6.6 直线与圆的方程应用举例（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

6．6　直线与圆的方程应用举例 课程标准 素养解读 1.初步掌握用直线方程与圆方程解决实际问题的方法 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过直线与圆的方程的应用举例，提升数据分析、数学抽象、逻辑推理与数学建模的数学素养 设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为　________　. 提示：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2. [知识点一]　解决实际问题的一般程序　 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案． [知识点二]　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”　 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 解析：D　[不同的建系方法得到的方程不同，故选D.] 2．以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，那么圆M的半径r的取值范围是(　　) A．0<r<2　　　　　 B．0<r< C．0<r<2 D．0<r<10 解析：C　[圆心M到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝2，由0<r<d，知C项正确．] 3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是　________　. 解析：圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(2,2)，r＝3 . 圆心到直线的距离d＝＝5. 最大距离与最小距离的差为d＋r－(d－r)＝2r＝6 . 答案：6 　　　与直线有关的应用问题 　光线从点M(－2,3)射到点P(1,0)然后被x轴反射， 求反射光线所在直线的方程． [思路点拨]　先求M点关于x轴的对称点，再写直线方程． [解]　设点M′是点M关于x轴的对称点，则直线M′P是反射光线所在直线 点M(－2,3)关于x轴的对称点为M′(－2，－3)，根据反射光线的性质可知，点M′在反射光线所在的直线上，如图， 反射光线经过M′(－2，－3)和P(1,0)， 由点斜式整理得x－y－1＝0，这就是反射光线所在的直线方程． 反射光线问题实质是点关于直线的对称问题， 如图所示，已知点P(xP，yP)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求P关于直线l的对称点P′这类问题，通常可以设P′的坐标为(a，b)，利用PP′的中点在对称轴l上，以及PP′⊥l来建立方程组，求解a和b. 记住几个特殊的结论：点P(a，b)关于x轴的对称点为(a，－b)，关于y轴的对称点为(－a，b)，关于直线y＝x的对称点为(b，a)，关于直线y＝－x的对称点为(－b，－a)． [变式训练] 1．光线从点M(2,1)射到点P(－1,0)后被x轴反射，判断反射光线是否经过点Q(－7,2)． 解：光线从点M(2,1)射到点P(－1,0)后被x轴反射，根据直线MP的斜率为＝，直线PQ的斜率为＝－，直线MP的斜率和直线PQ的斜率互为相反数，故它们的倾斜角互补，根据反射定律，反射光线经过点Q(－7,2)． 　　　直线与圆的方程的实际应用 　如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [思路点拨]　此题可转化为直线与圆的位置关系的判断，利用弦长与速度可得时间． [解]　如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)， 圆O的方程为x2＋y2＝252. 直线AB的方程为＋ ＝1， 即3x＋4y－120＝0. 设点O到直线AB的距离为d， 则d＝ ＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t， 则t＝ ＝0.5(h)． 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [变式训练] 2．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)(　　) A．100　　　　　 B．100 C．150 D．150 解析：A　[以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k＞0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时＝45，解得k＝1，此时求得小路长度为100 m．] 1．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A.　　　　　　 B. C．1 D．5 解析：A　[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝ ，圆心到直线的距离d＝＝ ，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝ .] 2．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶(平顶)距离地面的高度不得超过(　　) A．2.4米 B．3米 C．3.6米 D．2米 解析：B　[以半圆直径所在直线为x轴，过圆心与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的坐标系．由半圆的半径为 可知，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝10.由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车顶可达到最高．此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)．] 3．某零件的横截面积如图所示，若建立平面直角坐标系，设点A为坐标原点，则点B、C、D、E、F的坐标分别为　________　、　________　、　________　、　________　、　________　. 解析：根据图中尺寸，可得各点坐标如下：B(10,0)，C(10,10)，D(10,17)，E(5,17)，F(0,12)． 答案：(10,0)　(10,10)　(10,17)　(5,17)　(0,12) 4．从点A(2,2)发射出一条光线，由x轴反射后经过点B(－8,3)，则反射点C的坐标为　________　. 解析：点B(－8,3)关于x轴的对称点为B′(－8，－3)，又A(2,2)．可得入射光线；x－2y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，故反射点C的坐标为(－2,0)． 答案：(－2,0) [基础过关] 1．y＝|x|的图像和圆x2＋y2＝4所围成的较小扇形的面积是(　　) A. 　　 