6.4.2 圆的一般方程（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

6.4.2　圆的一般方程 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第6章 直线与圆的方程 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课程标准 素养解读 1.掌握圆的一般方程 2．了解二元二次方程表示圆的条件 通过学习圆的一般方程，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得：x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识点一]　圆的一般方程　 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其中圆心为　Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))　，半径为r＝　eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)　. 所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ 提示：不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．当D2＋E2－4F＝0时表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [知识点二]　用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤　 ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　) (3)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,1)　　　　　 B．(－2,1) C．(－2，－1) D．(2，－1) 解析：D　[－eq \f(D,2)＝2，－eq \f(E,2)＝－1，∴圆心坐标是(2，－1)．] 3．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的半径为2，则m的值为　________　. 解析：因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝eq \r(5－m)＝2，∴m＝1. 答案：1 圆的一般方程的认识 　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． [解]　(方法1)由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|. (方法2)原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝eq \r(5)|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为(x＋eq \f(D,2))2＋(y＋eq \f(E,2))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示一个圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析：C　[由二元二次方程表示圆的条件，知(－1)2＋12－4a＞0，解得a＜eq \f(1,2).] 　求圆的一般方程 　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [思路点拨]　可以先设出圆的一般式方程，用待定系数法求解，也可以先确定圆心和半径，再写出方程． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，)) ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝eq \f(4－3,1＋2)＝eq \f(1,3)，kAC＝eq \f(4＋5,1－4)＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝eq \f(1,2)|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. (1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆； (2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解 [变式训练] 2．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． 解：解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－D＋F＝0,9＋3D＋F＝0,1＋E＋F＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2,E＝2,F＝－3)). 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0 解法二：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝0))，得圆心坐标为M(1，－1)， 半径r＝|MA|＝eq \r(5)， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心和半径分别是(　　) A．(2，－1)，eq \r(5) B．(2，－1)，5 C．(－2,1)，eq \r(5) D．(－2,1)，5 解析：A　[方程x2＋y2－4x＋2y＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为(2，－1)，半径为eq \r(5).] 3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：B　[将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.] 4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为　________　. 解析：由题意知r＝eq \r([5－－3]2＋4－12)＝eq \r(73) (x＋3)2＋(y－4)2＝73，即x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 $$ 6．4.2　圆的一般方程 课程标准 素养解读 1.掌握圆的一般方程 2．了解二元二次方程表示圆的条件 通过学习圆的一般方程，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得：x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识点一]　圆的一般方程　 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其中圆心为　C　，半径为r＝　　. 所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ 提示：不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．当D2＋E2－4F＝0时表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [知识点二]　用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤　 ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　) (3)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,1)　　　　　 B．(－2,1) C．(－2，－1) D．(2，－1) 解析：D　[－＝2，－＝－1，∴圆心坐标是(2，－1)．] 3．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的半径为2，则m的值为　________　. 解析：因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝2，∴m＝1. 答案：1 　　　圆的一般方程的认识 　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． [解]　(方法1)由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. (方法2)原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为(x＋)2＋(y＋)2＝，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示一个圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(－∞，2) C. D. 解析：C　[由二元二次方程表示圆的条件，知(－1)2＋12－4a＞0，解得a＜.] 　 　　求圆的一般方程 　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [思路点拨]　可以先设出圆的一般式方程，用待定系数法求解，也可以先确定圆心和半径，再写出方程． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. (1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆； (2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解 [变式训练] 2．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． 解：解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*) 把A、B、C三点坐标代入方程(*)得 ，∴. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0 解法二：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0， 由，得圆心坐标为M(1，－1)， 半径r＝|MA|＝， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心和半径分别是(　　) A．(2，－1)， B．(2，－1)，5 C．(－2,1)， D．(－2,1)，5 解析：A　[方程x2＋y2－4x＋2y＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为(2，－1)，半径为.] 3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析：B　[将圆的一般方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.] 4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为　________　. 