4.8 已知三角函数值求角（PPT课件+Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步教案（高教版2021）

4.8　已知三角函数值求角 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 课堂·互动学案 01 02 随堂·步步夯实 03 课后·素养提升 04 章末归纳提升 05 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课前·预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课堂·互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 随堂·步步夯实 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 下一页 上一页 返回导航 数学基础模块（GJ上） 第4章 三角函数 ★[学习目标] 1．掌握利用计算器求角度的方法； 2．了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法； 3．会利用诱导公式求出指定范围内的角． [问题]　如何求出正弦函数y＝sin x与直线y＝eq \f(1,4)在区间[0,2π)上的交点坐标？如图所示． 提示：要求交点坐标，实际上就是求sin x＝eq \f(1,4)，x∈[0,2π)的解，就是已知三角函数值求指定范围内的角． [知识点一]　已知三角函数值求角 1．已知任意一个角，可以求出它的三角函数值(角必须属于这个函数的定义域)；反之，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角． 2．对特殊的三角函数值，容易求出指定范围内的角，对一般的三角函数值，则需要借助科学计算器与诱导公式求出指定范围内的角． 3．已知三角函数值，利用计算器求角可以按如下流程操作： 设定角度制或弧度制计算模式→按键eq \x(SHIFT)→INCLUDEPICTURE"SC157.TIF" 输入三角函数值→按键，显示角． 如果要求指定范围内的角，一般需要使用诱导公式． [知识点二]　利用计算器求角 1．已知三角函数值，利用计算器求角的步骤 步骤 sin x＝a cos x＝a tan x＝a 1 利用计算器求出 －90°≤x≤90° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或－\f(π,2)≤x≤\f(π,2)))范围内的角 利用计算器求出0°≤x≤180°(或0≤x≤π)范围内的角 利用计算器求出－90°＜x＜90°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或－\f(π,2)＜x＜\f(π,2)))范围内的角 2 根据sin(180°－α)＝sin α，求出90°≤x≤270° eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(π,2)≤x≤\f(3π,2)))范围内的角 根据cos(－α)＝cos α，求出－180°≤x ≤0°(或－π≤x≤0)范围内的角 根据tan(180°＋α)＝tan α，求出90°＜x＜270°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(π,2)＜x＜\f(3π,2)))范围内的角 3 根据sin(α＋k·360°)＝sin α，求出指定范围内的角 根据cos(α＋k·360°)＝cos α，求出指定范围内的角 根据tan(α＋k·360°)＝tan α，求出指定范围内的角 2.科学型计算器的标准设置中，已知正弦函数值，只能显示eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))范围内的角；已知余弦函数值，只能显示[0，π]范围内的角；已知正切函数值，只能显示eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))范围内的角． 3．一些常用特殊角的三角函数值 A(rad) 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) π α(°) 0° 30° 45° 60° 90° 180° sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) 1 0 cos α 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 0 －1 tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) 不存在 0 1．已知sin x＝eq \f(\r(2),2)，且0≤x≤eq \f(π,2)，则x＝(　　) A.eq \f(π,4)　　　　　　 B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) D．－eq \f(π,4) 解析：A　[∵sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)， 且0≤x≤eq \f(π,2)，∴x＝eq \f(π,4).] 2．已知tan x＝－1，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：C　[∵tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1, 且0≤x≤180°，∴x＝135°.] 3．已知cos x＝eq \f(\r(3),2)，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图像知，在[0,2π)内满足cos x＝eq \f(\r(3),2)的角x有两个，分别在第一、四象限．