B. 　　　 C. 　　 D．π 解析：D　[如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的 .] 2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：B　[x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.] 3．从点M(2,5)射出一条光线，经过x轴反射后经过点N(－4,1)，则反射光线所在的直线的方程为(　　) A．x＋y＋3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：A　[将点N(－4,1)分别代入ABCD选项方程，只有A符合题意．] 4．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为(　　) A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 解析：B　[设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝ ，所以拱桥的直径为13 m．] 5．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－ 或－ B．－ 或－ C．－ 或－ D．－ 或－ 解析：D　[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线所在直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝ ＝1，解得k＝－ 或k＝－ .故选D.] 6．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为　________　. 解析：根据题意得，圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝3，其圆心坐标为(0,3)，半径r＝ .直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝r cos 30°＝，则有＝，解得a＝±. 答案：± 7．如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　________　m. 解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m. 答案：2 8．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．若M为圆C上的任一点，则|MQ|的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8； 因为圆心C的坐标为(2,7)， 所以|CQ|＝4 >2 .∴Q在圆外， 所以|MQ|max＝4＋2＝6 ， |MQ|min＝4－2＝2 . 答案：6 　2 9．光线从点A(－5,5)射出，射到x轴上，被x轴反射后，经过点B(1,2)，求反射光线及入射光线所在的直线方程． 解：如图，点A(－5,5)关于x轴的对称点为A′(－5，－5)， 由入射光线和反射光线的性质可得：反射光线即为过A′B的直线， ∵B(1,2)，∴由直线方程的点斜式可得反射光线所在的直线方程为7x－6y＋5＝0. 令y＝0，得直线7x－6y＋5＝0与x轴的交点为. 由直线方程的点斜式可得入射光线所在的直线方程为7x＋6y＋5＝0. [能力提升] 10．已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b，若圆x2＋y2＝4上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为(　　) A．(－1,1) B．[－1,1] C．[－ ， ] D．(－ ， ) 解析：D　[因为圆x2＋y2＝4上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：y＝x＋b的距离小于1，因此有 <1，即|b|<，解得－<b< .] 11．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为(　　) A．6 km B．(4－1) km C．(4＋1) km D．4 km 解析：B　[以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)， 所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8. 当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1) km.] 12．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，公园外两点A(－2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点连接后修建一处三角形状舞台，则舞台面积的最小值为(　　) A．3－ B．3＋ C．3－ D. 解析：A　[lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝＝， 所以AB边上的高的最小值为－1. 所以Smin＝×2×＝3－.] 13．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　________　 h. 解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，BC＝ABsin 45°＝20 |MN|＝2 CM＝2＝20 (km)，所以时间为1 h. 答案：1 14．某地要建造一座跨度为8 m，拱高为2 m的圆拱桥，每隔1 m需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度．(精确到0.01 m) 解：由题意得：该弧所对的弦长为8， 设半径为r， ∵拱高为2 ∴(r－2)2＋42＝r2， 解得：r＝5， 设第二根支柱的长度为xm， (x＋3)2＋(4－2)2＝52 解得：x＝－3≈1.58(m)． 15．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D， 则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离 d＝＝10＜10， 故该船有触礁的危险． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．y＝|x|的图像和圆x2＋y2＝4所围成的较小扇形的面积是(　　) A. 　　 B. 　　　 C. 　　 D．π 解析：D　[如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的 .] 2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：B　[x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.] 3．从点M(2,5)射出一条光线，经过x轴反射后经过点N(－4,1)，则反射光线所在的直线的方程为(　　) A．