7.1.1 棱柱（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

7．1　多面体 7．1.1　棱柱 课程标准 素养解读 1.了解棱柱的概念，理解棱柱的结构特征 2．理解直棱柱、正棱柱的有关概念 3．会求直棱柱的表面积和体积 1.通过棱柱概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 2．通过计算棱柱的表面积和体积，培养数学运算素养 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题：观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示：几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识点一]　多面体　 (1)多面体：由若干个　平面多边形　围成的封闭的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的　面　；相邻两个面的　公共边　叫做多面体的棱；棱与棱的　公共点　叫做多面体的顶点． [知识点二]　棱柱　 定义 一般地，有两个面互相　平行　，其余面都是　平行四边形　的多面体称为棱柱 有关 概念 棱柱中，两个互相　平行　的面称为棱柱的底面，其余的面叫做棱柱的侧面；两个侧面的　公共边　称为棱柱的侧棱；侧棱与底面的　交点　称为棱柱的顶点；不在　同一平面上　的两个顶点的连线称为棱柱的对角线；两个　底面间　的距离称为棱柱的高 图形 表示法 用表示底面各顶点的　字母　表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCD－A′B′C′D′ 分类 按底面多边形的　边数　分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… [知识点三]　正棱柱的性质：　 (1)两个底面是平行且全等的正多边形； (2)侧面都是全等的矩形； (3)侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高． [知识点四]　直棱柱的表面积和体积　 直棱柱的侧面积为S直棱柱侧＝ch 直棱柱的表面积为S直棱柱表＝ch＋2S底 直棱柱的体积公式V直棱柱＝S底h 其中，S底表示直棱柱的底面的面积，c是表示直棱柱的底面周长，h是直棱柱的高． 1．棱柱的侧棱(　　) A．相交于一点 B．平行但不相等 C．平行且相等 D．可能平行也可能相交于一点 解析：C　[棱柱的侧棱互相平行且相等，故选C.] 2．下面多面体中，是棱柱的共有(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 解析：D　[根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．] 3．如果一个长方体的长、宽、高分别是6,5,3，则它的体积为(　　) A．15 B．18 C．30 D．90 解析：D　[因长方体的长、宽、高分别是6,5,3，所以该长方体的体积为V＝6×5×3＝90.故选：D.] 棱柱的结构特征 　下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是　________　. [思路点拨]　首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质． [解析]　(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)． [答案]　(3)(4) 有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个底面互相平行； ②其余各面是平行四边形； ③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等． 求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱都相等 C．棱柱的棱都平行 D．棱柱的侧棱总与底面垂直 解析：B　[由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．] 直棱柱的表面积与体积 　长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　) A．12,32　 B．12,24　 C．22,12　 D．12,11 [思路点拨]　利用直棱柱表面积和体积求解． [解析]　长方体的体积为2×2×3＝12，表面积为2(2×2＋2×3＋2×3)＝32，故选：A. [答案]　A 　一个直四棱柱的油槽，可以装煤油90 L，它的底面是等腰梯形，上底边长60 cm，下底边长40 cm，高10 cm，如图所示，求油糟的深度和油槽的侧面积． [思路点拨]　已知容积是90 L，根据体积公式V＝S底h进行计算，求油槽的深度就是求直四棱柱的高h，进而再计算侧面积． [解]　因为V＝90 L＝90 000 mL＝90 000cm3，S底＝×(40＋60)×10＝500(cm2)， 所以h＝＝＝180(cm)． 等腰梯形的腰为＝10(cm)． S侧＝ch＝(2×10＋60＋40)×180＝18 000＋3 600(cm2)． (1)棱柱的表面积的求法：能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加，计算时要注意构造直角三角形，直角梯形等； (2)棱柱的体积公式是V＝Sh，求棱柱体积的关键是确定棱柱的底面积和高． [变式训练] 2．底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是(　　) A．3 B. C．3＋ D．3＋ 解析：D　[表面积为2××1×1×＋3×1×1＝＋3.故选：D.] 3．2021年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行，其中某泳池池深约3.5 m，容积约为4375 m3，若水深要求不低于1.8 m，则池内蓄水至少为(　　) A．2250 m3 B．2500 m3 C．2750 m3 D．2000 m3 解析：A　[由题意，池底面积S＝ m2＝1250 m2，则蓄水量至少为1250×1.8＝2250 m3.故选：A.] 1．正方体的棱长为2，则它的体积为(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：D　[正方体的体积V＝23＝8.故选：D.] 2．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(　　) A. B．1 C. D. 解析：A　[底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是×1＝，故选：A.] 3．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　) A．6 B．3 C．11 D．12 解析：A　[设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.] 