2.1.1 有理数的加法（第1课时 有理数的加法法则）（教学设计）数学人教版2024七年级上册

2.1.1有理数的加法（第1课时 有理数的加法法则） 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是 2024 年新人教版七年级上册数学教材第二章《有理数的运算》中 2.1.1 有理数的加法的第一课时，核心内容是有理数加法法则的探究与应用.具体包括同号两数相加、异号两数相加、互为相反数的两数相加以及一个数与 0 相加这四种情况的加法法则.教材以实际问题情境为切入点，如物体在直线上的运动，引导学生理解有理数加法的意义，并借助数轴等直观工具，帮助学生归纳出有理数加法法则. 2.内容解析 有理数加法是在学生已经学习了正有理数和零的加法运算以及有理数的相关概念（如正数、负数、绝对值、相反数等）的基础上展开的.它是数系扩充后的一次重要运算学习，与小学阶段的加法运算相比，增加了符号的处理，使得运算更为复杂，但同时也更具一般性和广泛的应用价值.​ 有理数加法法则是后续学习有理数减法、乘法、除法及混合运算的基础.例如，有理数减法可以通过转化为加法来进行计算（减去一个数等于加上这个数的相反数）；乘法运算中多个有理数相乘时，也需要先确定积的符号，这与有理数加法中确定和的符号方法有相似之处.因此，本节课的内容在整个有理数运算体系中起着承上启下的关键作用.​ 从实际应用角度看，有理数加法在生活中有大量的应用场景.如在财务收支计算中，收入用正数表示，支出用负数表示，计算结余就需要用到有理数加法；在温度变化、海拔高度变化等涉及正负数的实际问题中，也经常需要进行有理数加法运算来得出最终结果.通过学习有理数加法，学生能够更好地运用数学知识解决实际生活中的问题，增强数学应用意识. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数加法法则的理解与应用. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解有理数加法法则. （2）会利用法则正确地进行有理数的加法运算. 2.目标解析 对于目标（1），通过创设物体在直线上运动等实际问题情境，引导学生观察有理数相加的实际意义；借助数轴直观呈现有理数加法的运算过程，结合具体实例进行分类讨论（如同号相加、异号相加等），学生能深入理解有理数加法法则的形成过程，准确阐述不同类型有理数相加的运算规则，并体会数形结合思想在法则推导中的应用. 对于目标（2），通过精讲典型例题和针对练习（从基础的同号、异号相加，到包含互为相反数、与 0 相加的综合运算），结合典型错误案例分析，学生能熟练运用有理数加法法则，先准确确定和的符号，再正确计算绝对值，从而快速且准确地完成有理数的加法运算，并逐步形成严谨的运算习惯和检查意识. 三、教学问题诊断分析 学生在小学阶段主要学习正有理数和零的运算，习惯了不考虑符号的加法运算.在有理数加法中，由于需要同时考虑符号和绝对值，学生容易忽略结果的符号确定.例如，在计算（-3）+5 时，部分学生可能只关注数字 3 和 5，直接将它们相加得到 8，而忽略了根据异号两数相加法则，应先确定和的符号为正（因为正数 5 的绝对值较大），再用较大绝对值 5 减去较小绝对值 3，得到正确结果为 2. 在异号两数相加时，学生容易混淆 “绝对值相减” 与 “绝对值相加”.例如，在计算（-4）+6 时，可能错误地将两个数的绝对值相加，得到结果为 10，而不是用较大绝对值 6 减去较小绝对值 4，得到正确结果为 2. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：异号两数相加法则的理解与运用. 四、教学过程设计 （一）新知引入 在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数. 根据小学阶段学习数的经验，接下来就要研究有理数的运算. 在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题. 例如： （1）北京冬季某一天的气温为－3~3 ℃. 【问题】这一天北京的温差是多少？ （2）李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物. 这样既保护了环境，又增加了零花钱，下表是他某个月零花钱的部分收支情况. 【问题】这里，“结余12.0”和“结余－3.2”是怎么得到的？ 在小学，我们学过正数及0的加法运算. 引入负数后，怎样进行加法运算呢？实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算. 例如，在上面的问题中，在求“结余”时，需要计算18.5+(－6.5)，12.0+(－15.2)等. 