6.3.2 两条直线相交（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

6．3.2　两条直线相交 课程标准 素养解读 1.掌握求两条相交直线的交点坐标的方法 2．理解两条直线垂直的条件 3．掌握两条直线垂直的判定方法 1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 2．通过对两条直线垂直的学习，提升直观想象和数学抽象的数学素养 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识点一]　两条直线的位置关系　 1．两条直线的位置关系：当直线l1、l2的斜率都存在时，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，完成下表 系数关系 k1≠k2 k1＝k2 k1＝k2 b1≠b2 b1＝b2 两条直线的位置关系 　相交　 　平行　 　重合　 [知识点二]　两条直线的交点坐标　 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． (2)应用：可以利用两直线的　交点个数　判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组. 当方程组　有唯一　解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组　无　解时，l1与l2平行； 当方程组　有无数组　解时，l1与l2重合． [知识点三]　两条直线垂直　 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于　－1　；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们　互相垂直　. 如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ 提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) (4)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2)　　　　　 B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析：B　[解方程组，得.] 3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：B　[∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.] 　　　　　　两直线的交点问题 　判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. [思路点拨]　题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数． [解析]　(1)解方程组，得，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解． 所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. (3)解方程组，①×2得2x－2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合． 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为(　　) A.　　　　 B. C. D. (2)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为(　　) A．6 B．－24 C．±6 D．以上都不对 解析：(1)C　(2)C　[(1)联立方程组，解得，故交点为. (2)分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.] 　 　　两条直线垂直关系的判定 　判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)； (2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)； (3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)． [思路点拨]　先确定斜率，再根据两直线垂直的条件进行判断． [解析]　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝＝0，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝＝－，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2. 两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． [变式训练] 2．已知四点A(－4,2)、B(6，－4)、C(12,6)、D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析：B　[直线AB、CD、BD、AC的斜率都存在，因为kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAC＝＝，kBD＝＝－4，所以kAB＝kCD，kACkBD＝－1，即AB∥CD，AC⊥BD.] 　　　 垂直的应用 　求过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20＝0垂直的直线方程． [思路点拨]　先根据垂直确定斜率，再由点斜式写出方程；也可利用直线系． [解析]　解法一：已知直线l：3x＋4y－20＝0的斜率k＝－.过A与l垂直的直线的斜率k1＝－＝，方程为y－2＝(x－2)．即4x－3y－2＝0为所求． 解法二：设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0， ∴λ＝－2.∴所求直线方程为4x－3y－2＝0. 过一点与已知直线垂直的直线方程的求法： (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C′＝0，再由直线所过的点确定C′. [变式训练] 3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 解析：A　[由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.] 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A．(4,3)　　　　　　　 B．(－4,3) C．(－4，－3) D．(4，－3) 解析：B　[由，得，所以交点为(－4,3)．] 2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 解析：B　[∵k1＝2，k2＝－，∴k1·k2＝－1， ∴l1⊥l2.] 3．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 解析：A　[因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.] 4．经过点(0，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线方程为　________　. 解析：因为直线y＝3x－5的斜率为3，且所求直线与该直线垂直，所以所求直线斜率为－. 又直线过点(0，－2)，由直线方程的斜截式，得 y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0. 答案：x＋3y＋6＝0 [基础过关] 1．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是(　　) A．(2，－2)　　　　　 B．(－2,2) C．(－2,1) D．(－1,2) 解析：B　[由方程组，解得，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．] 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12　　 B．10　　 C．－8　　 D．－6 解析：B　[∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10.] 3．已知过点A(－2，－8)和B(－8,4)的直线与直线x－2y－1＝0(　　) A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交但不垂直 解析：A　[直线AB的斜率kAB＝＝－2，直线x－2y－1＝0的斜率为k＝，所以kAB·k＝－1，故两直线垂直．故选A.] 4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为(　　) A．1　　 B．－　　 C．－　　 D．－2 解析：D　[由题意，得×(－1)＝－1，a＝－2.] 5．两条相互垂直的直线l1，l2的斜率是方程x2－3x＋m－1＝0的两根，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．0 解析：D　[由题意可知k1·k2＝m－1＝－1，得m＝0，故选D.] 6．经过点D(1,1)，且与x轴垂直的直线方程是　________　. 解析：由题意可知，直线的斜率不存在， 所以直线的方程为x＝1. 答案：x＝1 7．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，则a的值为　________　. 解析：解方程组，得，所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入直线方程，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－. 答案：－ 8．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是　________　. 解析：解方程组，得.因为交点在第四象限，所以，解得－<a<2. 