6.4.1 圆的标准方程（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

6．4　圆 6．4.1　圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.了解圆的定义 2．掌握圆的标准方程 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象的数学素养 《古朗月行》 [唐]　李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ [知识点一]　圆的标准方程　 1．圆的定义：圆是平面内到　定点　的距离为　定长　的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径． 2．确定圆的基本要素是　圆心　和　半径　，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是　(x－a)2＋(y－b)2＝r2　. 当a＝b＝0时，圆的标准方程是什么？ 提示：当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． [知识点二]　点与圆的位置关系　 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置 关系 d与r的 大小 图示 点P的坐 标的特点 点在 圆外 d　>　r (x0－a)2＋ (y0－b)2>r2 点在 圆上 d　＝　r (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2 点在 圆内 d　<　r (x0－a)2＋ (y0－b)2<r2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　　) (4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　) A．1　　 B.　　 C．2　　 D．4 解析：B　[圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径r＝.] 3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2　　　　　　　 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 解析：B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 　　　求圆的标准方程 　写出下列各圆的标准方程． (1)圆心为(1，－1)，半径长为3； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为. [思路点拨]　确定圆心坐标和半径，利用圆的标准方程求解． [解]　(1)∵圆心为(1，－1)，半径长为3， 即a＝1，b＝－1，r＝3. ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9. (2)∵圆心是两直线的交点， 由，得. ∴圆心为， 又∵半径长为. ∴圆的标准方程为2＋2＝. (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径； (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程． [变式训练] 1．写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C(3,4)处，半径是； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)处． 解：(1)圆心为(0,0)，r＝3，方程为：x2＋y2＝9. (2)方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝5. (3)r＝＝5，方程为：(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 　 　　　　　点与圆的位置关系 　已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？ [思路点拨]　先确定圆心坐标和半径，写出圆的方程，再利用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系． [解析]　设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心坐标为C(4,6)，又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点M、N、P到圆心C的距离： |CM|＝＝>， |CN|＝＝， |CP|＝＝<， 所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内． 点与圆的位置关系的判断方法： (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点(x0，y0)在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点(x0，y0)在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点(x0，y0)在圆内． [变式训练] 2．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的内部，则a的取值范围是(　　) A．[0,7)　　　　 B．(－∞，7) C．{7} D．(7，＋∞) 解析：A　[由已知得a≥0，且(3－0)2＋(－0)2＜16，所以0≤a＜7.] 1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y－1)2＝16 解析：C　[圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.] 2．已知A(0，－5)、B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝2　　 B．x2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋3)2＋y2＝4 D．(x－3)2＋y2＝2 解析：B　[圆的圆心是(0，－3)，半径是r＝|－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.] 3．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是(　　) A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10 C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100 D．(x－4)2＋(y＋1)2＝ 解析：A　[设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5,2)代入可得r2＝10，故选A.] 4．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝　________　. 解析：∵点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上， ∴1＋3＝m2，∴m＝±2. 答案：±2 [基础过关] 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(－1,2)，2　　　 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4 解析：A　[圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r＝2.] 2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足(　　) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 解析：C　[因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P(3,2)在圆内．] 3．圆心(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 解析：D　[因为圆心为(1，－2)，半径为3， 所以圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.故选D.] 4．圆心为(1,2)，且过(0,0)的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x2＋y2＝ 解析：C　[因圆的圆心为(1,2)，且过(0,0)，则圆的半径r＝＝， 所以所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝5.故选C.] 5．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析：D　[∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为|AB|＝＝5， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.] 6．圆心为(－1，－3)，半径为3的圆的标准方程为　________　. 