【设计意图】从现实生活中常见的涉及有理数运算的场景引入，让学生感受数学来源于生活. （二）新知讲解 【思考】小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与 0 相加以及 0 与 0 相加. 引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 想一想：两数相加可以分为几种类型？ 【小结】两数相加共三种类型： （1）同号两个数相加； （2）异号两个数相加； （3）一个数与 0 相加. 下面我们借助具体情境和数轴来讨论有理数的加法. 一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负． 例如：将向右运动 5 m 记作 5 m，向左运动 5 m 记作－5 m． 【思考】（1）如果物体沿着一条直线先向右运动 5 m，再向右运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 若将物体的运动起点放在原点O，则可用数轴表示为： 两次运动后，物体从起点向右运动了 8 m. 写成算式就是：5 + 3 = 8 . （2）如果物体沿着一条直线先向左运动 5 m，再向左运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向左运动了 8 m. 写成算式就是：(－5) ＋ (－3) ＝ －8 . 想一想：根据以上两个算式能否总结同号两数相加的法则？ 从以上两个算式可以看出：符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 【探究】（1）如果物体沿着一条直线先向左运动 3 m，再向右运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？你能用数轴表示该算式吗？ 结果是物体从起点向右运动了 2 m. 写成算式就是：(－3) ＋ 5 = 2. （2）如果物体沿着一条直线先向右运动 3 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？你能用数轴表示该算式吗？ 结果是物体从起点向左运动了 2 m. 写成算式就是：3 ＋ (－5) ＝ －2 . 从以上两个算式可以看出：绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 【探究】如果物体沿着一条直线先向右运动 5 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？你能用数轴表示该算式吗？ 结果是物体仍在起点处，写成算式就是5 ＋ (－5) = 0. 从以上算式可以看出：互为相反数的两个数相加，结果为 0. 【探究】如果物体第 1 s 向右（或左）运动 5 m，第 2 s 原地不动，那么 2 s 后物体从起点向右（或左）运动了 5 m. 如何用算式表示呢？ 5 ＋ 0 ＝ 5 （或 (－5) ＋ 0 ＝ －5）． 从以上算式可以看出：一个数与 0 相加，结果仍是这个数. 【归纳】有理数加法法则： 1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0． 3.一个数与0相加，仍得这个数. 显然，两个有理数相加，和是一个有理数. 【思考】按照有理数加法法则进行正数及 0 的加法运算，它和小学学过的正数及 0 的加法运算一致吗？一致！ 【思考】任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明. 当任何一个数加上一个正数时，相当于在数轴上向右移动对应的距离，而数轴上左边的数小于右边的数，所以和大于原来的数. 当任何一个数加上一个负数时，相当于在数轴上向左移动对应的距离，而数轴上左边的数小于右边的数，所以和小于原来的数. 利用有理数加法法则说明如下： 1.一个正数加上一个正数，和取正号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和，显然和大于原来的数； 2.0加上一个正数，和为正数，和大于原来的数； 3.一个负数加上一个正数，和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，若和为正则大于原来的数，若和为负，则和的绝对值小于原数的绝对值，和大于原来的数. 4.一个负数加上一个负数，和取负号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和，显然和小于原来的数； 5.0加上一个负数，和为负数，和小于原来的数； 6.