x＋y＋3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：A　[将点N(－4,1)分别代入ABCD选项方程，只有A符合题意．] 4．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为(　　) A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 解析：B　[设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝ ，所以拱桥的直径为13 m．] 5．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－ 或－ B．－ 或－ C．－ 或－ D．－ 或－ 解析：D　[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线所在直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝ ＝1，解得k＝－ 或k＝－ .故选D.] 6．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为　________　. 解析：根据题意得，圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝3，其圆心坐标为(0,3)，半径r＝ .直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝r cos 30°＝，则有＝，解得a＝±. 答案：± 7．如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　________　m. 解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m. 答案：2 8．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．若M为圆C上的任一点，则|MQ|的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8； 因为圆心C的坐标为(2,7)， 所以|CQ|＝4 >2 .∴Q在圆外， 所以|MQ|max＝4＋2＝6 ， |MQ|min＝4－2＝2 . 答案：6 　2 9．光线从点A(－5,5)射出，射到x轴上，被x轴反射后，经过点B(1,2)，求反射光线及入射光线所在的直线方程． 解：如图，点A(－5,5)关于x轴的对称点为A′(－5，－5)， 由入射光线和反射光线的性质可得：反射光线即为过A′B的直线， ∵B(1,2)，∴由直线方程的点斜式可得反射光线所在的直线方程为7x－6y＋5＝0. 令y＝0，得直线7x－6y＋5＝0与x轴的交点为. 由直线方程的点斜式可得入射光线所在的直线方程为7x＋6y＋5＝0. [能力提升] 10．已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b，若圆x2＋y2＝4上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为(　　) A．(－1,1) B．[－1,1] C．[－ ， ] D．(－ ， ) 解析：D　[因为圆x2＋y2＝4上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：y＝x＋b的距离小于1，因此有 <1，即|b|<，解得－<b< .] 11．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为(　　) A．6 km B．(4－1) km C．(4＋1) km D．4 km 解析：B　[以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)， 所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8. 当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1) km.] 12．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，公园外两点A(－2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点连接后修建一处三角形状舞台，则舞台面积的最小值为(　　) A．3－ B．3＋ C．3－ D. 解析：A　[lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝＝， 所以AB边上的高的最小值为－1. 所以Smin＝×2×＝3－.] 13．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　________　 h. 解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，BC＝ABsin 45°＝20 |MN|＝2 CM＝2＝20 (km)，所以时间为1 h. 答案：1 14．某地要建造一座跨度为8 m，拱高为2 m的圆拱桥，每隔1 m需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度．(精确到0.01 m) 解：由题意得：该弧所对的弦长为8， 设半径为r， ∵拱高为2 ∴(r－2)2＋42＝r2， 解得：r＝5， 设第二根支柱的长度为xm， (x＋3)2＋(4－2)2＝52 解得：x＝－3≈1.58(m)． 15．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D， 则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离 d＝＝10＜10， 故该船有触礁的危险． 学科网（北京）股份有限公司 $$6.6　直线与圆的方程应用举例 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第6章 直线与圆的方程 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课程标准 素养解读 1.初步掌握用直线方程与圆方程解决实际问题的方法 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过直线与圆的方程的应用举例，提升数据分析、数学抽象、逻辑推理与数学建模的数学素养 设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为　________　. 提示：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为eq \f(|2＋3＋2|,\r(2))＝eq \f(7\r(2),2)，则从村庄外围到小路的最短距离为eq \f(7\r(2),2)－2. [知识点一]　解决实际问题的一般程序　 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案． [知识点二]　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”　 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 解析：D　[不同的建系方法得到的方程不同，故选D.] 2．