5.5 指数函数与对数函数的应用（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块下册同步教案（高教版2021）

[基础过关] 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析：D　[分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个……分裂x次后为y＝2x＋1个．所以函数关系式为y＝2x＋1.] 2．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过　________　天能达到最初的16000倍(参考数据；ln 1.050≈0.0488，ln 1.5≈0.4055，ln 1600≈7.3778，ln 16000≈9.6803)．(　　) A．198 B．199 C．197 D．200 解析：B　[设过x天能达到最初的16000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16000N0， 所以x＝≈198.4， 又x∈N，故x＝199天能达到最初的16000倍．故选：B.] 3．中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是　______　模型．(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 解析：C　[一年后，小明的本金和利息共有100000(1＋1.75%)， 两年后，小明的本金和利息共有100000(1＋1.75%)2， 则x年后，小明的本金和利息共有100000(1＋1.75%)x， 共取得的利息可构建函数f(x)＝100000(1＋1.75%)x－100000， 采用了指数函数模型．故选：C.] 4．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　) A．50% B．40% C．30% D．20% 解析：B　[设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，故p＝＝0.4＝40%，故选：B.] 5．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到　________　只． 解析：由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)． 答案：200 6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格为　________　元． 解析：由题意可设经过9年后成本价格为：8100×，可求 解：由题意可得，9年后计算机的价格为：8100×＝8100×3＝2400 答案：2400 7．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是　________　. 解析：由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的1－x，由题意可得(1－x)5＝1－20%＝0.8. 答案：(1－x)5＝0.8 8．某生态文明小镇2019年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2023年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2) 解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2， 据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10， 所以x＝50×1.014－40≈12. 所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2. [能力提升] 9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析：A　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得， 100＝alog2(1＋1)， 解得a＝100， 所以y＝100log2(x＋1) 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.故选：A.] 10．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是(　　) A．5 B．9 C．6 D．8 解析：B　[根据题意可得，经过10天细胞数量为210， ∴细胞充满容器一半时，细胞数量为210÷2＝29， ∴当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，故选：B.] 11．核酸检测在新冠病毒防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)，(　　) A．36.9 B．41.15 C．58.5 D．63.1 解析：C　[设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得a(1＋p%)5＝10a， 所以(1＋p%)5＝10，所以1＋p%＝100.2，可得p%＝100.2－1＝0.585，p＝58.5，故选：C.] 12．某公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是　________　. 解析：设年产值的平均每年的增长率是x， 则2000(1＋x)6＝8000，解得x＝－1. 故答案为：－1. 答案：－1 13．2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空．这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”．长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多。已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的　______　倍时，火箭的最大速度可达1 2000米/秒． 解析：由题意可得v＝12000，则2000·ln＝12000，解得＝e6－1. 答案：e6－1. 14．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几小时(精确到0.1)．(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602) 解：(1)由已知，1×(1－0.2)y＝x， 所以y＝log0.8x，其中0<x≤1. (2)由(1－0.2)y≥， 即0.8y≥0.2，y≤log0.80.2＝＝＝≈7.2. 学科网（北京）股份有限公司 $$5.5　指数函数与对数函数的应用 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 第5章 指数函数与对数函数 数学基础模块（GJ下） 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 　 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ下） 第5章 指数函数与对数函数 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用，体现指数函数与对数函数的应用价值 2．初步掌握从实际情境中抽象出指数函数或对数函数模型，解决有关简单的实际问题 通过函数模型的应用提升数学建模，直观想象，数学运算素养 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15 ∴需时间为15×3＝45分钟． [知识点一]　指数型函数模型　 形如　y＝kax　(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型． 1.设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？ 提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)． [知识点二]　二种函数的性质及增长速度比较　 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a>1) y＝logax 　(a>1)　 单调性 在(0，＋∞)上单调　递增　 图像(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 增长速度 (随x的增大) y的增长速度 越来越　快　 y的增长速度 越来越　慢　 2.我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？ 提示：有，还有指数衰减． 3．我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？ 提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 解析：A　[由函数随x的增大而增大可排除D，由增长速度最快可得答案A.] 2．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 解析：D　[满足初期利润增长迅速，后来增长越来越慢的对数函数模型，故选D.] 3．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖(　　) A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 解析：D　[根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数y＝2x，x∈N*； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64.故选：D.] 　指数型函数的实际应用 　随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A．