8.1.1 随机事件的概念（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

8.1　随机事件 8.1.1　随机事件的概念 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第8章 概率与统计初步 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第8章 概率与统计初步 课程标准 素养解读 1.理解随机现象、随机事件等概念 2．理解样本点与样本空间的定义，会求试验中的样本空间 在理解样本空间定义的基础上，培养学生的数学抽象等核心素养 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，他发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少．这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题． [知识点]　事件的概念及分类　 1．在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为　必然现象　，发生的结果事先不能确定的现象称为　随机现象　. 2．在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验称为　随机试验　，简称为　试验　. 3．随机试验每一种可能出现的结果，都称为　样本点　，常用小写希腊字母ω表示，所有样本点组成的集合称为　样本空间　，通常用大写希腊字母Ω表示 4．如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为　随机事件　，简称为　事件　，常用英文大写字母A、B、C……表示，事件中的每一个元素都称为　基本事件　. 5．样本空间Ω是其自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为　必然事件　. 6．∅也是Ω的子集，可以看作是一个事件，但由于空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集∅称为　不可能事件　. 事件与基本事件的概念相同吗？ 提示：不相同，基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． 1．一个家庭有两个小孩，写出这个试验的样本空间是(　　) A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．Ω＝{(男，女)，(女，男)} C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．Ω＝{(男，男)，(女，女)} 解析：C　[用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．] 2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　) A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 解析：C　[从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．] 3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间为Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有一件正品为必然事件．] 事件类型的判断 　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a； ②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； ③没有空气，种子发芽； ④某电话总机在60秒内接到至少15个电话； ⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时会沸腾； ⑥同性电荷，相互排斥． [思路点拨]　根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断． [解析]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知． ①对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件． ②从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ③适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件． ④电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ⑤在标准大气压下，水的温度达到100℃时，开始沸腾，水温达到50℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件． ⑥根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件． 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． [变式训练] 1．指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图像关于直线x＝1对称； (2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码； (3)函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数； 解：必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3) 探究样本点与样本空间 　袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先、后各取一个球． 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数． [思路点拨]　解决此类问题的重点是搞清每次试验的条件和结果，关键是充分理解试验，避免列举样本点时不全或有重复．第(3)问可用列表法求解． [解]　(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4. (2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6. (3)先、后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 　　第一次 第二次　　 红 白 黄 黑 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 白 (红，白) (黄，白) (黑，白) 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 黑 (红，黑) (白，黑) (黄，黑) 则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12. (1)样本点具有如下性质：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的样本点不可能同时发生． (2)样本空间是由全体样本点构成的，而不是部分样本点．在列举样本点时，要结合事件本身的特征，依据一定的规律和方法，将事件全面地列举出来，避免遗漏． [变式训练] 2．试写出试验的样本空间 (1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 解：(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．样本空间为{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}． (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}． 随机事件的含义 　在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义： (1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}； (2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}； (3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}． [思路点拨]　理解题意→观察事件中样本点的规律→确定事件的含义． [解]　(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. (2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中， 故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6. (3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2. 解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件的含义． [变式训练] 3．一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示． 解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个其中(1,2)表示摸到1号球和2号球． (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}. 1．下列事件不是随机事件的是(　　) A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷 C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴 解析：B　[“下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件．] 2．下列事件中，不可能事件为(　　) A．钝角三角形两个小角之和小于90° B．三角形中大边对大角，大角对大边 C．锐角三角形中两个内角和小于90° D．三角形中任意两边的和大于第三边 解析：C　[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．] 3．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝　________　. 解析：从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果{12,13,23}． 答案：{12,13,23} 4．连续掷一枚骰子两次，出现事件“向上的点数之和为5”的样本点为　________________　. 解析：事件“向上的点数之和为5”的样本点为：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)． 答案：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2). $$ [基础过关] 1．下列事件中，随机事件的个数为(　　) ①方程ax＋b＝0有一个实数根； ②2023年5月1日，来中国旅游的人数为5万； ③在常温下，锡块熔化； ④若a>b，那么ac>bc. A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[①②④是随机事件，③是不可能事件，故选C.] 2．下列事件中，必然事件是(　　) A．10人中至少有2人生日在同一个月 B．