4．正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为6，则此三棱柱的体积为　________　. 解析：作出图示如图所示： 因为AB＝BC＝AC＝6，所以S△ABC＝×6×6×＝9， 所以此三棱柱的体积为＝9×4＝36. 答案：36. [基础过关] 1．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱柱的各条棱都相等 C．所有几何体的表面都能展成平面图形 D．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 解析：D　[棱柱的侧面都是四边形，A不正确；棱柱的各条侧棱都相等，所以B不正确；球不能展开为平面图形，C不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，D正确；故选：D.] 2．下列几何体不属于棱柱的是(　　) 解析：D　[有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，所以不属于棱柱的图形为D选项．故选：D.] 3．下列叙述中，错误的一项为(　　) A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 解析：A　[在A中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A错误；在B中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确；在C中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确；在D中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，由这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D正确．故选：A.] 4．已知某正方体的表面积为96，则该正方体的体积为(　　) A．48　　 B．64　　 C．16　　 D．96 解析：B　[由题意，若正方体的棱长为a，则6a2＝96，可得a＝4. ∴正方体的体积为a3＝64.故选：B.] 5．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 解析：A　[长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22.] 6．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为　________　. 解析：V＝5×5×4＝100. 答案：100 7．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于　________　. 解析：因为直棱柱的底面周长为12，高为4， 所以这个棱柱的侧面积为12×4＝48. 答案：48 8．已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为　________　. 解析：因为长方体的长、宽、高分别为3、4、12， 所以，其体对角线长为＝13. 答案：13 9．若长方体的三个面的面积分别是cm2，cm2，cm2，求： (1)长方体的体对角线的长； (2)长方体的表面积． 解：(1)设长方体的长，宽，高分别为a cm，b cm，c cm，如图． 可令解得 ∵BD＝DD＋BD2＝DD＋AD2＋AB2＝a2＋b2＋c2＝6，∴BD1＝cm，∴该长方体的体对角线长为cm. (2)S表＝(2＋2＋2)cm2. [能力提升] 10．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　) A．6 B. C．3 D．2 解析：B　[设长方体的长、宽、高分别为x、y、z， 则xy＝，yz＝，xz＝， ∴(xyz)2＝6， ∴V＝xyz＝.故选：B.] 11．若一个正方体的表面积是72，则它的对角线长为(　　) A．2 B．12 C. D．6 解析：D　[设正方体的棱长为x，对角线长为a，则有6x2＝72，解得x2＝12， 从而a2＝3x2＝36，解得a＝6.故选：D.] 12．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的表面积为(　　) A．90 cm2 B．36 cm2 C．72 cm2 D．54 cm2 解析：A　[由题意侧棱长为＝6. 所以表面积为：S＝4×3×6＋2×32＝90(cm2)．故选：A.] 13．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为　________　 cm2. 解析：棱柱侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积 ∴棱柱的侧面积为：3×5×4＝60 答案：60. 14．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为　________　. 解析：由题可得该正四棱柱的体积为2×2×4＝16. 答案：16 15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》重有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈．问积几何？答曰：四千三百七十尺．意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈．问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺．若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺) 解：依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱， 底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺， 因为该沟两边坡面坡角相等，所以坡面宽为＝， 所以此沟表面为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺，尺，尺，所以面积共计700＋350为平方尺． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．下列说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．棱柱的各条棱都相等 C．所有几何体的表面都能展成平面图形 D．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 解析：D　[棱柱的侧面都是四边形，A不正确；棱柱的各条侧棱都相等，所以B不正确；球不能展开为平面图形，C不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，D正确；故选：D.] 2．