解析：由题可先设出圆的方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 将圆心(－1，－3)，r＝3代入圆的方程可求出圆的方程为：(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 答案：(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 7．已知A(－3,0)，B(1,0)，则以AB为直径的圆的方程为　________　. 解析：由已知可得圆心坐标为(－1,0)，半径为|AB|＝2， 所以圆的方程为：(x＋1)2＋y2＝22. 答案：(x＋1)2＋y2＝4 8．记圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则a＋b＋r＝　________　 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝2 ∴　∴a＋b＋r＝＋1 答案：＋1 9．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在(1,1)，半径是3； (2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(1，－2)． 解析：(1)根据圆的标准方程可知(x－1)2＋(y－1)2＝32，可得(x－1)2＋(y－1)2＝9. (2)由题kAB＝＝－，所以其垂线斜率k＝2，且中点为，即(3,2)，所以可求得其垂直平分线方程为2x－y－4＝0. 由圆的垂径定理可知，2x－y－4＝0与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为|CB|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. (3)圆的半径r＝|CP|＝＝5，圆心在点C(1，－2) 所以圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝25. 答案：(1)(x－1)2＋(y－1)2＝9 (2)(x－2)2＋y2＝10 (3)(x－1)2＋(y＋2)2＝25 [能力提升] 10．点与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 解析：C　[将点的坐标代入圆的方程可知2＋2＝1>.∴点在圆外．] 11．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－1,1) C．(2,5) D．(1，＋∞) 解析：B　[点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1.] 12．到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝16 C．x2＋y2＝2 D．(x－4)2＋(y－4)2＝16 解析：B　[由题意可知到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是圆的方程，圆心是坐标原点，半径为4，故所求轨迹方程为：x2＋y2＝16.故选B.] 13．圆心为(4，－2)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是　________　. 解析：∵直线x＋y－4＝0与所求圆相切， ∴所求圆的半径r＝＝， ∴所求圆的标准方程为：(x－4)2＋(y＋2)2＝2. 答案：(x－4)2＋(y＋2)2＝2 14．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程是　________　. 解析：圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25 15．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 解：(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a>0，可得a＝. (2)由两点间距离公式可得|PN|＝＝， |QN|＝＝3， 因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<，所以3<a<.即a的取值范围是(3，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(－1,2)，2　　　 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4 解析：A　[圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r＝2.] 2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足(　　) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 解析：C　[因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P(3,2)在圆内．] 3．圆心(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 解析：D　[因为圆心为(1，－2)，半径为3， 所以圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.故选D.] 4．圆心为(1,2)，且过(0,0)的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x2＋y2＝ 解析：C　[因圆的圆心为(1,2)，且过(0,0)，则圆的半径r＝＝， 所以所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝5.故选C.] 5．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析：D　[∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为|AB|＝＝5， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.] 6．圆心为(－1，－3)，半径为3的圆的标准方程为　________　. 解析：由题可先设出圆的方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 将圆心(－1，－3)，r＝3代入圆的方程可求出圆的方程为：(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 答案：(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 7．已知A(－3,0)，B(1,0)，则以AB为直径的圆的方程为　________　. 解析：由已知可得圆心坐标为(－1,0)，半径为|AB|＝2， 所以圆的方程为：(x＋1)2＋y2＝22. 答案：(x＋1)2＋y2＝4 8．记圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则a＋b＋r＝　________　 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝2 ∴　∴a＋b＋r＝＋1 答案：＋1 9．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在(1,1)，半径是3； (2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(1，－2)． 解析：(1)根据圆的标准方程可知(x－1)2＋(y－1)2＝32，可得(x－1)2＋(y－1)2＝9. (2)由题kAB＝＝－，所以其垂线斜率k＝2，且中点为，即(3,2)，所以可求得其垂直平分线方程为2x－y－4＝0. 由圆的垂径定理可知，2x－y－4＝0与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为|CB|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. (3)圆的半径r＝|CP|＝＝5，圆心在点C(1，－2) 所以圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝25. 答案：(1)(x－1)2＋(y－1)2＝9 (2)(x－2)2＋y2＝10 (3)(x－1)2＋(y＋2)2＝25 [能力提升] 10．点与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 解析：C　[将点的坐标代入圆的方程可知2＋2＝1>.∴点在圆外．] 11．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－1,1) C．(2,5) D．(1，＋∞) 解析：B　[点(2a，a－1)在圆x2＋(y＋1)2＝5的内部，则(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1.] 12．到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝16 C．x2＋y2＝2 D．(x－4)2＋(y－4)2＝16 解析：B　[由题意可知到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是圆的方程，圆心是坐标原点，半径为4，故所求轨迹方程为：x2＋y2＝16.故选B.] 13．圆心为(4，－2)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是　________　. 