8.2 古典概型（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

8．2　古典概型 课程标准 素养解读 1.理解古典概型 2．初步掌握古典概型的计算方法 通过对古典概型的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算素养 (1)抛掷一枚质地均匀的硬币，观察向上的一面，这个随机试验的样本空间Ω＝{正面向上，反面向上}，共两个样本点，它们出现的可能性相同吗？ (2)抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，这个随机试验的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，共六个样本点，它们出现的可能性相同吗？ 问题(1)(2)有什么共同点？ 提示：(1)正面、反面，两种等可能 (2)点数可能为1,2,3,4,5,6共6种，结果等可能． [知识点一]　古典概型　 　如果一个随机试验具有如下性质： (1)　有限性　：样本空间Ω的样本点总数有限； (2)　等可能性　：每次试验中，样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等；称这样的随机试验为古典概型． 古典概型的特点是什么？ 提示：古典概型的两个特征是有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的随机试验才是古典概型． [知识点二]　古典概型的概率计算　 (1)对于古典概型，若随机试验的样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为P(A)＝ ＝. (2)解决古典概型问题的一般思路： ①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； ②根据实际问题情境判断各样本点的发生是否是等可能的； ③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 1．判断题 (1)任何一个事件都是一个样本点．(　　) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．(　　) (3)古典概型中样本点只有有限个．(　　) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．(　　) 解析：根据古典概型的定义，(2)(3)(4)正确，对于(1)中，一个事件可能包含多个样本点，(1)不正确． 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　) A.　　　　　　 B. C. D．1 解析：C　[从甲、乙、丙三人中任选两名课代表，共有3个结果：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，其中甲被选中的有2个样本点，故甲被选中的概率P＝.] 3．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝　________　. 解析：从1,2,3中任取两个数字，所有可能的样本点有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中事件A含有两个样本点，故P(A)＝. 答案： 古典概型的判断 　(1)向一个圆面内随机地投—个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的．你认为这是古典概型吗？为什么？ (2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？ [思路点拨]　从有限性和等可能性两方面入手． [解]　(1)试验的所有可能结果是无限的，故不是古典概型． (2)所有可能结果有11个，但基本事件中命中10环、命中9环……命中0环的机会不是等可能的，故不是古典概型． 一个试验是否属于古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． [变式训练] 1．下列模型中，是古典概型的为(　　) A．从一部分零件中任意抽取一个，测其长度 B．种一粒种子，观察它是否能够发芽 C．抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的点数 D．统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率 解析：C　[根据古典概型的定义进行判断．选项A中长度的值出现的可能性不一定相同，故不是古典概型；选项B中发芽与不发芽的可能性不一定相同，故不是古典概型；选项D不是随机试验，故不是古典概型；选项C中，出现的结果为1点至6点，结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上的可能性相同，满足古典概型的两个特征，故是古典概型．故选C.] 　 古典概型的概率计算 　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． [思路点拨]　可采用枚举法列举事件确定样本点，然后代入古典概型公式求解． [解]　由于4个球的大小相等，摸出的每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. 求解古典概型“四步”法 [变式训练] 2．从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A＝{三个数字中不含1和5}； (2)事件B＝{三个数字中含1或5}． 解：这个试验样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}， 所以样本点总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2,3,4)}， 所以事件A包含的样本点数m＝1， 所以P(A)＝＝. (2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点数m＝9， 所以P(B)＝＝. 1．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 解析：C　[选项A与D中，每一个样本点发生的可能性不相等，不是古典概型．选项B中，样本空间的样本点是无限个，不是古典概型．只有C项，样本点只有两个，且每一个样本点发生是等可能的，是古典概型．] 2．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2 件都是正品的概率是(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：C　[将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法有6种，∴概率P＝＝.] 3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a，从{1,2,3}中随机选取一个数记为b，则b＞a的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[随机选取一个a、b组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共有15种，其中b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴b＞a发生的概率P＝＝.] 4．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为　________　. 解析：从a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，共有如下10种不同的情形(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中取到a的情形有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，∴其概率P＝＝. 答案： [基础过关] 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．近三天中有一天降雨的概率 D．4人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：D　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型； B项中的样本点是无限的，故B不是古典概型．而C不是等可能性，故不为古典概型．D项中满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．] 2．从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：B　[从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)，(4,6)，(6,8)共3种．故这两个元素相差2的概率为P＝＝.] 3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，样本空间Ω＝{ (甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊) }．共10个样本点，其中甲被选中的样本点有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝.] 4. 从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　) A．1 B. C. D. 解析：C　[集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为＝.] 5．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54，其中大于40的有8个，故所求的概率为＝.] 