单项式中的数字因式）的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式的次数和系数，深刻理解单项式的次数和系数的定义是解题关键． 3．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．次数是7 B．常数项是 C．四次项的系数是5 D．按y的降幂排列为 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟知多项式的相关概念是解题关键． 分别根据多项式的次数，常数项，单项式的系数，多项式按字母的降幂排列等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：多项式的次数是7，故A选项正确，不合题意； 多项式的常数项是，故B选项正确，不合题意； 多项式的四次项的系数是，故C选项错误，符合题意； 多项式按y的降幂排列为，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 4．如图所示，长方形的长是，宽是，将长方形的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的四边形面积记作，以此类推，则可用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，分别求得，找到规律，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， …… ∴， 故选：C． 5．多项式是关于，的四次二项式，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式的次数及项数得出，，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于，的四次二项式， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】题目主要考查多项式的次数及项数，准确掌握这两个基础知识点是解题关键． 6．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第7个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键． 从三方面(符号、系数的绝对值、指数)观察可得规律：符号的规律：都是负正交替出现，即第奇数个为负，第偶数个为正；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第n个对应的指数是．即可求第7个单项式． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第n个单项式是， 当时，第7个单项式是： 故选：D． 7．下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是0 C．是二次三项式 D．单项式的次数是2，系数为 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义和多项式系数、次数、项数的定义进行判断． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项说法错误，不符合题意； B、单项式a的系数是1，次数是0，故本选项说法错误，不符合题意； C、−3x2+4x−2x是二次二项式，故本选项说法错误，不符合题意； D、单项式的次数是2，系数是，故本选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了的单项式和多项式的相关概念，熟练掌握系数、次数、项数的定义是解题关键．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，多项式含有几项，这个多项式就叫几项式．单独的一个字母的系数和次数都是1． 8．观察下列等式：，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由，得出规律个位数4个数一循环，由，即可得出结果． 【详解】解：， 个位数4个数一循环，4个数一循环的个位数的和：， ，， 的结果的个位数字是7， 故选：C 【点睛】本题考查了尾数特征，仔细观察数据的个位数字，得到每4个个位数字为一个循环组依次循环是解题的关键． 9．下列图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中，第1个图中一共有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，…，按照此规律第5个图中正方形的个数为（    ） A．30 B．46 C．55 D．60 【答案】C 【分析】仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有5=12+22个，第3个图形有14=12+22+32个，…由此得到规律求得第5个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有（个）正方形， 第3个图形有（个）正方形， …… 第5个图形有（个）正方形， 故选C. 【点睛】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律． 10．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串2024的和为． 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】对于①：整式串，，，有（个）；整式串，，，，；，，，共有（个），整式串，，，，，，，，；共有（个），由此得到整式串4，有（个）整式，故①正确．对于②：根据规律，得到整式串9从左往右第2个整式是，整式串10从左往右第2个整式是．它们的差为．故②错误．对于③：根据题意，整式串，，的和为，对于整式串，，，，的和为，整式串，，，，，，，，的和为．由此得到，经过2024次操作后，整式串2024的和为．故③正确． 二、填空题 11．多项式按字母的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握降幂排列的定义：按字母的指数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列是． 故答案为：． 12．次数最高项是 ，项数是 ，常数项是 ． 【答案】 4 【分析】多项式是指由多个单项式的和组成的式子，单项式个数的总和即为多项式的项数，单项式中次数最高的一项即为该多项式的最高次项，由此分析即可． 【详解】解：次数最高项是，项数是4，常数项是， 故答案为：；4；． 【点睛】本题考查多项式的基本定义与概念，理解多项式的定义，明确多项式的项和次数的确定方法是解题关键． 13．单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解答此题的关键． 14．观察这些数的规律， 3，-8，15，-24，35，…则第10个数是 ． 【答案】 【分析】不难发现每个数的绝对值都是从开始的自然数的平方减，且第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，由此即可解答． 【详解】解：； ； ； ； ； 第个数是， 故答案为： 【点睛】此题考查了数字变化的规律，根据数字变化的正负性确定数字变化的规律是解题的关键． 15．多项式有 项，其中次数最高项是 ，常数项是 ． 