下列几何体不属于棱柱的是(　　) 解析：D　[有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，所以不属于棱柱的图形为D选项．故选：D.] 3．下列叙述中，错误的一项为(　　) A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 解析：A　[在A中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A错误；在B中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确；在C中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C正确；在D中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，由这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D正确．故选：A.] 4．已知某正方体的表面积为96，则该正方体的体积为(　　) A．48　　 B．64　　 C．16　　 D．96 解析：B　[由题意，若正方体的棱长为a，则6a2＝96，可得a＝4. ∴正方体的体积为a3＝64.故选：B.] 5．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 解析：A　[长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22.] 6．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为　________　. 解析：V＝5×5×4＝100. 答案：100 7．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于　________　. 解析：因为直棱柱的底面周长为12，高为4， 所以这个棱柱的侧面积为12×4＝48. 答案：48 8．已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为　________　. 解析：因为长方体的长、宽、高分别为3、4、12， 所以，其体对角线长为＝13. 答案：13 9．若长方体的三个面的面积分别是cm2，cm2，cm2，求： (1)长方体的体对角线的长； (2)长方体的表面积． 解：(1)设长方体的长，宽，高分别为a cm，b cm，c cm，如图． 可令解得 ∵BD＝DD＋BD2＝DD＋AD2＋AB2＝a2＋b2＋c2＝6，∴BD1＝cm，∴该长方体的体对角线长为cm. (2)S表＝(2＋2＋2)cm2. [能力提升] 10．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为(　　) A．6 B. C．3 D．2 解析：B　[设长方体的长、宽、高分别为x、y、z， 则xy＝，yz＝，xz＝， ∴(xyz)2＝6， ∴V＝xyz＝.故选：B.] 11．若一个正方体的表面积是72，则它的对角线长为(　　) A．2 B．12 C. D．6 解析：D　[设正方体的棱长为x，对角线长为a，则有6x2＝72，解得x2＝12， 从而a2＝3x2＝36，解得a＝6.故选：D.] 12．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的表面积为(　　) A．90 cm2 B．36 cm2 C．72 cm2 D．54 cm2 解析：A　[由题意侧棱长为＝6. 所以表面积为：S＝4×3×6＋2×32＝90(cm2)．故选：A.] 13．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为5 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为　________　 cm2. 解析：棱柱侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积 ∴棱柱的侧面积为：3×5×4＝60 答案：60. 14．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为　________　. 解析：由题可得该正四棱柱的体积为2×2×4＝16. 答案：16 15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》重有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈．问积几何？答曰：四千三百七十尺．意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈．问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺．若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺) 解：依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱， 底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺， 因为该沟两边坡面坡角相等，所以坡面宽为＝， 所以此沟表面为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺，尺，尺，所以面积共计700＋350为平方尺． 学科网（北京）股份有限公司 $$7.1　多面体 7.1.1　棱柱 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第7章 简单几何体 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第7章 简单几何体 课程标准 素养解读 1.了解棱柱的概念，理解棱柱的结构特征 2．理解直棱柱、正棱柱的有关概念 3．会求直棱柱的表面积和体积 1.通过棱柱概念和特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养 2．