7.2.3 球（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

7．2.3　球 课程标准 素养解读 1.了解球的概念及其结构特征 2．会求球的表面积和体积 通过了解球的结构特征，从而计算球的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养 如图所示的足球、地球仪的外形是如何形成的？ 提示：半圆弧绕着直径所在的直线旋转一周形成的． [知识点一]　球　 定义 一个半圆绕着它的　直径　所在的直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为　球面_ 　，球面所围成的几何体称为　球体　，简称　球　. 有关 概念 半圆的　圆心　称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为　球的半径　，半圆的　直径　叫做球的直径．用一个平面去截球，截面是圆面，这个圆面称为　球截面　，经过球心的平面截球所得的圆称为　球的大圆　，不经过球心的平面截球所得的圆称为　球的小圆　. 图形 表示法 球常用表示　球心　的字母表示，如上图中的球记为球　O　 当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： (1)球截面圆心与球心的连线垂直于球截面； (2)设球心到截面圆心的连线的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有r＝. 1.球的表面是曲面吗？ 提示：球的表面是曲面，不能在一个平面上展开，即使是球面上任意小的一块，也不能在一个平面上展开，因此球没有展开图． [知识点二]　球的表面积和体积　 球的半径为R，体积V＝　πR3　.表面积S＝　4πR2　. 　2.球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数． (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体积，已知球的体积可求球的半径． (3)球的体积之比为其半径比的立方． 1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：B　[圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱．] 2．半径为3的球的体积是(　　) A．9π　　 B．27π　　 C．36π　　 D．81π 解析：C　[V＝π×33＝36 π.] 3．若一个球的直径为2，则此球的表面积为(　　) A．2 π B．4 π C．8 π D．16 π 解析：B　[∵球的直径为2，∴球的半径为1， ∴球的表面积S＝4πR2＝4π.] 球的性质的应用 　一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为　________　. [思路点拨]　利用球及球截面的性质求解． [解析]　设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2. [答案]　2 有关球的截面问题应紧扣球及球截面的性质求解： 当球截面不经过球心时，球截面圆心与球心的连线垂直于球截面； 球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足关系式：r＝. [变式训练] 1．如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球O的体积是(　　) A. π　　　　 B. π C．32 π D．16 π 解析：A　[设球O的半径为R，则R2－＝()2，解得：R＝2， ∴球O的体积V＝R3＝π.故选：A.] 球的表面积和体积 　(1)球的体积是，则此球的表面积是(　　) A．12 π B．16 π C. D. (2)球的表面积是4 π，则球的体积是　________　. [思路点拨]　(1)先根据球的体积，得出球的半径，再根据球的表面积公式求解； (2)先根据球的表面积，得出球的半径，再根据球的体积公式求解． [解析]　(1)πR3＝，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16 π. (2)设球的半径为R，则4πR2＝4 π，解得R＝1，所以球的体积V＝ πR3＝ π. [答案]　(1)B　(2)π 对于球的表面积公式S＝4πR2及球的体积公式V＝πR3，一定要记准、记牢．计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R.一般来说，题中不会直接给出球的半径，而是将其隐藏在某些条件中．解题过程中，一定要注意 [变式训练] 2．已知球的大圆周长为6 π，则它的表面积和体积分别是(　　) A．36π，144π B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144π 解析：B　[设球的半径为R，则2πR＝6 π， ∴R＝3.∴球的表面积S＝4πR2＝36 π； 球的体积V＝πR3＝π×27＝36 π.] 3．如果两个球的表面积之比为8∶27，那么这两个球的体积之比为(　　) A．2∶3 B．4∶9 C．16∶81 D．16∶81 解析：C　[由＝得＝，∴＝，故选C.] 球的切、接问题 　正方形的边长为a，分别求正方形的内切球和外接球的表面积、体积． [思路点拨]　正方体的内切球的直径是正方体的边长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线． [解]　正方体的内切球的直径大小等于正方体的边长的大小，则内切球的半径r＝， 内切球的表面积S球＝4πr2＝πa2， 内切球的体积V球＝πr3＝， 正方体的外接球的直径大小等于正方体的体对角线的大小(a)，则外接球的半径R＝， 外接球的表面积S球＝4πR2＝3πa2， 外接球的体积V球＝πR3＝. [注意] 正方体的边长为a，它的每个面的对角线长为a，正方体的对角线长为a. [变式训练] 4．