∵cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)， ∴在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上角x1＝eq \f(π,6)， 又∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＝cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).可得在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上的角x2＝eq \f(11π,6). ∴在[0,2π)内满足cos x＝eq \f(\r(3),2)的角为eq \f(π,6)，eq \f(11π,6). 　已知正弦函数值求角 　已知sin x＝0.2，用科学型计算器求0°～180°范围内的角x(保留到小数点后第2位)． [解]　由函数y＝sin x的图像可知在0°～180°范围内，满足sin x＝0.2的角有两个，分别在第一、二象限， 利用科学型计算器，可得0°～90°范围内的角x1≈11.54°，再利用诱导公式sin(180°－11.54°)＝sin 11.54°＝0.2. 得到x2≈180°－11.54°＝168.46°. 所以在0°～180°范围内，满足sin x＝0.2的角为11.54°和168.46°. 已知正弦函数值求角，科学计算器只能显示eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时利用科学计算器时，要注意弧度制模式及角度制模式的转化． [变式训练] 1．已知sin x＝0.4，利用计算器求0°～360°范围内的角x(精确到0.01°)． 解：按步骤计算，得到所求的锐角为x1＝23.58°. 利用sin(180°－α)＝sin α，得到所求的钝角为x2＝180°－23.58°＝156.42°. 故0°～360°范围内，正弦值为0.4的角为23.58°和156.42°. 　已知余弦函数值求角 　已知cos x＝0.4，求－180°～180°范围内的角x(精确到0.01°)． [解]　因为cos x＝0.4＞0，所以角x在第一或四象限， 利用计算器介绍的步骤计算，得到在0°～180°范围中的角为x＝66.42°. 利用cos(－α)＝cos α，得到－180°～0°范围内的角为x＝－66.42°. 因此在－180°～180°范围内余弦值为0.4的角为±66.42°. 已知余弦函数值求角，科学计算器只能显示[0，π]范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时要注意在给定范围内角有一解或两解． [变式训练] 2．已知cos x＝－eq \f(1,2)，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图像知，在[0,2π)内满足cos x＝－eq \f(1,2)的角x有两个，分别在第二、三象限．∵cos x＝－eq \f(1,2)， ∴在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上角x1＝eq \f(2π,3)， 又∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝cos eq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2)，可得在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))上的角x2＝eq \f(4π,3). ∴在[0,2π)内满足cos x＝－eq \f(1,2)的角为eq \f(2π,3)，eq \f(4π,3). 　已知正切函数值求角 　已知tan x＝0.4，求0°～360°范围内的角x(精确到0.01°)． [解]　因为tan x＝0.4＞0，所以角x在第一或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的锐角为x1＝21.80°. 利用周期性得到相应第三象限的角为x2＝180°＋21.80°＝201.80°. 所以在0°～360°范围内，正切值为0.4的角为21.80°和201.80°. 已知正切函数值求角，科学计算器只能显示eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，或者利用正切函数周期为π求解． [变式训练] 3．已知tan x＝－0.2，求0°～360°范围内的角x的值(精确到0.01°)． 解：因为tan x＝－0.2＜0，所以角x在第二或四象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第四象限角为x＝－11.31°. 利用周期性得到相应第二象限的角为x2＝180°－11.31°＝168.69°. 所以在0°～360°范围内，正切值为－0.2的角为－11.31°和168.69°. 1．已知cos x＝－eq \f(\r(3),2)，且0≤x≤π，则x＝(　　) A.eq \f(π,4)　　　B.eq \f(π,6)　　　C.eq \f(5π,6)　　　D．－eq \f(π,4) 解析：C　[∵cos x＝－eq \f(\r(3),2)，且0≤x≤π，∴x＝eq \f(5π,6).] 2．已知tan x＝eq \r(3)，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．135° D．120° 解析：B　[∵tan x＝eq \r(3)， 且0°≤x≤180°， ∴x＝60°.] 3．已知sin x＝eq \f(1,2)，且0°≤x≤90°，则x＝_________________. 解析：∵sin x＝eq \f(1,2)，且0°≤x≤90°，∴x＝30°. 答案：30° 4．