通过计算棱柱的表面积和体积，培养数学运算素养 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题：观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示：几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识点一]　多面体　 (1)多面体：由若干个　平面多边形　围成的封闭的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的　面　；相邻两个面的　公共边　叫做多面体的棱；棱与棱的　公共点　叫做多面体的顶点． [知识点二]　棱柱　 定义 一般地，有两个面互相　平行　，其余面都是　平行四边形　的多面体称为棱柱 有关 概念 棱柱中，两个互相　平行　的面称为棱柱的底面，其余的面叫做棱柱的侧面；两个侧面的　公共边　称为棱柱的侧棱；侧棱与底面的　交点　称为棱柱的顶点；不在　同一平面上　的两个顶点的连线称为棱柱的对角线；两个　底面间　的距离称为棱柱的高 图形 表示法 用表示底面各顶点的　字母　表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCD－A′B′C′D′ 分类 按底面多边形的　边数　分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… [知识点三]　正棱柱的性质：　 (1)两个底面是平行且全等的正多边形； (2)侧面都是全等的矩形； (3)侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高． [知识点四]　直棱柱的表面积和体积　 直棱柱的侧面积为S直棱柱侧＝ch 直棱柱的表面积为S直棱柱表＝ch＋2S底 直棱柱的体积公式V直棱柱＝S底h 其中，S底表示直棱柱的底面的面积，c是表示直棱柱的底面周长，h是直棱柱的高． 1．棱柱的侧棱(　　) A．相交于一点 B．平行但不相等 C．平行且相等 D．可能平行也可能相交于一点 解析：C　[棱柱的侧棱互相平行且相等，故选C.] 2．下面多面体中，是棱柱的共有(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 解析：D　[根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．] 3．如果一个长方体的长、宽、高分别是6,5,3，则它的体积为(　　) A．15 B．18 C．30 D．90 解析：D　[因长方体的长、宽、高分别是6,5,3，所以该长方体的体积为V＝6×5×3＝90.故选：D.] 棱柱的结构特征 　下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是　________　. [思路点拨]　首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质． [解析]　(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)． [答案]　(3)(4) 有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个底面互相平行； ②其余各面是平行四边形； ③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等． 求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱都相等 C．棱柱的棱都平行 D．棱柱的侧棱总与底面垂直 解析：B　[由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．] 直棱柱的表面积与体积 　长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　) A．12,32　 B．12,24　 C．22,12　 D．12,11 [思路点拨]　利用直棱柱表面积和体积求解． [解析]　长方体的体积为2×2×3＝12，表面积为2(2×2＋2×3＋2×3)＝32，故选：A. [答案]　A 　一个直四棱柱的油槽，可以装煤油90 L，它的底面是等腰梯形，上底边长60 cm，下底边长40 cm，高10 cm，如图所示，求油糟的深度和油槽的侧面积． [思路点拨]　已知容积是90 L，根据体积公式V＝S底h进行计算，求油槽的深度就是求直四棱柱的高h，进而再计算侧面积． [解]　因为V＝90 L＝90 000 mL＝90 000cm3，S底＝eq \f(1,2)×(40＋60)×10＝500(cm2)， 所以h＝eq \f(V,S底)＝eq \f(90 000,500)＝180(cm)． 等腰梯形的腰为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－40,2)))2＋102)＝10eq \r(2)(cm)． S侧＝ch＝(2×10eq \r(2)＋60＋40)×180＝18 000＋3 600eq \r(2)(cm2)． (1)棱柱的表面积的求法：能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加，计算时要注意构造直角三角形，直角梯形等； (2)棱柱的体积公式是V＝Sh，求棱柱体积的关键是确定棱柱的底面积和高． [变式训练] 2．底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是(　　) A．3 B.eq \f(\r(3),2) C．3＋eq \f(\r(3),4) D．3＋eq \f(\r(3),2) 解析：D　[表面积为2×eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(3),2)＋3×1×1＝eq \f(\r(3),2)＋3.故选：D.] 3．2021年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行，其中某泳池池深约3.5 m，容积约为4375 m3，若水深要求不低于1.8 m，则池内蓄水至少为(　　) A．2250 m3 B．2500 m3 C．2750 m3 D．2000 m3 解析：A　[由题意，池底面积S＝eq \f(4375,3.5) m2＝1250 m2，则蓄水量至少为1250×1.8＝2250 m3.故选：A.] 1．正方体的棱长为2，则它的体积为(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 解析：D　[正方体的体积V＝23＝8.故选：D.] 2．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(　　) A.eq \r(3) B．1 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3) 解析：A　[底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))×1＝eq \r(3)，故选：A.] 3．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(　　) A．6eq \r(3) B．3eq \r(6) C．11 D．12 解析：A　[设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq \r(3).] 4．正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为6，则此三棱柱的体积_______. 解析：作出图示如图所示： 因为AB＝BC＝AC＝6，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×6×6×eq \f(\r(3),2)＝9eq \r(3)， 所以此三棱柱的体积为＝9eq \r(3)×4＝36eq \r(3). 答案：36eq \r(3). $$