11人中至少有2人生日在同一个月 C．12人中至少有2人生日在同一个月 D．13人中至少有2人生日在同一个月 解析：D　[一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.] 3．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是(　　) A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 解析：B　[由于抛掷硬币时，正面朝上和朝下是不确定的，故抛掷10次，正面朝上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件．] 4．投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 解析：B　[投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”．故选B.] 5．写出下列试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)　________　； (2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数　________　. 答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4} 6．①某人射击一次，中靶；②从一副牌中抽到红桃A；③种下一粒种子发芽；④掷一枚骰子，出现6点．其中是随机现象的是　________　. 解析：根据随机现象的定义知： ①：射击一次有两种可能性：中靶和不中靶，中靶满足随机现象； ②：从一副牌中抽到有大、小王、红桃(13张)、黑桃(13张)、方片(13张)、梅花(13张)共54种可能，红桃A满足随机现象； ③：种下一粒种子有发芽和不发芽两种可能性，发芽满足随机现象； ④：掷一枚骰子，由1－6六种可能，故出现6点满足随机现象． 答案：①②③④ 7．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况．事件A＝{正面朝上的次数不超过反面朝上的次数}中含有　________　个样本点． 解析：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则A＝{(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}． 答案：4 8．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况． (1)写出该试验的样本空间； (2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？ 解：以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布． (1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}． (2)“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)． 9．同时转动如图的两个转盘，记转盘(1)得到的数为x，转盘(2)得到的数为y，结果为(x，y)． (1)写出这个试验的样本空间． (2)求这个试验的样本点的总数． 解：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． (2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为16. [能力提升] 10．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：C　[从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．] 11．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．恰有1件正品 解析：C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”是不可能事件．] 12．从2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”包含的样本点有(　　) A．{(2,8)} B．{(3,6)} C．{(2,9)} D．{(3,8)} 解析：A　[只有log28＝3为整数．] 13．现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品．其中随机事件为　________　，不可能事件为　________　，必然事件为　________　.(填序号) 解析：10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件，故答案为：①②；③；④ 答案：①②　③　④ 14．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有　____________　个． 解析：实验的样本空间为Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}，样本点共有3个． 答案：3 15．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A； (3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题． 解：(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． (2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． (3)若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}， A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8．1　随机事件 8．1.1　随机事件的概念 课程标准 素养解读 1.理解随机现象、随机事件等概念 2．理解样本点与样本空间的定义，会求试验中的样本空间 在理解样本空间定义的基础上，培养学生的数学抽象等核心素养 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，他发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少．这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题． [知识点]　事件的概念及分类　 1．在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为　必然现象　，发生的结果事先不能确定的现象称为　随机现象　. 2．在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验称为　随机试验　，简称为　试验　. 3．随机试验每一种可能出现的结果，都称为　样本点　，常用小写希腊字母ω表示，所有样本点组成的集合称为　样本空间　，通常用大写希腊字母Ω表示 4．如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为　随机事件　，简称为　事件　，常用英文大写字母A、B、C……表示，事件中的每一个元素都称为　基本事件　. 5．样本空间Ω是其自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为　必然事件　. 6．∅也是Ω的子集，可以看作是一个事件，但由于空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集∅称为　不可能事件　. 事件与基本事件的概念相同吗？ 提示：不相同，基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． 1．一个家庭有两个小孩，写出这个试验的样本空间是(　　) A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．Ω＝{(男，女)，(女，男)} C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．Ω＝{(男，男)，(女，女)} 解析：C　[用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．] 2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　) A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 解析：C　[从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．] 3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间为Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有一件正品为必然事件．] 事件类型的判断 　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a； ②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； ③没有空气，种子发芽； ④某电话总机在60秒内接到至少15个电话； ⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时会沸腾； ⑥同性电荷，相互排斥． [思路点拨]　根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断． [解析]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知． ①对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件． ②从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ③适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件． ④电话在60秒内接到至少15次传唤，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件． ⑤在标准大气压下，水的温度达到100℃时，开始沸腾，水温达到50℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件． ⑥根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件． 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． [变式训练] 1．指出下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图像关于直线x＝1对称； (2)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码； (3)函数y＝kx＋6是定义在R上的增函数； 解：必然事件有(1)；随机事件有(2)，(3) 探究样本点与样本空间 　袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先、后各取一个球． 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数． [思路点拨]　解决此类问题的重点是搞清每次试验的条件和结果，关键是充分理解试验，避免列举样本点时不全或有重复．