7.1.3 棱锥 （PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1．如图所示的图形中，棱锥的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[由棱锥定义可知①②④为棱锥，故选C.] 2．关于棱锥，下列说法不正确的是(　　) A．底面是任意多边形 B．侧面都是三角形 C．侧棱长都相等 D．侧棱都相交于一点 解析：C　[由棱锥定义可知A、B、D正确，只有正棱锥侧棱长相等，C错误，故选C.] 3．如图所示，ABC－A′B′C′是体积为2的直棱柱，则三棱锥C－A′B′C′的体积是(　　) A. B. C．1 D. 解析：B　[VC－A′B′C′＝V棱柱ABC－A′B′C′＝，故选B.] 4．棱长都是3的正四面体的表面积S为(　　) A．9 B．6 C．3 D．54 解析：A　[因为正四面体的棱长为3， 所以正四面体的表面积为4××32＝9，故选：A.] 5．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 解析：D　[正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高h′＝＝4，所以正四棱锥的侧面积S＝×4×6×4＝48，故选D.] 6．一个棱锥至少有　________　个面，面数最少的棱锥有　________　个顶点，有　________　条棱． 解析：满足题意的为三棱锥，至少有4个面，4个顶点，6条棱． 答案：4　4　6 7．由6个面围成的几何体，其中一个面是五边形，其余5个面都是有一个公共点的三角形，那么该几何体是　________　. 解析：由题设条件可知几何体为五棱锥． 答案：五棱锥 8．下列说法错误的是　________　. (1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； (2)正棱锥的侧面是等边三角形； (3)正三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形． 解析：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥；正棱锥的侧面是等腰三角形，(不一定是等边三角形)，故(1)(2)错误，(3)正确． 答案：(1)(2) 9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 画法：(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示； (2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示； (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． [能力提升] 10．各棱长均为a的三棱锥的表面积为(　　) A．4a2 B．3a2 C.a2 D．2a2 解析：C　[由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即4×a2＝a2，所以C选项是正确的．] 11．已知正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于(　　) A. B. C．4 D．4 解析：A　[如图，正四棱锥S－ABCD，SB＝，OB＝，则SO＝1， 则该正四棱锥的体积V＝×2×2×1＝.故选：A.] 12．如图所示，ABC－A′B′C′是体积为2的直棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　) A. B. C．1 D. 解析：D　[V三棱锥C－A′B′C′＝S△A′B′C′·CC′＝，则V四棱锥C－ABB′A′＝V三棱柱ABC－A′B′C′－V三棱锥C－A′B′C′＝2－＝.故选D.] 13．已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该正四棱锥的高为　________　. 解析：如图所示： 设正四棱锥的斜高PE＝h1，设该正四棱锥的高PO＝h，因为正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2， 所以有4××2×h1＝4⇒h1＝， 由勾股定理可知：h2＋OE2＝h⇒h＝＝1. 答案：1 14．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为　________　. 解析：如图所示，PO＝2，OH＝1则PH＝，S△PCD＝×2×＝， 故正四棱锥的表面积为2×2＋4×＝4＋4. 答案：4＋4 15．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD. (1)求它的表面积； (2)求它的体积． 解：(1)∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为4×·SA·SB·sin∠ASB＋AB2＝4××52×＋52＝25＋25； (2)连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接SO，则SO为棱锥的高， 则SO＝＝＝， 故棱锥的体积V＝×52×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．1.3　棱锥 课程标准 素养解读 1.了解棱锥的概念，理解棱锥的结构特征 2．理解正棱锥的有关概念 3．会求正棱锥的表面积和体积 1.通过棱锥概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 2．通过计算棱锥的表面积和体积，培养数学运算素养 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题：观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示：几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识点一]　棱锥　 定义 一般地，有一个面是　多边形　，其余各面是三角形，且这些三角形　有一个公共点　，我们称这样的多面体为棱锥． 有关 概念 多边形面称为棱锥的底面(简称底)，有　公共顶点　的各个三角形面称为棱锥的侧面；各侧面的　公共顶点　称为棱锥的顶点；相邻侧面的　公共边　称为棱锥的侧棱；　顶点到底面　的距离称为棱锥的高. 图形 表示法 用表示顶点和底面各顶点的　字母　表示，如上图中的棱锥可记为棱锥　S－ABCD　 分类 按底面多边形的　边数　分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫　四面体　 1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 提示：不一定是．如图所示的几何体不是棱锥． 2．一个棱锥至少有几个面？ 提示：一个棱锥至少有四个面． [知识点二]　正棱锥　 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如图中的h′. 