一个正数加上一个负数，和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，若和为负则和小于原来的数，若和为正则和的绝对值小于原数的绝对值，和小于原来的数. 【设计意图】通过探究物体在一条直线上运动的实际例子，引导学生借助数轴直观呈现有理数加法的运算过程，理解有理数的加法法则. （三）典型例题 例1 计算： （1）(－3)＋(－9)； （2）(－8)＋0； （3）12＋(－8)； （4）(－4.7)＋3.9； （5）(－)＋(＋). 解：（1）(－3)＋(－9)＝－(3＋9)＝－12； （2）(－8)＋0＝－8; （3）12＋(－8)＝+(12－8)＝﹢4； （4）(－4.7)+3.9=－(4.7－3.9)＝－0.8; （5）(－)＋(＋)=0. 【小结】1.在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法. 2.有理数加法的运算步骤： （1）先判断加法的类型(同号、异号);（2）再确定和的符号;（3）最后计算和的绝对值. 【针对练习】（教材P28） 1. 用算式表示下面的结果： （1）温度由－4 ℃ 上升 7 ℃； （2）收入 7 元，又支出 5 元． 解：（1）(－4) + 7 = 3；（2）7 +(－5) = 2. 2. 口算： （1）(－4)＋(－6)=___-10__（2） 4＋(－6)=__-2___（3）(－4)＋6=___2__ （4）(－4)＋4=__0___（5）(－4)＋14=__10___（6）(－14)＋4=___-10__ （7） 6＋(－6)=__0___（8） 0＋(－6)=___-6__（9）(－8)＋ 0=__-8___ 3. 计算： （1）15＋(－22)； （2）(－13) ＋(－8)； （3）(－0.9) ＋1.5； （4）+(−). 解：（1）原式 = －(22 － 15) = －7； （2）原式 = －(13 ＋ 8) = －21； （3）原式 = ＋(1.5 － 0.9) = 0.6； （4）原式 = －(−) = － . 4. 请你用生活实例解释 (－3) ＋ 2 = －1， (－3) ＋ (－2) = －5 的意义. 如：某地中午时的温度为 －3 ℃，下午上升了 2 ℃，则温度变为 －1℃，用算式表示为 （－3）＋ 2 = －1； 小红周一支出了 3 元，周二又支出了 2 元，则他一共支出了 5 元，用算式表示为 （－3）+（－2） = －5. 例2 数a，b在数轴上表示的点如图所示， 则：（1）a + b ___＞__ a； （2）a + (－b)__＜___ a； （3） b+a ___＞__ 0； （4）b+ (－a) __＞___0. (填“>”“<”或“=”) 【针对练习】 已知有理数a和b在数轴上对应点的位置如图所示，请在横线上填写“＞”“=”或“＜”． （1）a＋b __＜___0； （2）a＋（－b） ___＜__0； （3）－a＋b ___＞__0； （4）－a＋（－b） ___＞__0． 【设计意图】通过典例精讲，使学生对有理数加法法则有更深地理解，让学生学会应用法则解决问题. （四）当堂巩固 1．计算（－3）＋（－4）的结果是（　C　） A．－2 B．7 C．－7 D．2 2．规定上升为正，下潜为负．已知海平面的高度为 0 m，一艘潜艇从海平面先下潜 40 m，再上升 15 m，则用算式表示现在这艘潜艇相对于海平面的位置为___(－40)＋15＝－25(m)__. 3. 若|m|＝3，|n|＝4，且m>n，则m＋n的值是__－1或－7__． 4．计算： （1）（＋6）＋（＋4）＝____10____； （2）10＋（－5）＝____5____； （3）（－7）＋（－7）＝____-14____； （4）（－12）＋8＝____-4____； （5）50＋（－50）＝_____0___； （6）0＋＝________. 5. 用“＞”、“＝”、“＜”填空 (1)若a＜0，b＜0，则a＋b__＜__0 (2)若a＞0，b＞0，则a＋b__＞__0 (3)若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a＋b__＜__0 (4)若a＜0，b＞0，|a|＝|b|，则a＋b__=__0 【设计意图】进一步应用所学知识，让学生能利用有理数的加法法则解决有理数的加法计算问题. （五）课堂总结 本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？ 【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法. 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$