第4讲 充分条件与必要条件讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 一．命题及相关概念 1、定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 2、分类：真命题，判断为真的语句；假命题：判断为假的语句。 3、形式：“若，则”。其中称为命题的条件，为命题的结论。 二．充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 "若,则"是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出， 记作： 由条件不能推出结论， 记作： 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件。 不是的充分条件； 不是的必要条件。 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 三．充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 四．充分、必要与充要条件的判定 1、利用命题的真假来判断；2、利用集合之间的关系判断。 【考点1 命题的概念】 【例1.1】有下列语句，其中是命题的个数为 （1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）；（4）；（5）素数都是奇数. 【变式1】下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【考点2 判断命题的真假】 【例2】下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【变式2】下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3.1】 “”是“”的 条件 【例3.2】“”是“”的 条件 【变式3.1】 “”是“”的 条件 【变式3.2】若，则“”是“且”的的 条件 【考点4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4.1】设，不等式的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【变式4.1】使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5.1】已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【例5.2】设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【变式5.1】已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是 【变式5.2】已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 【考点6 充要条件的证明】 【例6】已知的三边长为，其中. 求证：为等边三角形的充要条件是． 【变式6】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 课后作业 1．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若“”是“”的充要条件，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 7．（多选题）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 8．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 9．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 11．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 12. 已知，． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 13. 已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 14．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1.4 充分条件与必要条件 一．命题及相关概念 1、定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 2、分类：真命题，判断为真的语句；假命题：判断为假的语句。 3、形式：“若，则”。其中称为命题的条件，为命题的结论。 二．充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 "若,则"是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出， 记作： 由条件不能推出结论， 记作： 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件。 不是的充分条件； 不是的必要条件。 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 三．充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 四．充分、必要与充要条件的判定 1、利用命题的真假来判断；2、利用集合之间的关系判断。 【考点1 命题的概念】 【例1.1】有下列语句，其中是命题的个数为 （1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）；（4）；（5）素数都是奇数. 【答案】3 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）（4）不是命题，其余都是命题。其中，（2）（3）是真命题；（5）是假命题. 【变式1】下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D. 【解题思路】由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D. 【考点2 判断命题的真假】 【例2】下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B. 【解题思路】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B. 【变式2】下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C ①③⑤ 【解题思路】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 【考点3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3.1】 “”是“”的 条件 【答案】必要不充分条件 【解题思路】若，即，则，或， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 【例3.2】“”是“”的 条件 【答案】充分不必要条件 【解题思路】因为， 所以是的充分不必要条件. 【变式3.1】 “”是“”的 条件 【答案】必要不充分条件 【解题思路】.∵，故，即， 若，由，则，所以反之不成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 【变式3.2】若，则“”是“且”的的 条件 【答案】必要不充分条件 【解题思路】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立；若且，则，即由且推得出，即必要性成立，所以“”是“且”的必要不充分条件. 【考点4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4.1】设，不等式的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解：由及充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合. 【例4.2】的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【解题思路】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 【变式4.1】使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由选项可以推出条件，但是由条件推不出选项。 对于A选项，是充要条件，A错误；对于B选项，是充分不必要条件，B错误 对于C选项，是必要不充分条件，C正确；对于D选项，是充分不必要条件，D错误 【变式4.2】一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 【考点5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5.1】已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【解题思路】，因为是的充分不必要条件，所以. 【例5.2】设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【解题思路】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 【变式5.1】已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是 【答案】6 【解题思路】由已知，， 由p是q充要条件得 ， 因此解得， 【变式5.2】已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） 【答案】 【解题思路】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立，所以. 【考点6 充要条件的证明】 【例6】已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【解题思路】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 【变式6】设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【解题思路】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于的方程有一个根为－1的充要条件是. 课后作业 1．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数，故命题A是命题B的必要不充分条件. 2． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，且当时，，即当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意得，解得，所以． 4．若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 5．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 6．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 7．（多选题）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【详解】对于A：当时，则， 方程无实数根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则，解得， 所以方程无实数根的一个必要条件是，故B正确； 对于C：若方程有两个不等正根，则，解得， 故方程有两个不等正根的充要条件是，故C正确； 对于D：若方程有一个正根和一个负根，则，解得， 所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，故D正确. 故选：BCD 8．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 9．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【解析】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 10．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 11．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 【答案】 【解析】解：条件，条件， 是的必要条件，． ，或，． 时，满足题意． 时，若，则，解得． 若，则，解得． 综上可得：的取值集合是：． 故答案为：． 12. 已知，． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）, 又，且是的充分条件， 可得，解之得，则实数的取值范围为； （2）由（1）得， 当时， ，，此时，是的必要条件，符合要求； 当时，由是的必要条件， 可得，解之得， 综上，实数的取值范围为. 13. 已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 14．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$