6.2.3 直线的一般式方程（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

6．2.3　直线的一般式方程 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的一般式形式 2．掌握直线的点斜式方程化为一般式方程的方法 3．掌握直线的斜截式与一般式方程之间的互化 通过学习直线三种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算的数学素养 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A(1,8)； (2)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°. 提示：(1)y－8＝x－1；(2)y＝x＋7.如果我们画出这2条直线的图像，你会惊奇地发现：这2条直线是重合的．事实上，它们的方程都可以化简为x－y＋7＝0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程． [知识点一]　直线的一般式方程　 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程　Ax＋By＋C＝0　(其中A，B不同时为0)称为直线的　一般式方程　. 1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以，原因如下： (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. [知识点二]　直线的三种形式的方程　 形式 方程 局限 点斜式 　y－y0＝k(x－x0)　 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 　y＝kx＋b　 不能表示斜率不存在的直线 一般式 　Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)　 无 2.当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 提示：(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(　　) (2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．(　　) (3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．(　　) (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．150°　　 D．120° 解析：C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.] 3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　________________　. 解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 　　　直线的一般式方程 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点． [思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式． [解析]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由斜率公式得：k＝＝－2，由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝－2(x＋1)， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. 直线的一般式方程的特征． 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； 解：(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由点斜式方程，得y－2＝0. (3)由斜率公式得：k＝＝2，由斜截式方程可知， 所求直线方程为y＝2x－3， 化为一般式方程为2x－y－3＝0. 　　　直线的一般式方程的应用 　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [思路点拨]　(1)根据截距列方程求解； (2)先化成斜截式，再根据斜率列方程求解． [解析]　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)． ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)． ∴m＝－2. 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． [变式训练] 2．(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足　________　. 解析：(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线． (2)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为　________　. 答案：6 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　　) A．A≠0　　　　 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：D　[A、B不能同时为0，则A2＋B2≠0.] 2．经过点A(3,0)且斜率为1的直线的方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：B　[由点斜式可得y－0＝x－3，化为一般式为x－y－3＝0.] 3．直线x－y＋2＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[由x－y＋2＝0，得y＝x＋2. 其斜率为1，倾斜角为45°.] 4．过点(1,1)且斜率不存在的直线方程(一般式)为　________________　. 解析：由于直线过点(1,1)，且斜率不存在， 所以直线的方程为x＝1，化为一般式为：x－1＝0. 答案：x－1＝0 [基础过关] 1．直线2x＋y＋4＝0的斜率k＝(　　) A．2　　 B．－2　　　　C.　　 D．－ 解析：B　[A＝2，B＝1，则k＝－＝－2.] 2．已知点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，则a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：A　[∵点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，∴2×3＋a－7＝0，∴a＝1.] 3．直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是(　　) A.，－ B.， C.，－2 D.，－2 解析：D　[将3x－2y－4＝0化成截距式为＋＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2.] 4．方程y＝k(x＋4)表示(　　) A．过点(－4,0)的一切直线 B．过点(4,0)的一切直线 C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(－4,0)且不平行于x轴的一切直线 解析：C　[方程y＝k(x＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C.] 5．已知点(－3，－1)和点(b，－4)均在直线3x－2y－a＝0上，则ab的值为(　　) A. B．－35 C．35 D．－ 解析：C　[∵点(－3，－1)在直线3x－2y－a＝0上，∴3×(－3)－2×(－1)－a＝0，解得a＝－7. 又点(b，－4)在直线3x－2y＋7＝0上， ∴3b＋8＋7＝0，解得b＝－5， ∴ab＝35.] 6．过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程(一般式)为　________________　. 解析：∵直线过点A(－2,1)，B(3，－3)，∴斜率k＝＝－，由点斜式得y－1＝－(x＋2)，化简得4x＋5y＋3＝0. 答案：4x＋5y＋3＝0 7．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为　________　. 