已知sin x＝－0.215 6，且－180°≤x≤180°，求 x . 解：因为sin x＝－0.215 6，所以x是第三或第四象限的角． 先求符合sin x＝0.215 6的锐角x，使用科学计算器解得x≈12°27′. 因为sin(－12°27′)＝－sin 12°27′＝－0.215 6， 且sin(12°27′－180°)＝－sin 12°27′＝－0.215 6. 所以当－180°≤x≤180°时，所求的角分别是 －12°27′和－167°33′. 　三角函数的基本概念 1．任意角的三角函数的概念是本章的基础，主要包括两个方面： (1)任意角和弧度制．理解任意角的概念及弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，能够判断三角函数值在各象限的符号． 2．任意角的三角函数的定义是本章的核心概念，它是利用角的终边与单位圆的交点P(x，y)的坐标定义，也可以用终边上非原点的任一点坐标来定义． 　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为(　　) A．45°＋k·180°，k∈Z B．45°＋k·360°，k∈Z C．135°＋k·180°，k∈Z D．225°＋k·360°，k∈Z (2)已知弧长为6的圆弧所对的圆心角的弧度数为2，则该圆的半径是(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 (3)若cos α＝－eq \f(\r(3),2)且α的终边过点P(x,2)，则α是第________象限的角． [解析]　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为45°＋k·180°，k∈Z. (2)由l＝|α|r，得r＝eq \f(l,|α|)＝eq \f(6,2)＝3. (3)cos α＝－eq \f(\r(3),2)＜0，∴α在第二、三象限，又P(x,2)在第一、二象限，∴α在第二象限． [答案]　(1)A　(2)C　(3)二 [变式训练] 1．(1)已知角α终边上一点P的坐标是(sin 2，－cos 2)，则sin α＝(　　) A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 (2)若sin θ·cos θ＞0，则角θ属于(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 (3)设点P(1，－eq \r(3))在角α终边上，则cos α＝______. 解析：(1)r＝|OP|＝eq \r(sin 22＋－cos 22)＝1，sin α＝eq \f(y,r)＝－cos 2. (2)sin θ·cos θ＞0，∴sin θ与cos θ同号，θ在第一、三象限． (3)r＝|OP|＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(1,2). 答案：(1)D　(2)B　(3)eq \f(1,2) 　三角函数的定义域、值域问题 在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养． 　当x为何值时，函数y＝3－2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))取得最大值和最小值？分别是多少？ [解]　当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－1时，ymax＝3＋2＝5，此时x－eq \f(π,6)＝π＋2kπ， 即x＝eq \f(7π,6)＋2kπ时，ymax＝5，k∈Z， 当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝1时，ymin＝3－2＝1，此时x－eq \f(π,6)＝2kπ，即x＝eq \f(π,6)＋2kπ时，ymin＝1，k∈Z. [变式训练] 2．(1)y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))的值域是(　　) A．[－1,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) (2)函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2的最大值为________． 解析：(1)由正弦函数的图像可知，当x＝eq \f(π,6)时， ymin＝eq \f(1,2)，当x＝eq \f(π,2)时，ymax＝1.∴y＝sin x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (2)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝(cos2x－sin2x)＋eq \f(1,2)(2cos2x－1)＋eq \f(5,2) ＝cos 2x＋eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(5,2)＝eq \f(3,2)cos 2x＋eq \f(5,2)，∴f(x)的最大值为eq \f(3,2)＋eq \f(5,2)＝4. 答案：(1)B　(2)4 　三角函数的图像 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 　在(0,2π)内，使sin x≥cos x成立的x的取值范围是________． [解析]　在同一个坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x在(0,2π)内的函数图像，如图所示，则使sin x≥cos x成立的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))). [答案]　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))) [变式训练] 3．