答案：－<a<2 9．当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3 (1)平行？ (2)垂直？ 解：由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4. (1)若l1∥l2，则kl1＝kl2，即2a－1＝4，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3平行． (2)若l1⊥l2，则4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． [能力提升] 10．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B．a C．－ D．－或不存在 解析：D　[若a≠0，则l2的斜率为－；若a＝0，则l2的斜率不存在．] 11．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析：B　[由，解得，∴kl＝2.∴直线l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0.] 12．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 解析：B　[∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1， ∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)， ∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2， 将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12， ∴m－n＋p＝20.] 13．若直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a的值为　________　. 解析：当1－a＝0时，此时a＝1，一条直线方程为x＝3，另一条直线方程为y＝，显然两直线垂直；当2a＋3＝0时，两直线不垂直；当1－a≠0且2a＋3≠0时，则·＝－1，解得a＝－3.综上a的值为1或－3. 答案：1或－3 14．顺次连接A(－4,2)，B(1,7)，C(6,8)，D(－2,0)四点，四边形ABCD为　____________　梯形． 解析：kAB＝1，kBC＝，kCD＝1，kAD＝－1由此可知AB∥CD，直线AD垂直于直线AB与CD，而且直线BC不平行于任何一条直线，所以四边形ABCD是直角梯形． 答案：直角 15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解析：由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5. 由kBC＝0知直线BC∥x轴， 故BC边上的高与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1， 即k1＝－1,5k2＝－1，解得k1＝－，k2＝－. 综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－； AC边上的高所在直线的斜率为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$6.3.2　两条直线相交 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第6章 直线与圆的方程 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 　　　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课程标准 素养解读 1.掌握求两条相交直线的交点坐标的方法 2．理解两条直线垂直的条件 3．掌握两条直线垂直的判定方法 1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 2．通过对两条直线垂直的学习，提升直观想象和数学抽象的数学素养 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识点一]　两条直线的位置关系　 1．两条直线的位置关系：当直线l1、l2的斜率都存在时，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，完成下表 系数关系 k1≠k2 k1＝k2 k1＝k2 b1≠b2 b1＝b2 两条直线的位置关系 　相交　 　平行　 　重合　 [知识点二]　两条直线的交点坐标　 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可． (2)应用：可以利用两直线的　交点个数　判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0)). 当方程组　有唯一　解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组　无　解时，l1与l2平行； 当方程组　有无数组　解时，l1与l2重合． [知识点三]　两条直线垂直　 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于　－1　；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们　互相垂直　. 如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ 提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) (4)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2)　　　　　 B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析：B　[解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0,x＋3y－11＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝3)).] 3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则l1与l2(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：B　[∵k1·k2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，∴l1⊥l2.] 两直线的交点问题 　判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. [思路点拨]　题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数． [解析]　(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0,x－2y－1＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－1))，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0　①,2x＋2y＋3＝0　②))，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解． 所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. (3)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0　①,2x－2y＋2＝0　②))，①×2得2x－2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合． 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3))) (2)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为(　　) A．6 B．－24 C．±6 D．以上都不对 解析：(1)C　(2)C　[(1)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0,3x＋5y－6＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝1))，故交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)). (2)分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－eq \f(12,m)和－eq \f(m,3)，由题意得－eq \f(12,m)＝－eq \f(m,3)，解得m＝±6.] 　两条直线垂直关系的判定 　判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)； (2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)； (3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)． [思路点拨]　先确定斜率，再根据两直线垂直的条件进行判断． [解析]　(1)直线l1的斜率k1＝eq \f(2－－2,1－－1)＝2，直线l2的斜率k2＝eq \f(1－－1,2－－2)＝eq \f(1,2)，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝eq \f(20－20,5－－5)＝0，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝eq \f(1＋3,－1－2)＝－eq \f(4,3)，直线l2的斜率k2＝eq \f(2－－1,4－0)＝eq \f(3,4)，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2. 