解析：∵直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°， ∴＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)． 答案：3 8．已知直线方程为kx－y＋1＝0，则直线必经过定点的坐标为　________　. 解析：直线方程为kx－y＋1＝0，直线必经过定点只需保证k前面的系数为零，即x＝0，进而得出y＝1，即点的坐标为(0,1)． 答案：(0,1) 9．根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：(1)因为k＝2，且经过点A(1,3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4， 得直线的斜截式方程为y＝x＋4. 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)由斜率公式得：k＝＝2，由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x－4， 化为一般式方程为2x－y－4＝0. [能力提升] 10．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足(　　) A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0 解析：B　[如图，由图可知，直线的斜率k＝－<0，∴ab>0，又直线在y轴上的截距为－>0，∴bc<0，故选B.] 11．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率可能为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 解析：A　[令x＝0，则y＝a＋2，令y＝0，则x＝，∴a＋2＝，解得a＝－2或1，选A.] 12．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是(　　) A.ab B.|ab| C. D. 解析：D　[∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝··＝.] 13．已知2a1＋3b1＝1,2a2＋3b2＝1，则过点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为　______________　. 解析：由条件知，点A，B的坐标满足方程2x＋3y＝1，又经过A，B两点有且仅有一条直线，∴过A，B的直线方程为2x＋3y＝1. 答案：2x＋3y＝1 14．已知直线l过点A(－2,1)．若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程　________________　. 解析：当直线l过原点时，斜率为－，由点斜式求得直线l的方程是y＝－x，即x＋2y＝0， 当直线l不过原点时，设直线l的方程为x＋y＝a，把点A(－2,1)代入方程可得a＝－1， 故直线l的方程是x＋y＋1＝0， 综上所述，所求直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0. 答案：x＋2y＝0或x＋y＋1＝0 15．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需 解得a≤－1. ∴a的取值范围为(－∞，－1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．直线2x＋y＋4＝0的斜率k＝(　　) A．2　　 B．－2　　　　C.　　 D．－ 解析：B　[A＝2，B＝1，则k＝－＝－2.] 2．已知点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，则a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：A　[∵点A(3，a)在直线2x＋y－7＝0上，∴2×3＋a－7＝0，∴a＝1.] 3．直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是(　　) A.，－ B.， C.，－2 D.，－2 解析：D　[将3x－2y－4＝0化成截距式为＋＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2.] 4．方程y＝k(x＋4)表示(　　) A．过点(－4,0)的一切直线 B．过点(4,0)的一切直线 C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(－4,0)且不平行于x轴的一切直线 解析：C　[方程y＝k(x＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C.] 5．已知点(－3，－1)和点(b，－4)均在直线3x－2y－a＝0上，则ab的值为(　　) A. B．－35 C．35 D．－ 解析：C　[∵点(－3，－1)在直线3x－2y－a＝0上，∴3×(－3)－2×(－1)－a＝0，解得a＝－7. 又点(b，－4)在直线3x－2y＋7＝0上， ∴3b＋8＋7＝0，解得b＝－5， ∴ab＝35.] 6．过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程(一般式)为　________________　. 解析：∵直线过点A(－2,1)，B(3，－3)，∴斜率k＝＝－，由点斜式得y－1＝－(x＋2)，化简得4x＋5y＋3＝0. 答案：4x＋5y＋3＝0 7．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为　________　. 解析：∵直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°， ∴＝tan 45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)． 答案：3 8．已知直线方程为kx－y＋1＝0，则直线必经过定点的坐标为　________　. 解析：直线方程为kx－y＋1＝0，直线必经过定点只需保证k前面的系数为零，即x＝0，进而得出y＝1，即点的坐标为(0,1)． 答案：(0,1) 9．根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：(1)因为k＝2，且经过点A(1,3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4， 得直线的斜截式方程为y＝x＋4. 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)由斜率公式得：k＝＝2，由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x－4， 化为一般式方程为2x－y－4＝0. [能力提升] 10．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a、b、c应满足(　　) A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0 解析：B　[如图，由图可知，直线的斜率k＝－<0，∴ab>0，又直线在y轴上的截距为－>0，∴bc<0，故选B.] 11．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率可能为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 解析：A　[令x＝0，则y＝a＋2，令y＝0，则x＝，∴a＋2＝，解得a＝－2或1，选A.] 12．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是(　　) A.ab B.|ab| C. D. 解析：D　[∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝··＝.] 13．已知2a1＋3b1＝1,2a2＋3b2＝1，则过点A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程为　______________　. 解析：由条件知，点A，B的坐标满足方程2x＋3y＝1，又经过A，B两点有且仅有一条直线，∴过A，B的直线方程为2x＋3y＝1. 答案：2x＋3y＝1 14．已知直线l过点A(－2,1)．若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程　________________　. 