体积为8正方体的外接球的表面积为(　　) A．12 π　　 B．8 π　　 C．16 π　　 D．24 π 解析：A　[由a3＝8，得正方体棱长a＝2.由2r＝＝2，得外接球的半径r＝，则S表＝4πr2＝12 π.故选A.] 1．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆锥　　 B．球　　 C．圆柱　　 D．棱柱 解析：B　[选项A：当平面过圆锥的轴时所得截面为等腰三角形．不合题意；选项B：平面截球所得截面为大圆或小圆．符合题意；选项C：当平面过圆柱的轴时所得截面为矩形．不合题意；选项D：当平面平行于棱柱的底面时所得截面为与底面全等的多边形．不合题意．故选：B.] 2．球的直径为6，则其表面积和体积分别是(　　) A．9 π和36 π B．36 π和108 π C．36 π和36π D．9 π和108 π 解析：C　[由题知r＝3，S表＝4πr2＝36 π，V＝πr3＝36 π，故选C.] 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1 cm，则球的表面积是(　　) A．π cm2 B．2π cm2 C．3π cm2 D．4 πcm2 解析：C　[球的半径r＝＝，则S表＝4πr2＝3π(cm2)．故选C.] 4．已知球的半径为2 cm，则其表面积为　________　，体积为　________　. 解析：直接代入公式计算即可． S表＝4πr2＝16πcm2，V＝πr3＝cm3. 答案：16 π　 π [基础过关] 1．下列关于球体的说法中，错误的是(　　) A．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．用一个平面去截一个球得到的截面是圆面 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 解析：D　[对于A，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，A正确；对于B，用一个平面去截一个球得到的截面是圆面，B正确； 对于C，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体，C正确；对于D，球的每一条直径都是对称轴，有无数条，故D错误．故选：D.] 2．若一个球的体积为4 π，则它的表面积为(　　) A．3 π　　 B．12　　 C．12 π　　 D．36 π 解析：C　[设球的半径为R，依题意有R3＝4π，所以R＝， 所以球的表面积为S＝4πR2＝12 π，故选：C.] 3．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 解析：A　[设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则＝＝2＝2＝.] 4．一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 解析：D　[设球的半径为r，球的半径扩大为2r， 原来球的体积为V1＝πr3，扩大后的球的体积为V2＝π(2r)3＝8×πr3， 所以V1∶V2＝1∶8， 即一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的8倍，故选：D.] 5．棱长为1的正方体的内切球的表面积为　________　. 解析：由题意可知，内切球半径r＝，则S表＝4πr2＝π. 答案：π 6．篮球的标准直径是24.6 cm，则它的体积为　________　 cm3.(精确到1 cm3) 解析：篮球的标准直径是24.6 cm，半径为12.3 cm，则它的体积V＝πr3＝π×(12.3)3≈7795 cm3. 答案：7795 7．如图，一个球被切掉左上角的，该几何体的体积是，则它的半径为　______　. 解析：设球的半径为R，则πR3×＝， 解得R＝2. 答案：2 8．设球的大圆面积是16 πcm2，求球的表面积和体积． 解：(1)球的最大圆面积是16 πcm2(球的最大圆即以球的半径为半径的圆) 即球的半径只满足πR2＝16 π. ∴R＝4 cm， ∴S球＝4πR2＝64 π(cm2)， V球＝πR3＝π×43＝π(cm3) 9．图中是某建筑物上面的半球状玻璃罩，假设其直径为10 m，试计算做这样一个玻璃罩需要多少玻璃材料(π取3.14，精确到0.01 m2，门框忽略不计)． 解析：因为球的直径为10 m，则半径为5 m，所以玻璃罩的表面积×4π×52≈50×3.14＝157.00(m2)． 答案：157.00 m2 [能力提升] 10．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 解析：B　[由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和，设大铁球的半径为r，可得πr3＝π(63＋83＋103)，则r3＝1728＝123，则r＝12.故选：B.] 11．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为(　　) A．4 π B. C．6 π D. 解析：A　[由题意知，圆锥的体积等于球的体积，设球的半径为R，则πR3＝π×22×1， 解得R＝1，故球的表面积为4πR2＝4π.故选：A.] 12．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的(　　) A．3倍 B．3倍 C．9倍 D．9倍 解析：C　[设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R′. V＝πR3，V′＝πR′3＝27V＝27×πR3， ∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2. 又S＝4πR2，∴S′＝9S，故选C.] 13．