6．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是　________　. 解析：试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是. 答案： 7．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为　________　. 解析：由题意知本题是一个古典概型．∵试验的样本空间Ω＝{BEE，EBE，EEB}．而满足条件的样本点只有一个BEE，∴所求概率为. 答案： 8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为　________　. 解析：这个试验的样本空间Ω＝{(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)}，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝＝. 答案： 9．掷一枚质地均匀，且六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子，求向上的一面点数大于2的概率． 解：这是一个古典概型，每次试验共有6个等可能的结果，即基本事件总数为6.事件“向上的一面点数大于2”包括4个基本事件，从而由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝. [能力提升] 10．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[所有样本点的个数为6×6＝36. 由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或 故事件“log2xy＝1”包含3个样本点， 所以所求的概率为P＝＝.] 11．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析：D　[设3个红球分别为红1，红2，红2,2个白球分别为白1，白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)]，共10种，其中不含白球的只有(红1，红2，红3)1种，所以不含白球的概率为，所以至少有1个白球的概率为P＝1－＝.] 12．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc， 根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共三种可能，则田忌获胜的概率为P＝＝.] 13．在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是　________　. 解析：试验的样本空间Ω＝{12,21,14,41,32,23,34,43,52,25,54,45}， 两位数能被4整除记为事件A，显然A＝{12,32,52}，有3个样本点， 故所求事件的概率P＝＝. 答案： 14．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　________　.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　________　. 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个． 因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝. 从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝. 答案：　 15．做投掷2枚骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，写出： (1)试验的样本点； (2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于7”． 解：(1)这个试验的样本点，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$8.2　古典概型 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第8章 概率与统计初步 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课程标准 素养解读 1.理解古典概型 2．初步掌握古典概型的计算方法 通过对古典概型的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算素养 (1)抛掷一枚质地均匀的硬币，观察向上的一面，这个随机试验的样本空间Ω＝{正面向上，反面向上}，共两个样本点，它们出现的可能性相同吗？ (2)抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，这个随机试验的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，共六个样本点，它们出现的可能性相同吗？ 问题(1)(2)有什么共同点？ 提示：(1)正面、反面，两种等可能 (2)点数可能为1,2,3,4,5,6共6种，结果等可能． [知识点一]　古典概型　 　如果一个随机试验具有如下性质： (1)　有限性　：样本空间Ω的样本点总数有限； (2)　等可能性　：每次试验中，样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等；称这样的随机试验为古典概型． 古典概型的特点是什么？ 提示：古典概型的两个特征是有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的随机试验才是古典概型． [知识点二]　古典概型的概率计算　 (1)对于古典概型，若随机试验的样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为P(A)＝ eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间Ω包含的样本点总数)＝eq \f(m,n). (2)解决古典概型问题的一般思路： ①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； ②根据实际问题情境判断各样本点的发生是否是等可能的； ③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 1．判断题 (1)任何一个事件都是一个样本点．(　　) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．(　　) (3)古典概型中样本点只有有限个．(　　) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．(　　) 解析：根据古典概型的定义，(2)(3)(4)正确，对于(1)中，一个事件可能包含多个样本点，(1)不正确． 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．1 解析：C　[从甲、乙、丙三人中任选两名课代表，共有3个结果：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，其中甲被选中的有2个样本点，故甲被选中的概率P＝eq \f(2,3).] 3．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝　________　. 解析：从1,2,3中任取两个数字，所有可能的样本点有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，其中事件A含有两个样本点，故P(A)＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 古典概型的判断 　(1)向一个圆面内随机地投—个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的．你认为这是古典概型吗？为什么？ (2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？ [思路点拨]　从有限性和等可能性两方面入手． [解]　(1)试验的所有可能结果是无限的，故不是古典概型． (2)所有可能结果有11个，但基本事件中命中10环、命中9环……命中0环的机会不是等可能的，故不是古典概型． 一个试验是否属于古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． [变式训练] 1．下列模型中，是古典概型的为(　　) A．从一部分零件中任意抽取一个，测其长度 B．种一粒种子，观察它是否能够发芽 C．抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的点数 D．统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率 解析：C　[根据古典概型的定义进行判断．选项A中长度的值出现的可能性不一定相同，故不是古典概型；选项B中发芽与不发芽的可能性不一定相同，故不是古典概型；选项D不是随机试验，故不是古典概型；选项C中，出现的结果为1点至6点，结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上的可能性相同，满足古典概型的两个特征，故是古典概型．故选C.] 古典概型的概率计算 　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求： (1)样本空间的样本点的总数n； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． [思路点拨]　可采用枚举法列举事件确定样本点，然后代入古典概型公式求解． [解]　由于4个球的大小相等，摸出的每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，即摸出2个黑球的概率为eq \f(1,2). 