第21章第11课时实际问题与一元二次方程(4)——动点问题讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册 暑假预习课

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第11课时实际问题与一元二次方程(4)——动点问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 动点运动的路程=动点运动的速度×动点运动的时间 注意：①动点运动的路程不一定是直线；②动点运动的路程范围；③双动点问题中“停止运动”细节。 知识点：动点问题 【例】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动.若点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过多少秒后，P，Q两点间的距离为4 cm？ 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过(    ) A. B. C. D. 或 2.如图，在中，，，，动点、分别从点、同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为，则点运动的时间是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为(    ) A. 秒或秒 B. 秒或秒 C. 秒 D. 秒或秒 4.如图，在中，，点，同时由，两点出发分别沿，方向向点匀速运动，其速度都为，要使的面积是面积的一半，需要运动(    ) A. B. C. 或 D. 5.如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点，的运动时间为秒，连接，当的面积为时，的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握三角形面积公式及二次函数的求解是解题的关键． 二、填空题： 6.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始运动．点的速度为，点的速度为，点运动到点停止，点运动到点后停止．经过_________能使的面积为 7.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，若出发后，，则          秒 8.如图所示，在矩形中，，，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动． 当秒时，线段          ． 当          秒时，的面积是． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 10.如图，在矩形中，相邻边和的长为方程的两个根，且． 求，的长单位：； 如果点，分别从点，同时出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当一点到达时，另一点也随之停止，设运动时间为，求当为何值时，的面积为．   11.如图，在中，，，点在上从点运动到点，速度为；点在上从点运动到点，速度为若点，分别从点，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为，连接． 当为何值时，线段的长为？ 当为何值时，的面积为？ 12.如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． 填空：          ，          ；用含的代数式表示 当为何值时，？ 在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第11课时实际问题与一元二次方程(4)——动点问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 动点运动的路程=动点运动的速度×动点运动的时间 注意：①动点运动的路程不一定是直线；②动点运动的路程范围；③双动点问题中“停止运动”细节。 知识点：动点问题 【例】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动.若点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过多少秒后，P，Q两点间的距离为4 cm？ 解：设经过t s后，PQ＝4 cm，则BP＝(6－t)cm，BQ＝2t cm. ∵∠B＝90°，∴BP2＋BQ2＝PQ2，即(6－t)2＋(2t)2＝(4)2. 解得t1＝，t2＝2. 又∵2t≤3，∴t≤.∴t＝. 答：经过 s后，P，Q两点间的距离为4 cm. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过(    ) A. B. C. D. 或 【答案】A  2.如图，在中，，，，动点、分别从点、同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为，则点运动的时间是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设动点、运动后，能使的面积为，则为，为， 由题意，得， 解得，当时，，不合题意，舍去． 故若使的面积为，则点运动的时间是． 3.如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为(    ) A. 秒或秒 B. 秒或秒 C. 秒 D. 秒或秒 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于中考常考题型．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【解答】 解：由题意，， ， ， ， 解得或， 或时，的面积为． 故选D． 4.如图，在中，，点，同时由，两点出发分别沿，方向向点匀速运动，其速度都为，要使的面积是面积的一半，需要运动(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】A  【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系． 根据题意，可以得出面积和的面积，设出秒后，则根据的面积是面积的一半列出等量关系求出的值即可． 【解答】 解：设秒后的面积是面积的一半， 则，， 面积为 ，  的面积为 ， 的面积是面积的一半， ，解得，不合题意，舍去， 故秒后的面积是面积的一半． 故选A． 5.如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点，的运动时间为秒，连接，当的面积为时，的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：由题意可得，， ， ， 当的面积为时，可得， 解得， 故选：． 先由题意可得，，故可得，当的面积为时，代入数值可得，解得，即可选出正确选项． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握三角形面积公式及二次函数的求解是解题的关键． 二、填空题： 6.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始运动．点的速度为，点的速度为，点运动到点停止，点运动到点后停止．经过_________能使的面积为 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设经过能使的面积为，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】 解：设经过能使的面积为，则，， 依题意，得：， 解得：，， ， ， ． 故答案为：． 7.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，若出发后，，则          秒 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查矩形的性质，勾股定理，用用含的代数式表示出，，是解题的关键． 根据题意表示出，，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】 解：在矩形中，，，点从点出发沿以 的速度向点移动， ，， ， ， 在中，， 即， 解得：，舍去， 故答案是： 8.如图所示，在矩形中，，，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动． 当秒时，线段          ． 当          秒时，的面积是． 【答案】 或．   【解析】解：当秒时，， 根据勾股定理得， 故答案为：． 设运动时间为秒， 此时，，， 的面积是， ， 整理得， 解得：，， 当秒或秒时，的面积是． 故答案为：或． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着边匀速移动，当运动时间为多少时，的面积等于？ 【答案】解：设运动时间为  由题意可知，，解得，  当时，，不合题意，舍去；  当时，，符合题意．  答：当运动时间为时，的面积为．  10.如图，在矩形中，相邻边和的长为方程的两个根，且． 求，的长单位：； 如果点，分别从点，同时出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当一点到达时，另一点也随之停止，设运动时间为，求当为何值时，的面积为． 【答案】(1)解：∵相邻边AB和BC的长为方程x2－14x＋48＝0的两个根，且BC＜AB， 解得x1＝6，x2＝8； ∴AB＝8 cm，BC＝6 cm；   (2)当运动时间为t s时，PB＝（8－2t）cm，BQ＝（6－t）cm． ∵PB＞0，∴8－2t＞0，∴t＜4． 要使△PBQ的面积为8 cm2，则， ∴， 解得t1＝8（舍去），t2＝2， ∴当t为2 s时，△PBQ的面积为8 cm2．   11.如图，在中，，，点在上从点运动到点，速度为；点在上从点运动到点，速度为若点，分别从点，同时出发，当，两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为，连接． 当为何值时，线段的长为？ 当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)由题意，得PC＝（7－2t）cm，CQ＝5t cm，0≤t≤3.5．∵在Rt△PCQ中，PC2＋CQ2＝PQ2，∴，解得 t1＝1，（不合题意，舍去）．∴当t的值为1时，线段PQ的长为  (2)由题意，得，解得 t1＝2，t2＝1.5．∴当t的值为2或1.5时，△PCQ的面积为15 cm2  12.如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． 填空：          ，          ；用含的代数式表示 当为何值时，？ 在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t;2t  (2)∵AB＝4 cm，∴PB＝（4－t）cm，（0≤t≤4） 由勾股定理可得， 当PQ＝4 cm时，，解得 t＝0（舍去）或， ∴当时， PQ＝4 cm；   (3)不存在，理由如下： 假设五边形APQCD的面积为矩形面积的， 则△PBQ的面积为矩形面积的， 则， 又∵， ∴t（4－t）＝12，即t2－4t＋12＝0． 此时b2－4ac＝（－4）2－4×12＝－32＜0，方程无实数根， 即不存在某一时刻可使五边形APQCD的面积为矩形面积的． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$