若某个球的大圆面积为4 π，则该球的体积为　________　. 解析：设球半径为r，因为球的大圆面积为4 π，故πr2＝4 π，即r＝2，所以该球的体积为πr3＝. 答案： 14．用一平面去截球所得截面的面积为πcm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是　______　 cm3. 解析：用一平面去截球所得截面为圆，设小圆的半径为r，球的半径为R， 由题意，πr2＝π，得r＝1 cm，又因为球心到该截面的距离为1 cm， 所以R＝＝，得球的体积为πR3＝ π()3＝ π cm3. 答案： π 15．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1 cm3)? (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100 g，共需胶多少？ 解析：(1)∵球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， ∴两个半球的体积之和V球＝πR3＝π·27＝36 πcm3，而V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18 πcm3， ∴该“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36 π＋18 π＝54 π≈169.6 cm3； (2)根据题意，上、下两个半球的表面积为S球表＝4πR2＝4×π×9＝36 πcm2，而“浮球”的圆柱筒侧面积S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12 πcm2， ∴1个“浮球”的表面积S＝＝πm2， ∴2500个“浮球”的表面积的和为2500× π＝12 πm2， ∵每平方米需要涂胶100 g， ∴总共需要胶的质量为100×12 π＝1200 πg. 答案：(1)169.6 cm3　(2)1200 πg 学科网（北京）股份有限公司 $$7.2.3　球 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第7章 简单几何体 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课程标准 素养解读 1.了解球的概念及其结构特征 2．会求球的表面积和体积 通过了解球的结构特征，从而计算球的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养 如图所示的足球、地球仪的外形是如何形成的？ 提示：半圆弧绕着直径所在的直线旋转一周形成的． [知识点一]　球　 定义 一个半圆绕着它的　直径　所在的直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为 球面 ，球面所围成的几何体称为 球体 ，简称　球　. 有关 概念 半圆的　圆心　称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为　球的半径　，半圆的　直径　叫做球的直径．用一个平面去截球，截面是圆面，这个圆面称为　球截面　，经过球心的平面截球所得的圆称为　球的大圆　，不经过球心的平面截球所得的圆称为　球的小圆　. 图形 表示法 球常用表示　球心　的字母表示，如上图中的球记为球　O　 当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： (1)球截面圆心与球心的连线垂直于球截面； (2)设球心到截面圆心的连线的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有r＝eq \r(R2－d2). 1.球的表面是曲面吗？ 提示：球的表面是曲面，不能在一个平面上展开，即使是球面上任意小的一块，也不能在一个平面上展开，因此球没有展开图． [知识点二]　球的表面积和体积　 球的半径为R，体积V＝　eq \f(4,3)πR3　.表面积S＝　4πR2　. 　2.球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数． (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体积，已知球的体积可求球的半径． (3)球的体积之比为其半径比的立方． 1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：B　[圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱．] 2．半径为3的球的体积是(　　) A．9π　　 B．27π　　 C．36π　　 D．81π 解析：C　[V＝eq \f(4,3)π×33＝36 π.] 3．若一个球的直径为2，则此球的表面积为(　　) A．2 π B．4 π C．8 π D．16 π 解析：B　[∵球的直径为2，∴球的半径为1， ∴球的表面积S＝4πR2＝4π.] 球的性质的应用 　一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为　________　. [思路点拨]　利用球及球截面的性质求解． [解析]　设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝eq \r(d2＋r2)＝eq \r(2)，故球的直径为2eq \r(2). [答案]　2eq \r(2) 有关球的截面问题应紧扣球及球截面的性质求解： 当球截面不经过球心时，球截面圆心与球心的连线垂直于球截面； 球心到截面的距离d，球的半径R，截面圆的半径r满足关系式：r＝eq \r(R2－d2). [变式训练] 1．如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为eq \r(3)，则球O的体积是(　　) A.eq \f(32,3) π　　　　 B.eq \f(16,3) π C．