方程3sin x＝x的实根个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[方程3sin x＝x的实根个数等于函数y＝3sin x与函数y＝x的交点个数，做出函数y＝3sin x与函数y＝x的图像，如图所示： 　三角函数的性质 三角函数在考查时，往往和后面的三角函数知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质． 　(1)函数y＝sin xcos x是__________函数(填奇或偶)． (2)比较大小：coseq \f(5π,7)______coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,7))). [解析]　(1)y＝sin xcos x的定义域为R， f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴y＝sin xcos x是奇函数． (2)∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,7)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,7)－2π))＝coseq \f(4π,7)， 又y＝cos x在[0，π]上是减函数，eq \f(5π,7)＞eq \f(4π,7)，∴coseq \f(5π,7)＜coseq \f(4π,7). [答案]　(1)奇　(2)＜ [变式训练] 4．(1)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是__________． [解析]　(1)因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． [答案]　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①cos eq \f(2π,7)与coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))；②sin 250°与sin 260°. [解]　①coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5)))＝coseq \f(3π,5)，∵0＜eq \f(2π,7)＜eq \f(3π,5)＜π，且y＝cos x在(0，π)内为减函数，∴coseq \f(2π,7)＞coseq \f(3π,5)，即coseq \f(2π,7)＞coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,5))). ②∵90°＜250°＜260°＜270°，且y＝sin x在(90°，270°)内为减函数，∴sin 250°＞sin 260°. 　三角函数式的求值 三角函数求值，主要有三种类型，即： 1．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得到． 2．“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． 3．“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的三角函数值，求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 　(1)sin x＋cos x＝eq \r(2)，则sin xcos x＝______. [解析]　∵sin x＋cos x＝eq \r(2)，(sin x＋cos x)2＝2，∴cos2 x＋sin2 x＋2sin xcos x＝2，又cos2 x＋sin2 x＝1，∴2sin xcos x＝1，∴sin xcos x＝eq \f(1,2). [答案]　eq \f(1,2) (2)已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3)，且α为第二象限角，求cos(π－α)的值． (3)已知tan α＝3，求eq \f(sin2 α＋sin αcos α－5cos2 α,cos2 α)的值． [解]　(2)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,3)，∴sin α＝eq \f(1,3)，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－eq \r(1－sin2 α)＝－eq \f(2\r(2),3)，∴cos(π－α)＝－cos α＝eq \f(2\r(2),3). (3)∵tan α＝3，∴eq \f(sin2 α＋sin αcos α－5cos2 α,cos2 α)＝eq \f(sin2 α,cos2 α)＋eq \f(sin αcos α,cos2 α)－eq \f(5cos2 α,cos2 α)＝tan2 α＋tan α－5＝32＋3－5＝7. [变式训练] 5．(1)已知sin α＝eq \f(4,5)，且α∈(0，π)，则tan α＝(　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．±eq \f(4,3) D．±eq \f(3,4) (2)sin xcos x＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)＜x＜eq \f(π,2)，则cos x－sin x＝________. 