解析：由题意知r＝＝ (x＋3)2＋(y－4)2＝73，即x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [基础过关] 1．圆x2＋y2＋6x－8y＝0的圆心和半径长分别为(　　) A．(3，－4)，25　　　　 B．(3，－4)，5 C．(－3,4)，5 D．(3，－4)，20 解析：C　[由x2＋y2＋6x－8y＝0，得(x＋3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(－3,4)，半径长为5.] 2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0 C．x2＋y2＋4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过原点，所以F＝0，又圆心为(2，－3)，所以D＝－4，E＝6.因此，所求圆的方程是x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：B　[∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，∴k<1，故选B.] 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　) A．－2,4,4 B．－2，－4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 解析：A　[配方得(x＋a)2＋2＝a2＋－c，由条件知∴] 5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0 解析：C　[化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距离为，得＝，∴a＝2或0.] 6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为　________　. 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得即圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 答案：x2＋y2－2x＝0 7．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的面积为　________　. 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆的半径r＝，面积为πr2＝5π. 答案：5π 8．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3,4)，则圆的半径是　________　. 解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为＝(3,4)⇒a＝－6，b＝－8， 所以圆的半径为＝5. 答案：5 9．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 解：由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0， 解得m<，故实数m的取值范围为. 圆心坐标为(－m,1)，半径为. [能力提升] 10．若圆x2＋y2－mx＋2my＋m2－3m＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．0或3 B．－1或－2 C．3 D．0 解析：C　[将(0,0)代入圆方程，得m2－3m＝0，解得m＝3或0， 当m＝3时，x2＋y2－3x＋6y＝0，满足题意； 当m＝0时，x2＋y2＝0，不满足题意．所以m＝3.故选C.] 11．下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 解析：D　[对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆； 对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆； 对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0， ∵(－3)2＋12－4×4＜0，该方程不表示圆； 对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0， 因为22＋2－4×＞0，该方程表示圆．故选D.] 12．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定 解析：B　[将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a－1)2，∵0<a<1，∴(a－1)2>0，∴原点在圆外．] 13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　________　，半径是　________　. 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 14．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　________　. 解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3，∴该圆的面积为9π. 答案：9π 15．已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则， ∴.∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．圆x2＋y2＋6x－8y＝0的圆心和半径长分别为(　　) A．(3，－4)，25　　　　 B．(3，－4)，5 C．(－3,4)，5 D．(3，－4)，20 解析：C　[由x2＋y2＋6x－8y＝0，得(x＋3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(－3,4)，半径长为5.] 2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的一般方程为(　　) A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0 C．x2＋y2＋4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过原点，所以F＝0，又圆心为(2，－3)，所以D＝－4，E＝6.因此，所求圆的方程是x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：B　[∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，∴k<1，故选B.] 4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　) A．－2,4,4 B．－2，－4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 解析：A　[配方得(x＋a)2＋2＝a2＋－c，由条件知∴] 5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0 解析：C　[化圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距离为，得＝，∴a＝2或0.] 6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为　________　. 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得即圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 答案：x2＋y2－2x＝0 7．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的面积为　________　. 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆的半径r＝，面积为πr2＝5π. 答案：5π 8．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3,4)，则圆的半径是　________　. 解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为＝(3,4)⇒a＝－6，b＝－8， 所以圆的半径为＝5. 答案：5 9．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 解：由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0， 解得m<，故实数m的取值范围为. 圆心坐标为(－m,1)，半径为. [能力提升] 10．若圆x2＋y2－mx＋2my＋m2－3m＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．0或3 B．－1或－2 C．3 D．0 解析：C　[将(0,0)代入圆方程，得m2－3m＝0，解得m＝3或0， 当m＝3时，x2＋y2－3x＋6y＝0，满足题意； 当m＝0时，x2＋y2＝0，不满足题意．所以m＝3.故选C.] 11．下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 解析：D　[对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆； 对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆； 对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0， ∵(－3)2＋12－4×4＜0，该方程不表示圆； 对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0， 因为22＋2－4×＞0，该方程表示圆．故选D.] 12．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定 解析：B　[将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a－1)2，∵0<a<1，∴(a－1)2>0，∴原点在圆外．] 13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　________　，半径是　________　. 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 14．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　________　. 解析：圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3，∴该圆的面积为9π. 答案：9π 15．已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则， ∴.∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$