解析：当直线l过原点时，斜率为－，由点斜式求得直线l的方程是y＝－x，即x＋2y＝0， 当直线l不过原点时，设直线l的方程为x＋y＝a，把点A(－2,1)代入方程可得a＝－1， 故直线l的方程是x＋y＋1＝0， 综上所述，所求直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0. 答案：x＋2y＝0或x＋y＋1＝0 15．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需 解得a≤－1. ∴a的取值范围为(－∞，－1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$6.2.3　直线的一般式方程 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第6章 直线与圆的方程 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第6章 直线与圆的方程 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的一般式形式 2．掌握直线的点斜式方程化为一般式方程的方法 3．掌握直线的斜截式与一般式方程之间的互化 通过学习直线三种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算的数学素养 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A(1,8)； (2)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°. 提示：(1)y－8＝x－1；(2)y＝x＋7.如果我们画出这2条直线的图像，你会惊奇地发现：这2条直线是重合的．事实上，它们的方程都可以化简为x－y＋7＝0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程． [知识点一]　直线的一般式方程　 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程　Ax＋By＋C＝0　(其中A，B不同时为0)称为直线的　一般式方程　. 1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以，原因如下： (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. [知识点二]　直线的三种形式的方程　 形式 方程 局限 点斜式 　y－y0＝k(x－x0)　 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 　y＝kx＋b　 不能表示斜率不存在的直线 一般式 　Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)　 无 2.当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 提示：(1)若A＝0，则y＝－eq \f(C,B)，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－eq \f(C,A)，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(　　) (2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．(　　) (3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．(　　) (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．在直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．150°　　 D．120° 解析：C　[直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.] 3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　________________　. 解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 　直线的一般式方程 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点． [思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式． [解析]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，化为一般式方程为eq \r(3)x－y＋3－5eq \r(3)＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由斜率公式得：k＝eq \f(5＋1,－1－2)＝－2，由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝－2(x＋1)， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. 直线的一般式方程的特征． 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－eq \f(1,2)，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)，－3； 解：(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由点斜式方程，得y－2＝0. (3)由斜率公式得：k＝eq \f(0＋3,\f(3,2)－0)＝2，由斜截式方程可知， 所求直线方程为y＝2x－3， 化为一般式方程为2x－y－3＝0. 直线的一般式方程的应用 　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [思路点拨]　(1)根据截距列方程求解； (2)先化成斜截式，再根据斜率列方程求解． [解析]　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝eq \f(2m－6,m2－2m－3)， ∴eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq \f(5,3)或m＝3(舍去)． ∴m＝－eq \f(5,3). (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq \f(1,2)且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq \f(6－2m,2m2＋m－1)， 则eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)． ∴m＝－2. 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． [变式训练] 2．(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足　________　. 解析：(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线． (2)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为　________　. 答案：6 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　　) A．A≠0　　　　 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：D　[A、B不能同时为0，则A2＋B2≠0.] 2．经过点A(3,0)且斜率为1的直线的方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：B　[由点斜式可得y－0＝x－3，化为一般式为x－y－3＝0.] 3．直线x－y＋2＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[由x－y＋2＝0，得y＝x＋2. 其斜率为1，倾斜角为45°.] 4．过点(1,1)且斜率不存在的直线方程(一般式)为　____________　. 解析：由于直线过点(1,1)，且斜率不存在， 所以直线的方程为x＝1，化为一般式为：x－1＝0. 答案：x－1＝0 $$