3 000×1.06×7元　　 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元 [思路点拨]　根据规律写出函数关系式y＝N(1＋p)x. [解析]　由题意知，2025年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B. [答案]　B 　容器内现有纯酒精10 L，每次从中侧出1 L溶液后再加满水，试给出操作次数x与所剩酒精y之间的函数解析式，已知75%纯度的酒精可作医用，问操作4次后，容器中的溶液能否作医用？ [思路点拨]　每次从容器中倒出1 L溶液，再加满水，等同于容器中溶液的酒精浓度被稀释为之前的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10))). [解]　依题意可以得到，10 L的纯酒精在操作了x次后，所剩的酒精含量y(L)为y＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))x(x∈N)． 经过4次操作后，容器中的酒精含量为y＝10×0.94＝6.561， 此时，容器中溶液的酒精浓度为eq \f(6.561,10)＝65.61%＜75%，不能作医用． [答]　操作次数x与所剩酒精y之间的函数关系为y＝10×0.9x(x∈N)，操作4次后，容器中的溶液不能作医用． 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． [变式训练] 1．(1)已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2020年底的生产成本为6 400元/件，那么2023年底的生产成本为　________　元/件． 解析：2023年底生产成本6 400×(1－25%)3＝2 700元． 答案：2 700 (2)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过　__________　小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[设n小时后才可以驾车，据题意得 0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤eq \f(1,4)，∴n≥2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B.] 对数函数在实际问题中的应用 　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,4)，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) [思路点拨]　根据规律写出函数关系式x＝N(1－p)y，求指数即可． [解析]　设过滤y次后杂质含量为x， 则x＝0.02eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))y，即50x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))y， 则y＝ (50x)， 令x＝0.001，则y＝0.05＝eq \f(1,20)＝－eq \f(lg 20,lg \f(3,4))＝eq \f(lg 20,lg 4－lg 3) ＝eq \f(1＋0.301 0,2×0.301 0－0.477 1)≈10.42， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求． 建立对数函数模型解决应用问题 对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题． [变式训练] 2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)． 解析：设经过y年后公司的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即eq \f(x,130)＝1.12y， 所以y＝log1.12eq \f(x,130)，令x＝200， 所以y＝log1.12eq \f(200,130)＝log1.12eq \f(2,1.3)＝eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈3.8， 所以到2027年，公司研发资金开始超过200万元. 1．下列说法正确的个数是(　　) (1)函数y＝的衰减速度越来越慢． (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型． (3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>xeq \o\al(n,0). A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：C　[对于(1)，由函数y＝的图像可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图像是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C.] 2．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　) 解析：D　[由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D.] 3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕(　　) A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷 C．8×1.16万公顷 D．8×1.13万公顷 解析：B　[2023年需退耕8×(1＋10%)5＝8×1.15，故选B.] 4．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是　________　. 解析：由题意得0<a－1<1，∴1<a<2. 答案：(1,2) $$ 5．5　指数函数与对数函数的应用 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用，体现指数函数与对数函数的应用价值 2．初步掌握从实际情境中抽象出指数函数或对数函数模型，解决有关简单的实际问题 通过函数模型的应用提升数学建模，直观想象，数学运算素养 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15 ∴需时间为15×3＝45分钟． [知识点一]　指数型函数模型　 形如　y＝kax　(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型． 1.设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？ 提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)． [知识点二]　二种函数的性质及增长速度比较　 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a>1) y＝logax 　(a>1)　 单调性 在(0，＋∞)上单调　递增　 图像(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 增长速度 (随x的增大) y的增长速度 越来越　快　 y的增长速度 越来越　慢　 2.我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？ 提示：有，还有指数衰减． 3．我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？ 提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 解析：A　[由函数随x的增大而增大可排除D，由增长速度最快可得答案A.] 2．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 解析：D　[满足初期利润增长迅速，后来增长越来越慢的对数函数模型，故选D.] 3．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖(　　) A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 解析：D　[根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数y＝2x，x∈N*； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64.故选：D.] 　　　指数型函数的实际应用 　随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A．3 000×1.06×7元　　 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元 [思路点拨]　根据规律写出函数关系式y＝N(1＋p)x. [解析]　由题意知，2025年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B. [答案]　B 　容器内现有纯酒精10 L，每次从中侧出1 L溶液后再加满水，试给出操作次数x与所剩酒精y之间的函数解析式，已知75%纯度的酒精可作医用，问操作4次后，容器中的溶液能否作医用？ [思路点拨]　每次从容器中倒出1 L溶液，再加满水，等同于容器中溶液的酒精浓度被稀释为之前的. [解]　依题意可以得到，10 L的纯酒精在操作了x次后，所剩的酒精含量y(L)为y＝10×x(x∈N)． 经过4次操作后，容器中的酒精含量为y＝10×0.94＝6.561， 此时，容器中溶液的酒精浓度为＝65.61%＜75%，不能作医用． [答]　操作次数x与所剩酒精y之间的函数关系为y＝10×0.9x(x∈N)，操作4次后，容器中的溶液不能作医用． 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． [变式训练] 1．