第(3)问可用列表法求解． [解]　(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4. (2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6. (3)先、后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 　　第一次 第二次　　 红 白 黄 黑 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 白 (红，白) (黄，白) (黑，白) 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 黑 (红，黑) (白，黑) (黄，黑) 则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12. (1)样本点具有如下性质：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的样本点不可能同时发生． (2)样本空间是由全体样本点构成的，而不是部分样本点．在列举样本点时，要结合事件本身的特征，依据一定的规律和方法，将事件全面地列举出来，避免遗漏． [变式训练] 2．试写出试验的样本空间 (1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 解：(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．样本空间为{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}． (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}． 随机事件的含义 　在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义： (1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}； (2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}； (3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}． [思路点拨]　理解题意→观察事件中样本点的规律→确定事件的含义． [解]　(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. (2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中， 故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6. (3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2. 解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件的含义． [变式训练] 3．一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示． 解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个其中(1,2)表示摸到1号球和2号球． (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}. 1．下列事件不是随机事件的是(　　) A．东边日出西边雨 B．下雪不冷化雪冷 C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴 解析：B　[“下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件．] 2．下列事件中，不可能事件为(　　) A．钝角三角形两个小角之和小于90° B．三角形中大边对大角，大角对大边 C．锐角三角形中两个内角和小于90° D．三角形中任意两边的和大于第三边 解析：C　[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．] 3．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝　________　. 解析：从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果{12,13,23}． 答案：{12,13,23} 4．连续掷一枚骰子两次，出现事件“向上的点数之和为5”的样本点为　________________　. 解析：事件“向上的点数之和为5”的样本点为：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)． 答案：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2). [基础过关] 1．下列事件中，随机事件的个数为(　　) ①方程ax＋b＝0有一个实数根； ②2023年5月1日，来中国旅游的人数为5万； ③在常温下，锡块熔化； ④若a>b，那么ac>bc. A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[①②④是随机事件，③是不可能事件，故选C.] 2．下列事件中，必然事件是(　　) A．10人中至少有2人生日在同一个月 B．11人中至少有2人生日在同一个月 C．12人中至少有2人生日在同一个月 D．13人中至少有2人生日在同一个月 解析：D　[一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.] 3．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是(　　) A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 解析：B　[由于抛掷硬币时，正面朝上和朝下是不确定的，故抛掷10次，正面朝上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件．] 4．投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 解析：B　[投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”．故选B.] 5．写出下列试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)　________　； (2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数　________　. 答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4} 6．①某人射击一次，中靶；②从一副牌中抽到红桃A；③种下一粒种子发芽；④掷一枚骰子，出现6点．其中是随机现象的是　________　. 解析：根据随机现象的定义知： ①：射击一次有两种可能性：中靶和不中靶，中靶满足随机现象； ②：从一副牌中抽到有大、小王、红桃(13张)、黑桃(13张)、方片(13张)、梅花(13张)共54种可能，红桃A满足随机现象； ③：种下一粒种子有发芽和不发芽两种可能性，发芽满足随机现象； ④：掷一枚骰子，由1－6六种可能，故出现6点满足随机现象． 答案：①②③④ 7．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况．事件A＝{正面朝上的次数不超过反面朝上的次数}中含有　________　个样本点． 解析：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则A＝{(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}． 答案：4 8．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况． (1)写出该试验的样本空间； (2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？ 解：以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布． (1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}． (2)“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)． 9．同时转动如图的两个转盘，记转盘(1)得到的数为x，转盘(2)得到的数为y，结果为(x，y)． (1)写出这个试验的样本空间． (2)求这个试验的样本点的总数． 解：(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． (2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为16. [能力提升] 10．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：C　[从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．] 11．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．恰有1件正品 解析：C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”是不可能事件．] 12．从2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”包含的样本点有(　　) A．{(2,8)} B．{(3,6)} C．{(2,9)} D．{(3,8)} 解析：A　[只有log28＝3为整数．] 13．现有10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．有以下事件：从这10个产品中任意抽取4个产品，①4个产品都是正品；②至少有1个次品；③4个产品都是次品；④至少有1个正品．其中随机事件为　________　，不可能事件为　________　，必然事件为　________　.(填序号) 解析：10个同类产品，其中7个是正品，3个是次品．从中任意抽取4个产品，则至少有一个是正品，故④为必然事件，而不可能4个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4个产品都是正品，可能会至少有1个次品，所以①②是随机事件，故答案为：①②；③；④ 答案：①②　③　④ 14．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有　____________　个． 解析：实验的样本空间为Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}，样本点共有3个． 答案：3 15．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A； (3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题． 解：(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． (2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． (3)若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}， A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 学科网（北京）股份有限公司 $$