求解古典概型“四步”法 [变式训练] 2．从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)事件A＝{三个数字中不含1和5}； (2)事件B＝{三个数字中含1或5}． 解：这个试验样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}， 所以样本点总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2,3,4)}， 所以事件A包含的样本点数m＝1， 所以P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(1,10). (2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点数m＝9， 所以P(B)＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10). 1．下列试验是古典概型的是(　　) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 解析：C　[选项A与D中，每一个样本点发生的可能性不相等，不是古典概型．选项B中，样本空间的样本点是无限个，不是古典概型．只有C项，样本点只有两个，且每一个样本点发生是等可能的，是古典概型．] 2．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2 件都是正品的概率是(　　) A.eq \f(4,5)　　 B.eq \f(1,5)　　　 C.eq \f(3,5)　　 D.eq \f(2,5) 解析：C　[将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法有6种，∴概率P＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).] 3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a，从{1,2,3}中随机选取一个数记为b，则b＞a的概率为(　　) A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5) 解析：D　[随机选取一个a、b组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共有15种，其中b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴b＞a发生的概率P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).] 4．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为　________　. 解析：从a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，共有如下10种不同的情形(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中取到a的情形有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，∴其概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5). 答案：eq \f(2,5) $$ [基础过关] 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．近三天中有一天降雨的概率 D．4人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：D　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型； B项中的样本点是无限的，故B不是古典概型．而C不是等可能性，故不为古典概型．D项中满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．] 2．从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 D. 解析：B　[从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)，(4,6)，(6,8)共3种．故这两个元素相差2的概率为P＝＝.] 3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，样本空间Ω＝{ (甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，(乙、丙)，(乙、丁)，(乙，戊)，(丙、丁)，(丙、戊)，(丁，戊) }．共10个样本点，其中甲被选中的样本点有(甲，乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(甲、戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝.] 4. 从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　) A．1 B. C. D. 解析：C　[集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为＝.] 5．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54，其中大于40的有8个，故所求的概率为＝.] 6．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是　________　. 解析：试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是. 答案： 7．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为　________　. 解析：由题意知本题是一个古典概型．∵试验的样本空间Ω＝{BEE，EBE，EEB}．而满足条件的样本点只有一个BEE，∴所求概率为. 答案： 8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为　________　. 解析：这个试验的样本空间Ω＝{(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)}，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝＝. 答案： 9．掷一枚质地均匀，且六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子，求向上的一面点数大于2的概率． 解：这是一个古典概型，每次试验共有6个等可能的结果，即基本事件总数为6.事件“向上的一面点数大于2”包括4个基本事件，从而由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝. [能力提升] 10．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[所有样本点的个数为6×6＝36. 由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或 故事件“log2xy＝1”包含3个样本点， 所以所求的概率为P＝＝.] 11．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析：D　[设3个红球分别为红1，红2，红2,2个白球分别为白1，白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)]，共10种，其中不含白球的只有(红1，红2，红3)1种，所以不含白球的概率为，所以至少有1个白球的概率为P＝1－＝.] 12．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc， 根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共三种可能，则田忌获胜的概率为P＝＝.] 13．在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是　________　. 解析：试验的样本空间Ω＝{12,21,14,41,32,23,34,43,52,25,54,45}， 两位数能被4整除记为事件A，显然A＝{12,32,52}，有3个样本点， 故所求事件的概率P＝＝. 答案： 14．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　________　.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是　________　. 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个． 因为都为奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，所以所求概率P＝. 从5个数字中有放回地任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝. 答案：　 15．做投掷2枚骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，写出： (1)试验的样本点； (2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于7”． 解：(1)这个试验的样本点，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$