32 π D．16 π 解析：A　[设球O的半径为R，则R2－eq \f(R2,4)＝(eq \r(3))2，解得：R＝2， ∴球O的体积V＝eq \f(4π,3)R3＝eq \f(32,3)π.故选：A.] 球的表面积和体积 　(1)球的体积是eq \f(32π,3)，则此球的表面积是(　　) A．12 π B．16 π C.eq \f(16 π,3) D.eq \f(64 π,3) (2)球的表面积是4 π，则球的体积是　________　. [思路点拨]　(1)先根据球的体积，得出球的半径，再根据球的表面积公式求解； (2)先根据球的表面积，得出球的半径，再根据球的体积公式求解． [解析]　(1)eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3)，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16 π. (2)设球的半径为R，则4πR2＝4 π，解得R＝1，所以球的体积V＝eq \f(4,3) πR3＝eq \f(4,3) π. [答案]　(1)B　(2)eq \f(4,3)π 对于球的表面积公式S＝4πR2及球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3，一定要记准、记牢．计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R.一般来说，题中不会直接给出球的半径，而是将其隐藏在某些条件中．解题过程中，一定要注意 [变式训练] 2．已知球的大圆周长为6 π，则它的表面积和体积分别是(　　) A．36π，144π B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144π 解析：B　[设球的半径为R，则2πR＝6 π， ∴R＝3.∴球的表面积S＝4πR2＝36 π； 球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×27＝36 π.] 3．如果两个球的表面积之比为8∶27，那么这两个球的体积之比为(　　) A．2∶3 B．4∶9 C．16eq \r(2)∶81eq \r(3) D．16∶81 解析：C　[由eq \f(S1,S2)＝eq \f(8,27)得eq \f(r1,r2)＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，∴eq \f(V1,V2)＝eq \f(16\r(2),81\r(3))，故选C.] 球的切、接问题 　正方形的边长为a，分别求正方形的内切球和外接球的表面积、体积． [思路点拨]　正方体的内切球的直径是正方体的边长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线． [解]　正方体的内切球的直径大小等于正方体的边长的大小，则内切球的半径r＝eq \f(a,2)， 内切球的表面积S球＝4πr2＝πa2， 内切球的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(πa3,6)， 正方体的外接球的直径大小等于正方体的体对角线的大小(eq \r(3)a)，则外接球的半径R＝eq \f(\r(3)a,2)， 外接球的表面积S球＝4πR2＝3πa2， 外接球的体积V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(\r(3)πa3,2). [注意] 正方体的边长为a，它的每个面的对角线长为eq \r(2)a，正方体的对角线长为eq \r(3)a. [变式训练] 4．体积为8正方体的外接球的表面积为(　　) A．12 π　　 B．8 π　　 C．16 π　　 D．24 π 解析：A　[由a3＝8，得正方体棱长a＝2.由2r＝eq \r(a2＋a2＋a2)＝2eq \r(3)，得外接球的半径r＝eq \r(3)，则S表＝4πr2＝12 π.故选A.] 1．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆锥　　 B．球　　 C．圆柱　　 D．棱柱 解析：B　[选项A：当平面过圆锥的轴时所得截面为等腰三角形．不合题意；选项B：平面截球所得截面为大圆或小圆．符合题意；选项C：当平面过圆柱的轴时所得截面为矩形．不合题意；选项D：当平面平行于棱柱的底面时所得截面为与底面全等的多边形．不合题意．故选：B.] 2．球的直径为6，则其表面积和体积分别是(　　) A．9 π和36 π B．36 π和108 π C．36 π和36π D．9 π和108 π 解析：C　[由题知r＝3，S表＝4πr2＝36 π，V＝eq \f(4,3)πr3＝36 π，故选C.] 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1 cm，则球的表面积是(　　) A．π cm2 B．2π cm2 C．3π cm2 D．4 πcm2 解析：C　[球的半径r＝eq \f(1,2) eq \r(12＋12＋12)＝eq \f(\r(3),2)，则S表＝4πr2＝3π(cm2)．故选C.] 4．已知球的半径为2 cm，则其表面积为　________　，体积为　________　. 解析：直接代入公式计算即可． S表＝4πr2＝16πcm2，V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(32π,3)cm3. 答案：16 π　eq \f(32,3) π $$ [基础过关] 1．下列关于球体的说法中，错误的是(　　) A．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．