正棱锥有下列性质： (1)各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形； (2)顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； (3)正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形． [知识点三]　正棱锥的表面积和体积　 S正棱锥侧＝ch′ S正棱锥表＝ch′＋S底 其中，c表示正棱锥底面的周长，h′是正棱锥的斜高，S底表示正棱锥的底面的面积． V正棱锥＝S底h. 其中，S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高． 1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱　　　　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④不是棱锥 解析：B　[①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④不是棱锥，故选B.] 2．棱锥的侧面和底面可以都是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：A　[三棱锥的侧面和底面均是三角形，故选A.] 3．若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为　________　. 解析：由题意的该四棱锥的体积V＝×2×2×2＝. 答案： 棱锥的表面积与体积 　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． [思路点拨]　利用正棱锥侧面积和表面积公式求解． [解析]　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形． 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1)． 　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积． [思路点拨]　利用棱锥体积公式求解． [解]　∵VM是棱锥的高， ∴VM⊥MC. 在Rt△VMC中， MC＝＝＝3(cm)， ∴AC＝2MC＝6(cm)． 在Rt△ABC中， BC＝＝＝2(cm)． S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)， ∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3)． ∴棱锥的体积为 cm3. (1)正棱锥的表面积的求法：能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加，计算时要注意构造直角三角形，直角梯形等； (2)棱锥的体积公式是V＝Sh，求棱锥体积的关键是确定棱锥的底面积和高． [变式训练] 1．已知四面体P－ABC的各棱长均为1，则该四面体的表面积为(　　) A．2　　 B．2　　 C．2　　 D. 解析：D　[因为四面体P－ABC的各棱长均为1， 所以四面体的四个面都是等边三角形， 所以该四面体的表面积为4××1×1×＝，故选：D.] 2．三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为(　　) A．4 B．6 C．12 D．24 解析：A　[因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为V＝Sh＝××2×3×4＝4，故选A.] 棱锥的直观图 　用斜二测画法画一个底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心，底面边长为2 cm，高为2 cm的棱锥． [思路点拨]　首先认清几何体的形状大小，然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可． [解]　(1)画轴．如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上截取线段MN＝2 cm，在y轴上截取线段PQ＝1 cm.分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是棱锥底面的直观图． (3)画高．在z轴上截取OO′＝2 cm. (4)成图．顺次连接AO′，BO′，CO′，DO′，整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)得到棱锥的直观图，如图(2)所示． 1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可． 2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变．” [变式训练] 3．画出底面边长为4 cm、高为5 cm的正四棱锥的直观图． 解：先画出底面，边长为4 cm的正方形ABCD的直观图，∠BAD＝45°，AB＝4，AD＝2， 连接AC与BD，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心， 过点O作底面的垂线PO，长度为5 cm，连接PA、PB、PC、PD，则作出底面边长为4 cm、高为5 cm的正四棱锥的直观图. 1．下列说法中，正确的是(　　) ①正棱锥的各个侧面都是等边三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．①　　 B．①②　　 C．②　　 D．③ 解析：C　[由棱锥的性质，知棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，故①错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误．] 2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是(　　) A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 解析：B　[由题图，截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，故该几何体为三棱锥．] 3．棱长均为1的正四面体的表面积是(　　) A. B.＋1 C．2 D．2＋1 解析：A　[如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1得， S△ABC＝AB·AC·sin 60°＝，所以可知：正四面体的表面积为4S△ABC＝，故选：A.] 4．如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是　________　. 解析：E、F分别为CD、BC的中点，故DE＝CE，CF＝BF，所以折叠后点B、C、D重合，据此作出图形．由图可知，此多面体为三棱锥． 答案：三棱锥 [基础过关] 1．如图所示的图形中，棱锥的个数是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[由棱锥定义可知①②④为棱锥，故选C.] 2．关于棱锥，下列说法不正确的是(　　) A．底面是任意多边形 B．侧面都是三角形 C．侧棱长都相等 D．侧棱都相交于一点 解析：C　[由棱锥定义可知A、B、D正确，只有正棱锥侧棱长相等，C错误，故选C.] 3．如图所示，ABC－A′B′C′是体积为2的直棱柱，则三棱锥C－A′B′C′的体积是(　　) A. B. C．1 D. 解析：B　[VC－A′B′C′＝V棱柱ABC－A′B′C′＝，故选B.] 4．