解析：(1)∵sin α＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，cos α＝ ±eq \r(1－sin2 α)＝±eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝±eq \f(4,3). (2)∵sin xcos x＝eq \f(1,8)，∴(cos x－sin x)2＝cos2x＋sin2x－2sin xcos x＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，又eq \f(π,4)＜x＜eq \f(π,2)，∴cos x－sin x＜0，∴cos x－sin x＝－eq \f(\r(3),2). 答案：(1)C　(2)－eq \f(\r(3),2) 　三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角； (4)常数的处理(特别注意“1”的代换)． 2．三角函数式化简常用公式 诱导公式，同角三角函数基本关系式． 　(1)化简eq \r(1－2sin 50°cos 50°)的结果为(　　) A．sin 50°－cos 50° B．sin 50°＋cos 50° C．cos 50°－sin 50° D．－sin 50°－cos 50° [解析]　A　[eq \r(1－2sin 50°cos 50°)＝ eq \r(cos2 50°＋sin2 50°－2sin 50° cos 50°)＝eq \r(cos 50°－sin 50°2)＝|cos 50°－sin 50°|＝sin 50°－cos 50°.] (2)化简：eq \f(cosθ＋4πcos2θ＋πsin2θ＋3π,sinθ－4πsin5π＋θcos2－θ－π). [解]　eq \f(cosθ＋4πcos2θ＋πsin2θ＋3π,sinθ－4πsin5π＋θcos2－θ－π)＝eq \f(cos θcos2θsin2θ,sin θ－sin θcos2θ)＝－cos θ. 解：cos2(－x)－tan(2π＋x)sin(π＋x)cos x＝cos2x－tan x(－sin x)cos x＝cos2x＋sin2 x＝1. [变式训练] 6．(1)化简eq \r(1－cos2 440°)的结果是_______． 解析：eq \r(1－cos2 440°)＝eq \r(sin2 440°)＝|sin 440°|＝|sin(80°＋360°)|＝|sin 80°|＝sin 80°. 答案：sin 80° (2)化简cos2(－x)－tan(2π＋x)sin(π＋x)cos x. 　三角函数恒等式的证明 1．三角函数恒等式的证明的基本原则：从繁到简，从一边到另一边或从两边往中间． 2．证明三角恒等式的常用方法技巧 (1)分析左、右两边式子结构的异同； (2)分析式中不同角之间的联系； (3)注意常数“1”的代换． 　证明：eq \f(sin 20°－\r(1－sin2 20°),\r(1－2sin 20°cos 20°))＝－1. [证明]　左边＝eq \f(sin 20°－\r(1－sin220°),\r(1－2sin 20° cos 20°))＝ eq \f(sin 20°－\r(cos2 20°),\r(cos220°＋sin220°－2sin 20° cos 20°))＝eq \f(sin 20°－\r(cos220°),\r(cos 20°－sin 20°2))＝eq \f(sin 20°－|cos 20°|,|cos 20°－sin 20°|)＝eq \f(sin 20°－cos 20°,cos 20°－sin 20°)＝－1＝右边． $$ 4.8　已知三角函数值求角 ★[学习目标] 1．掌握利用计算器求角度的方法； 2．了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法； 3．会利用诱导公式求出指定范围内的角． [问题]　如何求出正弦函数y＝sin x与直线y＝在区间[0,2π)上的交点坐标？如图所示． 提示：要求交点坐标，实际上就是求sin x＝，x∈[0,2π)的解，就是已知三角函数值求指定范围内的角． [知识点一]　已知三角函数值求角 1．已知任意一个角，可以求出它的三角函数值(角必须属于这个函数的定义域)；反之，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角． 2．对特殊的三角函数值，容易求出指定范围内的角，对一般的三角函数值，则需要借助科学计算器与诱导公式求出指定范围内的角． 3．已知三角函数值，利用计算器求角可以按如下流程操作： 设定角度制或弧度制计算模式→按键→输入三角函数值→按键，显示角． 如果要求指定范围内的角，一般需要使用诱导公式． [知识点二]　利用计算器求角 1．已知三角函数值，利用计算器求角的步骤 步骤 sin x＝a cos x＝a tan x＝a 1 利用计算器求出－90°≤x≤90°范围内的角 利用计算器求出0°≤x≤180°(或0≤x≤π)范围内的角 利用计算器求出－90°＜x＜90°范围内的角 2 根据sin(180°－α)＝sin α，求出90°≤x≤270°范围内的角 根据cos(－α)＝cos α，求出－180°≤x≤0°(或－π≤x≤0)范围内的角 根据tan(180°＋α)＝tan α，求出90°＜x＜270°范围内的角 3 根据sin(α＋k·360°)＝sin α，求出指定范围内的角 根据cos(α＋k·360°)＝cos α，求出指定范围内的角 根据tan(α＋k·360°)＝tan α，求出指定范围内的角 2.科学型计算器的标准设置中，已知正弦函数值，只能显示范围内的角；已知余弦函数值，只能显示[0，π]范围内的角；已知正切函数值，只能显示范围内的角． 3．一些常用特殊角的三角函数值 A(rad) 0 π α(°) 0° 30° 45° 60° 90° 180° sin α 0 1 0 cos α 1 0 －1 tan α 0 1 不存在 0 1．已知sin x＝，且0≤x≤，则x＝(　　) A.　　　　　　 　　B. C.或 D．－ 解析：A　[∵sin ＝， 且0≤x≤，∴x＝.] 2．