用一个平面去截一个球得到的截面是圆面 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 解析：D　[对于A，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，A正确；对于B，用一个平面去截一个球得到的截面是圆面，B正确； 对于C，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体，C正确；对于D，球的每一条直径都是对称轴，有无数条，故D错误．故选：D.] 2．若一个球的体积为4 π，则它的表面积为(　　) A．3 π　　 B．12　　 C．12 π　　 D．36 π 解析：C　[设球的半径为R，依题意有R3＝4π，所以R＝， 所以球的表面积为S＝4πR2＝12 π，故选：C.] 3．如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 解析：A　[设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则＝＝2＝2＝.] 4．一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 解析：D　[设球的半径为r，球的半径扩大为2r， 原来球的体积为V1＝πr3，扩大后的球的体积为V2＝π(2r)3＝8×πr3， 所以V1∶V2＝1∶8， 即一个球的半径扩大为原来的2倍，则体积为原来的8倍，故选：D.] 5．棱长为1的正方体的内切球的表面积为　________　. 解析：由题意可知，内切球半径r＝，则S表＝4πr2＝π. 答案：π 6．篮球的标准直径是24.6 cm，则它的体积为　________　 cm3.(精确到1 cm3) 解析：篮球的标准直径是24.6 cm，半径为12.3 cm，则它的体积V＝πr3＝π×(12.3)3≈7795 cm3. 答案：7795 7．如图，一个球被切掉左上角的，该几何体的体积是，则它的半径为　______　. 解析：设球的半径为R，则πR3×＝， 解得R＝2. 答案：2 8．设球的大圆面积是16 πcm2，求球的表面积和体积． 解：(1)球的最大圆面积是16 πcm2(球的最大圆即以球的半径为半径的圆) 即球的半径只满足πR2＝16 π. ∴R＝4 cm， ∴S球＝4πR2＝64 π(cm2)， V球＝πR3＝π×43＝π(cm3) 9．图中是某建筑物上面的半球状玻璃罩，假设其直径为10 m，试计算做这样一个玻璃罩需要多少玻璃材料(π取3.14，精确到0.01 m2，门框忽略不计)． 解析：因为球的直径为10 m，则半径为5 m，所以玻璃罩的表面积×4π×52≈50×3.14＝157.00(m2)． 答案：157.00 m2 [能力提升] 10．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 解析：B　[由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和，设大铁球的半径为r，可得πr3＝π(63＋83＋103)，则r3＝1728＝123，则r＝12.故选：B.] 11．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为(　　) A．4 π B. C．6 π D. 解析：A　[由题意知，圆锥的体积等于球的体积，设球的半径为R，则πR3＝π×22×1， 解得R＝1，故球的表面积为4πR2＝4π.故选：A.] 12．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的(　　) A．3倍 B．3倍 C．9倍 D．9倍 解析：C　[设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R′. V＝πR3，V′＝πR′3＝27V＝27×πR3， ∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2. 又S＝4πR2，∴S′＝9S，故选C.] 13．若某个球的大圆面积为4 π，则该球的体积为　________　. 解析：设球半径为r，因为球的大圆面积为4 π，故πr2＝4 π，即r＝2，所以该球的体积为πr3＝. 答案： 14．用一平面去截球所得截面的面积为πcm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是　______　 cm3. 解析：用一平面去截球所得截面为圆，设小圆的半径为r，球的半径为R， 由题意，πr2＝π，得r＝1 cm，又因为球心到该截面的距离为1 cm， 所以R＝＝，得球的体积为πR3＝ π()3＝ π cm3. 答案： π 15．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1 cm3)? (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100 g，共需胶多少？ 解析：(1)∵球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， ∴两个半球的体积之和V球＝πR3＝π·27＝36 πcm3，而V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18 πcm3， ∴该“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36 π＋18 π＝54 π≈169.6 cm3； (2)根据题意，上、下两个半球的表面积为S球表＝4πR2＝4×π×9＝36 πcm2，而“浮球”的圆柱筒侧面积S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12 πcm2， ∴1个“浮球”的表面积S＝＝πm2， ∴2500个“浮球”的表面积的和为2500× π＝12 πm2， ∵每平方米需要涂胶100 g， ∴总共需要胶的质量为100×12 π＝1200 πg. 答案：(1)169.6 cm3　(2)1200 πg 学科网（北京）股份有限公司 $$