【答案】 四 ， ， 【分析】根据多项式的项，多项式的次数，常数项的定义判断即可． 【详解】∵多项式中有，，2x，1四个单项式， ∴多项式有四项，次数最高项是，常数项是1， 故答案为：四，，1． 【点睛】本题考查了多项式的项，次数，常数项，熟练掌握每个基本概念的意义是解题的关键． 16．一组按规律排列的式子：，，，，… …，则第6个式子是 ． 【答案】 【分析】分别找出分子、分母的变化规律，根据规律解答即可． 【详解】解：第一个数的分子是，分母是1， 第二个数的分子是，分母是3， 第三个数的分子是，分母是5， 第四个数的分子是，分母是7， 则第个数的分子是，分母是， 第6个式子是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据给出的式子分别找出分子、分母的变化规律是解题的关键． 17．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第一个图案为1个正方形和1个等边三角形，第二个图案为2个正方形和1个等边三角形，第三个图案为3个正方形和1个等边三角形……．依照此规律排列下去，则第六个图案用的木棍根数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究．根据图形，数出木棍数找到规律是解决问题的关键．根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于6加上图形位置序数与1的差的3倍，即，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知： 第1个图案用木棍根数根， 第2个图案用木棍根数：（根， 第3个图案用木棍根数：（根， 第4个图案用木棍根数：（根， …… 第个图案用的木棍根数是，即； 当时，． 故答案为：． 18．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得；……若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【详解】当时，只有一种取法，则；当时，有和两种取法，则；当时，有，，，四种取法，则；故当时，有，，，，，，六种取法，则；当时，有，，，，，，，，九种取法，则；依次类推，当为偶数时，，故当时，． 三、解答题 19．已知多项式． (1)把多项式按降幂排列； (2)把多项式按降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． （1）按照a的指数从大到小排列即可； （2）按照b的指数从大到小排列即可； 【详解】（1）解：多项式按a的降幂排列是； （2）解：多项式按b的降幂排列的是． 20．把多项式按要求重新排列： (1)把这个多项式按的降幂重新排列； (2)把这个多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的相关定义． （1）按x的指数从大到小的顺序排列即可； （2）按y的指数从小到大的顺序排列即可． 【详解】（1）解：多项式按的降幂重新排列如下：； （2）解：多项式按的升幂重新排列如下：． 21．已知是关于，的四次三项式，写出该多项式，并指出该多项式的项． 【答案】该多项式为，该多项式的项为，，1 【分析】根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 解得. 所以该多项式为． 该多项式的项为，，1． 【点睛】本题考查了多项式的次数和项的定义．解此类题目的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数． 22．如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时， ∴． 23．有一列数，按一定规律排列成，…，观察这列数的规律解决如下问题： (1)第七个数是______，第n个数可表示为________； (2)若其中某三个相邻数的积是，求这三个数的和． 【答案】(1)64， (2)12 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据； （2）根据（1）中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和． 【详解】（1）这列数为，…， 这列数的第个数为， 当时，这个数是， 故答案为：64，； （2）设这三个数是，，， 则， 即， 解得， 这三个数是4，，16， 这三个数的和是． 24．观察下面三行数： ② ③ (1)请根据第①行数的排列规律，表示第①行中的第n个数． (2)请根据第②③行数与第①行数的关系，分别表示出第②③行数中的第n个数． (3)取每行数的第十个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)； (2)，； (3)2562． 【分析】（1）根据所给的数字，不难得出第n个数为：； （2）对比第②行，第③行中相应位置的数，可得出第②行，第③行中的第n个数； （3）写出每行的第10个数，再加起来即可． 【详解】（1）∵， ∴第n个数为：； （2） ∴第②行第n个数为：； ∵ ∴第③行第n个数为：； （3）第①行第10个数为：， 第②行第10个数为：， 第③行第10个数为：， 则其三个数的和为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚相应行的数之间的关系． 25．观察下面的三行单项式： ……① ……② ……③ （1）根据你发现的规律，第①行第8个单项式为__________． （2）第②行第8个单项式为_________．第③行第8个单项式为_________． （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当时的值． 【答案】（1）；（2）；；（3）． 【分析】（1）根据题目中各项的变化情况规律可得，每一项的系数等于，x的次数等于项数，根据所得的规律求解即可； （2）根据题目中各项的变化情况规律可得，第②行的规律为每一项的系数等于，x的次数等于项数，根据所得的规律求解即可，第③行的规律为每一项的系数等于，x的次数为项数加1，根据所得的规律求解即可； （3）根据前面找到的规律把A表示出来，列代数式代入求解即可． 【详解】解：（1）∵……①， ∴可得规律为：每一项的系数等于，x的次数等于项数， ∴第①行第8个单项式为； （2）∵……②， ∴可得规律为：每一项的系数等于，x的次数等于项数， ∴第②行第8个单项式为； ∵……③， ∴可得规律为：每一项的系数等于，x的次数为项数加1， ∴第③行第8个单项式为； （3）根据题意得， ， 当时， ， 所以， 答：的值为． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，代数式求值，解题的关键是找到单项式的系数和次数的规律． 26．观察以下等式： ； ； ； ， (1)请写出第个等式：________________； (2)根据规律，用含字母的式子表示第个等式：________________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是仔细阅读题目，根据题目所给的内容，发现规律，利用规律解决问题． 根据前三个等式中的指数的变化规律写出第个等式即可； 根据的规律写出第个等式； 首先设，则有，把两个等式的左右两边分别相减即可． 【详解】（1）解：； ； ； 第个等式应为； （2）解：由的规律可知： 第个等式为：； （3）解：设， 则有， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$