已知tan x＝－1，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：C　[∵tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1, 且0≤x≤180°，∴x＝135°.] 3．已知cos x＝，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图像知，在[0,2π)内满足cos x＝的角x有两个，分别在第一、四象限． ∵cos ＝， ∴在上角x1＝， 又∵cos＝cos ＝. 可得在上的角x2＝. ∴在[0,2π)内满足cos x＝的角为，. 　已知正弦函数值求角 　已知sin x＝0.2，用科学型计算器求0°～180°范围内的角x(保留到小数点后第2位)． [解]　由函数y＝sin x的图像可知在0°～180°范围内，满足sin x＝0.2的角有两个，分别在第一、二象限， 利用科学型计算器，可得0°～90°范围内的角x1≈11.54°，再利用诱导公式sin(180°－11.54°) ＝sin 11.54°＝0.2. 得到x2≈180°－11.54°＝168.46°. 所以在0°～180°范围内，满足sin x＝0.2的角为11.54°和168.46°. 已知正弦函数值求角，科学计算器只能显示范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时利用科学计算器时，要注意弧度制模式及角度制模式的转化． [变式训练] 1．已知sin x＝0.4，利用计算器求0°～360°范围内的角x(精确到0.01°)． 解：按步骤计算，得到所求的锐角为x1＝23.58°. 利用sin(180°－α)＝sin α，得到所求的钝角为x2＝180°－23.58°＝156.42°. 故0°～360°范围内，正弦值为0.4的角为23.58°和156.42°. 　已知余弦函数值求角 　已知cos x＝0.4，求－180°～180°范围内的角x(精确到0.01°)． [解]　因为cos x＝0.4＞0，所以角x在第一或四象限， 利用计算器介绍的步骤计算，得到在0°～180°范围中的角为x＝66.42°. 利用cos(－α)＝cos α，得到－180°～0°范围内的角为x＝－66.42°. 因此在－180°～180°范围内余弦值为0.4的角为±66.42°. 已知余弦函数值求角，科学计算器只能显示[0，π]范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，同时要注意在给定范围内角有一解或两解． [变式训练] 2．已知cos x＝－，且x∈[0,2π)，求角x的值． 解：由函数y＝cos x的图像知，在[0,2π)内满足cos x＝－的角x有两个，分别在第二、三象限．∵cos x＝－， ∴在上角x1＝， 又∵cos＝cos ＝－，可得在上的角x2＝. ∴在[0,2π)内满足cos x＝－的角为，. 　已知正切函数值求角 　已知tan x＝0.4，求0°～360°范围内的角x(精确到0.01°)． [解]　因为tan x＝0.4＞0，所以角x在第一或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的锐角为x1＝21.80°. 利用周期性得到相应第三象限的角为x2＝180°＋21.80°＝201.80°. 所以在0°～360°范围内，正切值为0.4的角为21.80°和201.80°. 已知正切函数值求角，科学计算器只能显示范围内的角，所以求其他象限内的角，要善于利用三角函数的诱导公式求解，或者利用正切函数周期为π求解． [变式训练] 3．已知tan x＝－0.2，求0°～360°范围内的角x的值(精确到0.01°)． 解：因为tan x＝－0.2＜0，所以角x在第二或四象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第四象限角为x＝－11.31°. 利用周期性得到相应第二象限的角为x2＝180°－11.31°＝168.69°. 所以在0°～360°范围内，正切值为－0.2的角为－11.31°和168.69°. 1．已知cos x＝－，且0≤x≤π，则x＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．－ 解析：C　[∵cos x＝－，且0≤x≤π，∴x＝.] 2．已知tan x＝，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．135° D．120° 解析：B　[∵tan x＝， 且0°≤x≤180°， ∴x＝60°.] 3．已知sin x＝，且0°≤x≤90°，则x＝_________________. 解析：∵sin x＝，且0°≤x≤90°，∴x＝30°. 答案：30° 4．已知sin x＝－0.215 6，且－180°≤x≤180°，求 x . 解：因为sin x＝－0.215 6，所以x是第三或第四象限的角． 先求符合sin x＝0.215 6的锐角x，使用科学计算器解得x≈12°27′. 因为sin(－12°27′)＝－sin 12°27′＝－0.215 6， 且sin(12°27′－180°)＝－sin 12°27′＝－0.215 6. 所以当－180°≤x≤180°时，所求的角分别是 －12°27′和－167°33′. [基础过关] 1．已知tan A＝－，且A是三角形的一个内角，则A＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：D　[∵tan A＝－， 且0°＜A＜180°，∴A＝120°.] 2．已知sin x＝，且0≤x≤π，则x＝(　　) A. B.或 C.或 D．－ 解析：C　[∵sin ＝， sin ＝，且0≤x≤π，∴x＝或.] 3．已知tan x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．150° D．120° 解析：C　[∵tan 150°＝tan(180°－30°)＝－tan 30°＝－，且0°≤x≤180°，∴x＝150°.] 