两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直． [变式训练] 2．已知四点A(－4,2)、B(6，－4)、C(12,6)、D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析：B　[直线AB、CD、BD、AC的斜率都存在，因为kAB＝eq \f(－4－2,6－－4)＝－eq \f(3,5)，kCD＝eq \f(12－6,2－12)＝－eq \f(3,5)，kAC＝eq \f(6－2,12－－4)＝eq \f(1,4)，kBD＝eq \f(12－－4,2－6)＝－4，所以kAB＝kCD，kACkBD＝－1，即AB∥CD，AC⊥BD.] 垂直的应用 　求过点A(2,2)且与直线3x＋4y－20＝0垂直的直线方程． [思路点拨]　先根据垂直确定斜率，再由点斜式写出方程；也可利用直线系． [解析]　解法一：已知直线l：3x＋4y－20＝0的斜率k＝－eq \f(3,4).过A与l垂直的直线的斜率k1＝－eq \f(1,k)＝eq \f(4,3)，方程为y－2＝eq \f(4,3)(x－2)．即4x－3y－2＝0为所求． 解法二：设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0， ∴λ＝－2.∴所求直线方程为4x－3y－2＝0. 过一点与已知直线垂直的直线方程的求法： (1)由已知直线求出斜率，再利用垂直的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C′＝0，再由直线所过的点确定C′. [变式训练] 3．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 解析：A　[由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－eq \f(3,2)，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－eq \f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.] 1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A．(4,3)　　　　　　　 B．(－4,3) C．(－4，－3) D．(4，－3) 解析：B　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋6＝0,2x＋5y－7＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝3))，所以交点为(－4,3)．] 2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则l1与l2(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 解析：B　[∵k1＝2，k2＝－eq \f(1,2)，∴k1·k2＝－1， ∴l1⊥l2.] 3．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为eq \r(2)，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－eq \r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋eq \r(2)＝0 解析：A　[因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为eq \r(2)，所以所求直线l的方程为y＝－x＋eq \r(2)，即x＋y－eq \r(2)＝0.] 4．经过点(0，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线方程为________. 解析：因为直线y＝3x－5的斜率为3，且所求直线与该直线垂直，所以所求直线斜率为－eq \f(1,3). 又直线过点(0，－2)，由直线方程的斜截式，得 y＝－eq \f(1,3)x－2，即x＋3y＋6＝0. 答案：x＋3y＋6＝0 $$ [基础过关] 1．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是(　　) A．(2，－2)　　　　　 B．(－2,2) C．(－2,1) D．(－1,2) 解析：B　[由方程组，解得，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．] 2．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A．12　　 B．10　　 C．－8　　 D．－6 解析：B　[∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)． ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10.] 3．已知过点A(－2，－8)和B(－8,4)的直线与直线x－2y－1＝0(　　) A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交但不垂直 解析：A　[直线AB的斜率kAB＝＝－2，直线x－2y－1＝0的斜率为k＝，所以kAB·k＝－1，故两直线垂直．故选A.] 4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为(　　) A．1　　 B．－　　 C．－　　 D．－2 解析：D　[由题意，得×(－1)＝－1，a＝－2.] 5．两条相互垂直的直线l1，l2的斜率是方程x2－3x＋m－1＝0的两根，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．0 解析：D　[由题意可知k1·k2＝m－1＝－1，得m＝0，故选D.] 6．经过点D(1,1)，且与x轴垂直的直线方程是　________　. 解析：由题意可知，直线的斜率不存在， 所以直线的方程为x＝1. 答案：x＝1 7．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，则a的值为　________　. 解析：解方程组，得，所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入直线方程，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－. 答案：－ 8．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是　________　. 解析：解方程组，得.因为交点在第四象限，所以，解得－<a<2. 答案：－<a<2 9．当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3 (1)平行？ (2)垂直？ 解：由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4. (1)若l1∥l2，则kl1＝kl2，即2a－1＝4，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3平行． (2)若l1⊥l2，则4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． [能力提升] 10．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B．a C．－ D．－或不存在 解析：D　[若a≠0，则l2的斜率为－；若a＝0，则l2的斜率不存在．] 11．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析：B　[由，解得，∴kl＝2.∴直线l的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0.] 12．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 解析：B　[∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1， ∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)， ∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2， 将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12， ∴m－n＋p＝20.] 13．若直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a的值为　________　. 解析：当1－a＝0时，此时a＝1，一条直线方程为x＝3，另一条直线方程为y＝，显然两直线垂直；当2a＋3＝0时，两直线不垂直；当1－a≠0且2a＋3≠0时，则·＝－1，解得a＝－3.综上a的值为1或－3. 答案：1或－3 14．顺次连接A(－4,2)，B(1,7)，C(6,8)，D(－2,0)四点，四边形ABCD为　____________　梯形． 解析：kAB＝1，kBC＝，kCD＝1，kAD＝－1由此可知AB∥CD，直线AD垂直于直线AB与CD，而且直线BC不平行于任何一条直线，所以四边形ABCD是直角梯形． 答案：直角 15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解析：由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5. 由kBC＝0知直线BC∥x轴， 故BC边上的高与x轴垂直，其斜率不存在． 设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1， 即k1＝－1,5k2＝－1，解得k1＝－，k2＝－. 综上可知，BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－； AC边上的高所在直线的斜率为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$