解析：∵直线x＋y－4＝0与所求圆相切， ∴所求圆的半径r＝＝， ∴所求圆的标准方程为：(x－4)2＋(y＋2)2＝2. 答案：(x－4)2＋(y＋2)2＝2 14．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程是　________　. 解析：圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25 15．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 解：(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a>0，可得a＝. (2)由两点间距离公式可得|PN|＝＝， |QN|＝＝3， 因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于3<，所以3<a<.即a的取值范围是(3，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$6.4　圆 6.4.1　圆的标准方程 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第6章 直线与圆的方程 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课程标准 素养解读 1.了解圆的定义 2．掌握圆的标准方程 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象的数学素养 《古朗月行》 [唐]　李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ [知识点一]　圆的标准方程　 1．圆的定义：圆是平面内到　定点　的距离为　定长　的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径． 2．确定圆的基本要素是　圆心　和　半径　，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是　(x－a)2＋(y－b)2＝r2　. 当a＝b＝0时，圆的标准方程是什么？ 提示：当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． [知识点二]　点与圆的位置关系　 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2). 位置 关系 d与r的 大小 图示 点P的坐 标的特点 点在 圆外 d　>　r (x0－a)2＋ (y0－b)2>r2 点在 圆上 d　＝　r (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2 点在 圆内 d　<　r (x0－a)2＋ (y0－b)2<r2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　　) (4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　) A．1　　 B.eq \r(2)　　 C．2　　 D．4 解析：B　[圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径r＝eq \r(2).] 3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2　　　　　　　 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝eq \r(2) 解析：B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 求圆的标准方程 　写出下列各圆的标准方程． (1)圆心为(1，－1)，半径长为3； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为eq \f(1,4). [思路点拨]　确定圆心坐标和半径，利用圆的标准方程求解． [解]　(1)∵圆心为(1，－1)，半径长为3， 即a＝1，b＝－1，r＝3. ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9. (2)∵圆心是两直线的交点， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0,2x－y＋3＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3),y＝\f(5,3))). ∴圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(5,3)))， 又∵半径长为eq \f(1,4). ∴圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,3)))2＝eq \f(1,16). (1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径； (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程． [变式训练] 1．写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C(3,4)处，半径是eq \r(5)； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)处． 解：(1)圆心为(0,0)，r＝3，方程为：x2＋y2＝9. (2)方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝5. (3)r＝eq \r(8－52＋－3－12)＝5，方程为：(x－8)2＋(y＋3)2＝25. 点与圆的位置关系 　已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？ [思路点拨]　先确定圆心坐标和半径，写出圆的方程，再利用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系． [解析]　设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝eq \f(3＋5,2)＝4，b＝eq \f(8＋4,2)＝6，即圆心坐标为C(4,6)，又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝eq \r(4－32＋6－82)＝eq \r(5)，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点M、N、P到圆心C的距离： |CM|＝eq \r(4－52＋6－32)＝eq \r(10)>eq \r(5)， |CN|＝eq \r(4－32＋6－42)＝eq \r(5)， |CP|＝eq \r(4－32＋6－52)＝eq \r(2)<eq \r(5)， 所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内． 点与圆的位置关系的判断方法： (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点(x0，y0)在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点(x0，y0)在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点(x0，y0)在圆内． [变式训练] 2．若点(3，eq \r(a))在圆x2＋y2＝16的内部，则a的取值范围是(　　) A．[0,7)　　　　 B．(－∞，7) C．{7} D．(7，＋∞) 解析：A　[由已知得a≥0，且(3－0)2＋(eq \r(a)－0)2＜16，所以0≤a＜7.] 1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y－1)2＝16 解析：C　[圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.] 2．已知A(0，－5)、B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝2　　 B．x2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋3)2＋y2＝4 D．(x－3)2＋y2＝2 解析：B　[圆的圆心是(0，－3)，半径是r＝eq \f(1,2)|－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.] 3．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是(　　) A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10 C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100 D．(x－4)2＋(y＋1)2＝eq \r(10) 解析：A　[设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5,2)代入可得r2＝10，故选A.] 4．若点P(－1，eq \r(3))在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝　________　. 解析：∵点P(－1，eq \r(3))在圆x2＋y2＝m2上， ∴1＋3＝m2，∴m＝±2. 答案：±2 $$