专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 压轴专练 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证： (1)； (2)． 【变式1-3】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。 例2．在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【变式2-2】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 一、单选题 1．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 2．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（      ） A． B． C． D．或 4．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ． 6．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 7．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 三、解答题 9．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 ___________． 10．如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证： (1)； (2)． 12．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 13．已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 14．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 压轴专练 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 先证明，得，再由已知条件即可求证； 【详解】证明：如图，连接， ，点P是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， ， 即． 【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，利用等腰三角形“三线合一"的性质得，再利用平行线的性质得，从而说明垂直平分，则有； （2）利用等角的余角相等，再利用证明，从而证明结论． 【详解】（1）证明：连接AD， ，点为的中点， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ∴； （2） 在和中， 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。 例2．在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果； （2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果． 【详解】（1）解：如图，过A作于F， ∵，， ∴，， ∴，即；    （2）①猜想：，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：； ②∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系． 【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数； （2）作，根据AAS证明，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得，则可得；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果． 【详解】（1）解：中，，且=, ，， ， ， ，          ； 故答案为：； （2）证明：如图，过A点作于E点，   中，，， ， 中，， ， ， ,=， ，         ，   ，   ， ． 在和中， ， ∴，     ∴，     ∴； （3）解：①如图，作于，于，    ∵与的面积相等， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 即， ， ； ②如图，作于，作垂直于的延长线于，    则， ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-2】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 2．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 3．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（      ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过D作，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得 ∴， ∴， 综上，的度数是或， 故选：D． 4．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）． 【详解】解：∵平分， ∴，，， 故（1）（2）（3）正确， ∵平分， ∴， ∴ 故（4）正确， 综上，一共有4个正确， 故选：D 二、填空题 5．如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，因为是边上的中线，所以是等腰三角形，平分，结合，即可作答． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴是等腰三角形，平分， ∵， ∴ 故答案为： 6．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 7．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“”可证和全等，可得，即可求解． 【详解】解∶如图，连接， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得． 【详解】解：如图，延长至点M，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是边上的高， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 ___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证； （2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 的垂直平分线交于点， ， ， ， 为线段的中点， ； （2）解：， ， ， 由（1）知，， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 10．如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论. （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到，设，根据三角形的内角和定理可得，解题即可． 【详解】（1）过点作于.    ∵. ∴, ∴. （2）∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 根据三角形的内角和可得， 解得：， ∴， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 11．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识点的掌握是正确解题的关键． （1）由垂直的定义得到，再根据，结合直角三角形的性质即可证明结论； （2）取的中点F，连结，则，由等腰三角形的性质得到，由（1）知；证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：取的中点F，连结，则， ， ， ， 由（1）知； ， ， ， ． 12．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可； （3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）明∶ 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：能成为等腰三角形， ①当，点E在的延长线上时，则， 又∵， ∴； ②当，点E在上时，则； ③当时，则， ∴； ④当，点E和C重合， ∴； 综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 13．已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)线段的长度保持不变， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，推得，根据等角对等边得出，推得，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）过点作交于，先推得，再根据全等三角形的性质得出，即可求解； （3）过点点作交于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据全等三角形的性质得出，即可推得． 【详解】（1）证明：∵点、移动的速度相同， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ， ∴． （2）解：如图，过点作交于， ∵点为的中点，， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：线段的长度保持不变． 如图，过点点作交于， 由（1）知， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 14．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，由角平分线的定义得到，进一步证明，得到，则； （2）①如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，同（1）可得，则，由，即可推出； ②如图所示，在上截取，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，从而证明，得到，由可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴    （2）解：①成立，理由如下： 如图所示，过点B作于H， ∵， ∴，即， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$