以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，那么圆M的半径r的取值范围是(　　) A．0<r<2　　　　　 B．0<r<eq \r(5) C．0<r<2eq \r(5) D．0<r<10 解析：C　[圆心M到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq \f(|2×－4＋3－5|,\r(5))＝2eq \r(5)，由0<r<d，知C项正确．] 3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是　________　. 解析：圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(2,2)，r＝3eq \r(2) . 圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq \r(2). 最大距离与最小距离的差为d＋r－(d－r)＝2r＝6eq \r(2) . 答案：6eq \r(2) 　与直线有关的应用问题 　光线从点M(－2,3)射到点P(1,0)然后被x轴反射， 求反射光线所在直线的方程． [思路点拨]　先求M点关于x轴的对称点，再写直线方程． [解]　设点M′是点M关于x轴的对称点，则直线M′P是反射光线所在直线 点M(－2,3)关于x轴的对称点为M′(－2，－3)，根据反射光线的性质可知，点M′在反射光线所在的直线上，如图， 反射光线经过M′(－2，－3)和P(1,0)， 由点斜式整理得x－y－1＝0，这就是反射光线所在的直线方程． 反射光线问题实质是点关于直线的对称问题， 如图所示，已知点P(xP，yP)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求P关于直线l的对称点P′这类问题，通常可以设P′的坐标为(a，b)，利用PP′的中点在对称轴l上，以及PP′⊥l来建立方程组，求解a和b. 记住几个特殊的结论：点P(a，b)关于x轴的对称点为(a，－b)，关于y轴的对称点为(－a，b)，关于直线y＝x的对称点为(b，a)，关于直线y＝－x的对称点为(－b，－a)． [变式训练] 1．光线从点M(2,1)射到点P(－1,0)后被x轴反射，判断反射光线是否经过点Q(－7,2)． 解：光线从点M(2,1)射到点P(－1,0)后被x轴反射，根据直线MP的斜率为eq \f(1－0,2＋1)＝eq \f(1,3)，直线PQ的斜率为eq \f(2－0,－7＋1)＝－eq \f(1,3)，直线MP的斜率和直线PQ的斜率互为相反数，故它们的倾斜角互补，根据反射定律，反射光线经过点Q(－7,2)． 直线与圆的方程的实际应用 　如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [思路点拨]　此题可转化为直线与圆的位置关系的判断，利用弦长与速度可得时间． [解]　如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)， 圆O的方程为x2＋y2＝252. 直线AB的方程为eq \f(x,40)＋eq \f(y,30) ＝1， 即3x＋4y－120＝0. 设点O到直线AB的距离为d， 则d＝eq \f(|－120|,5) ＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t， 则t＝eq \f(2\r(252－242),28) ＝0.5(h)． 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [变式训练] 2．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45eq \r(2) m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)(　　) A．100eq \r(2)　　　　　 B．100eq \r(3) C．150eq \r(2) D．150eq \r(3) 解析：A　[以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k＞0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时eq \f(|100k－10|,\r(k2＋1))＝45eq \r(2)，解得k＝1，此时求得小路长度为100eq \r(2) m．] 1．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于(　　) A.eq \r(6)　　　　　　 B.eq \f(\r(6),2) C．1 D．5 解析：A　[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝eq \r(2) ，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2) ，所以直线被圆截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2－\f(1,2))＝eq \r(6) .] 2．一辆货车宽2米，要经过一个半径为eq \r(10)米的半圆形隧道，则这辆货车的车顶(平顶)距离地面的高度不得超过(　　) A．2.4米 B．3米 C．3.6米 D．2米 解析：B　[以半圆直径所在直线为x轴，过圆心与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的坐标系．由半圆的半径为eq \r(10) 可知，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝10.由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车顶可达到最高．此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)．] 3．某零件的横截面积如图所示，若建立平面直角坐标系，设点A为坐标原点，则点B、C、D、E、F的坐标分别为　________　、　________　、　________　、　________　、　________　. 解析：根据图中尺寸，可得各点坐标如下：B(10,0)，C(10,10)，D(10,17)，E(5,17)，F(0,12)． 答案：(10,0)　(10,10)　(10,17)　(5,17)　(0,12) 4．从点A(2,2)发射出一条光线，由x轴反射后经过点B(－8,3)，则反射点C的坐标为　________　. 解析：点B(－8,3)关于x轴的对称点为B′(－8，－3)，又A(2,2)．可得入射光线；x－2y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，故反射点C的坐标为(－2,0)． 答案：(－2,0) $$