(1)已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2020年底的生产成本为6 400元/件，那么2023年底的生产成本为　________　元/件． 解析：2023年底生产成本6 400×(1－25%)3＝2 700元． 答案：2 700 (2)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过　__________　小时后才可以驾驶机动车．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[设n小时后才可以驾车，据题意得 0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤，∴n≥2， 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B.] 　 　对数函数在实际问题中的应用 　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) [思路点拨]　根据规律写出函数关系式x＝N(1－p)y，求指数即可． [解析]　设过滤y次后杂质含量为x， 则x＝0.02y，即50x＝y， 则y＝ (50x)， 令x＝0.001，则y＝0.05＝＝－＝ ＝≈10.42， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求． 建立对数函数模型解决应用问题 对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题． [变式训练] 2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)． 解析：设经过y年后公司的研发资金为x， 则x＝130(1＋12%)y，即＝1.12y， 所以y＝log1.12，令x＝200， 所以y＝log1.12＝log1.12＝≈3.8， 所以到2027年，公司研发资金开始超过200万元. 1．下列说法正确的个数是(　　) (1)函数y＝的衰减速度越来越慢． (2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型． (3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>x. A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：C　[对于(1)，由函数y＝的图像可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图像是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C.] 2．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　) 解析：D　[由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D.] 3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕(　　) A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷 C．8×1.16万公顷 D．8×1.13万公顷 解析：B　[2023年需退耕8×(1＋10%)5＝8×1.15，故选B.] 4．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是　________　. 解析：由题意得0<a－1<1，∴1<a<2. 答案：(1,2) [基础过关] 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析：D　[分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个……分裂x次后为y＝2x＋1个．所以函数关系式为y＝2x＋1.] 2．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过　________　天能达到最初的16000倍(参考数据；ln 1.050≈0.0488，ln 1.5≈0.4055，ln 1600≈7.3778，ln 16000≈9.6803)．(　　) A．198 B．199 C．197 D．200 解析：B　[设过x天能达到最初的16000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16000N0， 所以x＝≈198.4， 又x∈N，故x＝199天能达到最初的16000倍．故选：B.] 3．中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是　______　模型．(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 解析：C　[一年后，小明的本金和利息共有100000(1＋1.75%)， 两年后，小明的本金和利息共有100000(1＋1.75%)2， 则x年后，小明的本金和利息共有100000(1＋1.75%)x， 共取得的利息可构建函数f(x)＝100000(1＋1.75%)x－100000， 采用了指数函数模型．故选：C.] 4．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　) A．50% B．40% C．30% D．20% 解析：B　[设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，故p＝＝0.4＝40%，故选：B.] 5．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到　________　只． 解析：由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)． 答案：200 6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格为　________　元． 解析：由题意可设经过9年后成本价格为：8100×，可求 解：由题意可得，9年后计算机的价格为：8100×＝8100×3＝2400 答案：2400 7．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是　________　. 解析：由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的1－x，由题意可得(1－x)5＝1－20%＝0.8. 答案：(1－x)5＝0.8 8．某生态文明小镇2019年底人口为20万人，人均住房面积为8 m2，计划2023年底人均住房达到10 m2，如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2) 解：设这个城市平均每年要新增住房x万m2， 据题意可得20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10， 所以x＝50×1.014－40≈12. 所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2. [能力提升] 9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．600只 D．700只 解析：A　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得， 100＝alog2(1＋1)， 解得a＝100， 所以y＝100log2(x＋1) 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.故选：A.] 10．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是(　　) A．5 B．9 C．6 D．8 解析：B　[根据题意可得，经过10天细胞数量为210， ∴细胞充满容器一半时，细胞数量为210÷2＝29， ∴当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，故选：B.] 11．核酸检测在新冠病毒防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)，(　　) A．36.9 B．41.15 C．58.5 D．63.1 解析：C　[设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得a(1＋p%)5＝10a， 所以(1＋p%)5＝10，所以1＋p%＝100.2，可得p%＝100.2－1＝0.585，p＝58.5，故选：C.] 12．某公司2016年产值为2000万元，2022年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是　________　. 解析：设年产值的平均每年的增长率是x， 则2000(1＋x)6＝8000，解得x＝－1. 故答案为：－1. 答案：－1 13．2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空．这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”．长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多。已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的　______　倍时，火箭的最大速度可达1 2000米/秒． 解析：由题意可得v＝12000，则2000·ln＝12000，解得＝e6－1. 答案：e6－1. 14．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几小时(精确到0.1)．(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602) 解：(1)由已知，1×(1－0.2)y＝x， 所以y＝log0.8x，其中0<x≤1. (2)由(1－0.2)y≥， 即0.8y≥0.2，y≤log0.80.2＝＝＝≈7.2. 学科网（北京）股份有限公司 $$