棱长都是3的正四面体的表面积S为(　　) A．9 B．6 C．3 D．54 解析：A　[因为正四面体的棱长为3， 所以正四面体的表面积为4××32＝9，故选：A.] 5．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 解析：D　[正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高h′＝＝4，所以正四棱锥的侧面积S＝×4×6×4＝48，故选D.] 6．一个棱锥至少有　________　个面，面数最少的棱锥有　________　个顶点，有　________　条棱． 解析：满足题意的为三棱锥，至少有4个面，4个顶点，6条棱． 答案：4　4　6 7．由6个面围成的几何体，其中一个面是五边形，其余5个面都是有一个公共点的三角形，那么该几何体是　________　. 解析：由题设条件可知几何体为五棱锥． 答案：五棱锥 8．下列说法错误的是　________　. (1)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； (2)正棱锥的侧面是等边三角形； (3)正三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形． 解析：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥；正棱锥的侧面是等腰三角形，(不一定是等边三角形)，故(1)(2)错误，(3)正确． 答案：(1)(2) 9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 画法：(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示； (2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示； (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． [能力提升] 10．各棱长均为a的三棱锥的表面积为(　　) A．4a2 B．3a2 C.a2 D．2a2 解析：C　[由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即4×a2＝a2，所以C选项是正确的．] 11．已知正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于(　　) A. B. C．4 D．4 解析：A　[如图，正四棱锥S－ABCD，SB＝，OB＝，则SO＝1， 则该正四棱锥的体积V＝×2×2×1＝.故选：A.] 12．如图所示，ABC－A′B′C′是体积为2的直棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　) A. B. C．1 D. 解析：D　[V三棱锥C－A′B′C′＝S△A′B′C′·CC′＝，则V四棱锥C－ABB′A′＝V三棱柱ABC－A′B′C′－V三棱锥C－A′B′C′＝2－＝.故选D.] 13．已知正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2，则该正四棱锥的高为　________　. 解析：如图所示： 设正四棱锥的斜高PE＝h1，设该正四棱锥的高PO＝h，因为正四棱锥的侧面积为4，底面边长为2， 所以有4××2×h1＝4⇒h1＝， 由勾股定理可知：h2＋OE2＝h⇒h＝＝1. 答案：1 14．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为　________　. 解析：如图所示，PO＝2，OH＝1则PH＝，S△PCD＝×2×＝， 故正四棱锥的表面积为2×2＋4×＝4＋4. 答案：4＋4 15．已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD. (1)求它的表面积； (2)求它的体积． 解：(1)∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形， ∴它的表面积为4×·SA·SB·sin∠ASB＋AB2＝4××52×＋52＝25＋25； (2)连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接SO，则SO为棱锥的高， 则SO＝＝＝， 故棱锥的体积V＝×52×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$7.1.3　棱锥 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第7章 简单几何体 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课程标准 素养解读 1.了解棱锥的概念，理解棱锥的结构特征 2．理解正棱锥的有关概念 3．会求正棱锥的表面积和体积 1.通过棱锥概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 2．通过计算棱锥的表面积和体积，培养数学运算素养 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题：观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示：几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识点一]　棱锥　 定义 一般地，有一个面是　多边形　，其余各面是三角形，且这些三角形　有一个公共点　，我们称这样的多面体为棱锥． 有关 概念 多边形面称为棱锥的底面(简称底)，有　公共顶点　的各个三角形面称为棱锥的侧面；各侧面的　公共顶点　称为棱锥的顶点；相邻侧面的　公共边　称为棱锥的侧棱；　顶点到底面　的距离称为棱锥的高. 图形 表示法 用表示顶点和底面各顶点的　字母　表示，如上图中的棱锥可记为棱锥　S－ABCD　 分类 按底面多边形的　边数　分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫　四面体　 1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 提示：不一定是．如图所示的几何体不是棱锥． 2．一个棱锥至少有几个面？ 提示：一个棱锥至少有四个面． [知识点二]　正棱锥　 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如图中的h′. 正棱锥有下列性质： (1)各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形； (2)顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； (3)正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形． [知识点三]　正棱锥的表面积和体积　 S正棱锥侧＝eq \f(1,2)ch′ S正棱锥表＝eq \f(1,2)ch′＋S底 其中，c表示正棱锥底面的周长，h′是正棱锥的斜高，S底表示正棱锥的底面的面积． V正棱锥＝eq \f(1,3)S底h. 其中，S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高． 1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱　　　　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④不是棱锥 解析：B　[①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④不是棱锥，故选B.] 2．棱锥的侧面和底面可以都是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：A　[三棱锥的侧面和底面均是三角形，故选A.] 3．若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为　________　. 解析：由题意的该四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×2×2×2＝eq \f(8,3). 答案：eq \f(8,3) 棱锥的表面积与体积 　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． [思路点拨]　利用正棱锥侧面积和表面积公式求解． [解析]　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形． 设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB， ∴S侧＝4S△SAB＝4×eq \f(1,2)AB×SE＝2×5×eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝25eq \r(3)，S表＝S侧＋S底＝25eq \r(3)＋25＝25(eq \r(3)＋1)． 　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积． [思路点拨]　利用棱锥体积公式求解． [解]　∵VM是棱锥的高， ∴VM⊥MC. 在Rt△VMC中， MC＝eq \r(VC2－VM2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)， ∴AC＝2MC＝6(cm)． 在Rt△ABC中， BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(62－42)＝2eq \r(5)(cm)． S底＝AB·BC＝4×2eq \r(5)＝8eq \r(5)(cm2)， ∴V锥＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)×8eq \r(5)×4＝eq \f(32\r(5),3)(cm3)． ∴棱锥的体积为eq \f(32\r(5),3) cm3. (1)正棱锥的表面积的求法：能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加，计算时要注意构造直角三角形，直角梯形等； (2)棱锥的体积公式是V＝eq \f(1,3)Sh，求棱锥体积的关键是确定棱锥的底面积和高． [变式训练] 1．已知四面体P－ABC的各棱长均为1，则该四面体的表面积为(　　) A．2　　 B．2eq \r(3)　　 C．2eq \r(2)　　 D.eq \r(3) 解析：D　[因为四面体P－ABC的各棱长均为1， 所以四面体的四个面都是等边三角形， 所以该四面体的表面积为4×eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，故选：D.] 2．三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为(　　) A．4 B．6 C．12 D．24 解析：A　[因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×3×4＝4，故选A.] 棱锥的直观图 　用斜二测画法画一个底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心，底面边长为2 cm，高为2 cm的棱锥． [思路点拨]　首先认清几何体的形状大小，然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可． [解]　(1)画轴．如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上截取线段MN＝2 cm，在y轴上截取线段PQ＝1 cm.分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是棱锥底面的直观图． (3)画高．在z轴上截取OO′＝2 cm. (4)成图．顺次连接AO′，BO′，CO′，DO′，整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)得到棱锥的直观图，如图(2)所示． 1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可． 2．直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变．” [变式训练] 3．画出底面边长为4 cm、高为5 cm的正四棱锥的直观图． 解：先画出底面，边长为4 cm的正方形ABCD的直观图，∠BAD＝45°，AB＝4，AD＝2， 连接AC与BD，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心， 过点O作底面的垂线PO，长度为5 cm，连接PA、PB、PC、PD，则作出底面边长为4 cm、高为5 cm的正四棱锥的直观图. 1．下列说法中，正确的是(　　) ①正棱锥的各个侧面都是等边三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．①　　 B．①②　　 C．②　　 D．③ 解析：C　[由棱锥的性质，知棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，故①错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误．] 2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是(　　) A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 解析：B　[由题图，截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，故该几何体为三棱锥．] 3．棱长均为1的正四面体的表面积是(　　) A.eq \r(3) B.eq \r(3)＋1 C．2eq \r(3) D．2eq \r(3)＋1 解析：A　[如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1得， S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin 60°＝eq \f(\r(3),4)，所以可知：正四面体的表面积为4S△ABC＝eq \r(3)，故选：A.] 4．如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是　________　. 解析：E、F分别为CD、BC的中点，故DE＝CE，CF＝BF，所以折叠后点B、C、D重合，据此作出图形．由图可知，此多面体为三棱锥． 答案：三棱锥 $$