4．已知cos x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．135° C．120° D．160° 解析：B　[∵cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－，且0°≤x≤180°，∴x＝135°.] 5．已知tan x＝－，且0°≤x≤360°，则x＝(　　) A．60° B．60°或300° C．120°或300° D．300° 解析：C　[∵tan 120°＝－，tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－，且0°≤x≤360°，∴x＝120°或300°.] 6．已知sin x＝，且0°≤x≤360°，则x＝__________________. 解析：∵sin60°＝，sin 120°＝，且0°≤x≤360°，∴x＝60°或120°. 答案：60°或120° 7．已知tan x＝，x∈[0,2π]，那么x＝________. 解析：∵tan ＝，tan ＝，又∵x∈[0,2π]，∴x＝或. 答案：或 8．已知tan x＝－1，且0≤x≤2π，则x＝________________. 解析：∵tan ＝－1，tan＝tan＝－tan ＝－1，∴x＝或. 答案：或 9．已知sin x＝－，x∈，那么x＝________. 解析：∵sin＝－，又∵x∈，∴x＝. 答案： 10．已知cos A＝－，且角A是三角形的一个内角，则A＝_______________. 解析：∵cos ＝cos＝－， 且角A是三角形的一个内角，即0＜A＜π，∴A＝. 答案： [能力提升] 11．已知cos x＝－0.766 0，且0°≤x≤180°，求x.(精确到度) 解：由余弦函数在闭区间0°≤x≤180°上是减函数和cos x＝－0.766 0，可知符合条件的角只有一个，这个角为钝角．按科学计算器步骤计算，得到0°≤x≤180°内的角为x≈140°. 12．已知sin x＝－0.332 2，且－90°≤x≤90°，求x.(精确到秒) 解：∵sin x＝－0.332 2＜0，∴角x在第三、四象限，且－90°≤x≤90°， ∴角x在第四象限，按科学计算器步骤计算，得到－90°≤x≤90°内的角为x≈－19°24′8.5″. 13．已知tan x＝，求0°～360°范围内的角x的值．(精确到秒) 解：因为tan x＝＞0，所以角x在第一或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第一象限角为x≈18°26′5.82″. 利用周期性得到相应第三象限的角为x2＝180°＋18°26′5.82″＝198°26′5.82″. 所以在0°～360°范围内，正切值为的角为18°26′5.82″和198°26′5.82″. 14．已知cos x＝－0.398 8，且－180°≤x≤180°，求x的值．(精确到秒) 解：∵cos x＝－0.398 8＜0，∴角x在第二或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第二象限角为x≈113°33′56.43″. 由诱导公式cos(－α)＝cos α，得到所求的第三象限角为x≈－113°33′56.43″. 所以在－180°≤x≤180°范围内，cos x＝－0.398 8的角为113°33′56.43″和－113°33′56.43″. 　三角函数的基本概念 1．任意角的三角函数的概念是本章的基础，主要包括两个方面： (1)任意角和弧度制．理解任意角的概念及弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，能够判断三角函数值在各象限的符号． 2．任意角的三角函数的定义是本章的核心概念，它是利用角的终边与单位圆的交点P(x，y)的坐标定义，也可以用终边上非原点的任一点坐标来定义． 　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为(　　) A．45°＋k·180°，k∈Z B．45°＋k·360°，k∈Z C．135°＋k·180°，k∈Z D．225°＋k·360°，k∈Z (2)已知弧长为6的圆弧所对的圆心角的弧度数为2，则该圆的半径是(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 (3)若cos α＝－且α的终边过点P(x,2)，则α是第________象限的角． [解析]　(1)终边与直线y＝x重合的角可表示为45°＋k·180°，k∈Z. (2)由l＝|α|r，得r＝＝＝3. (3)cos α＝－＜0，∴α在第二、三象限，又P(x,2)在第一、二象限，∴α在第二象限． [答案]　(1)A　(2)C　(3)二 [变式训练] 1．(1)已知角α终边上一点P的坐标是(sin 2，－cos 2)，则sin α＝(　　) A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 (2)若sin θ·cos θ＞0，则角θ属于(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 (3)设点P(1，－)在角α终边上，则cos α＝______. 解析：(1)r＝|OP|＝＝1，sin α＝＝－cos 2. (2)sin θ·cos θ＞0，∴sin θ与cos θ同号，θ在第一、三象限． (3)r＝|OP|＝＝2，cos α＝＝. 答案：(1)D　(2)B　(3) 　三角函数的定义域、值域问题 在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养． 　当x为何值时，函数y＝3－2cos取得最大值和最小值？分别是多少？ [解]　当cos＝－1时，ymax＝3＋2＝5，此时x－＝π＋2kπ， 即x＝＋2kπ时，ymax＝5，k∈Z， 当cos＝1时，ymin＝3－2＝1，此时x－＝2kπ，即x＝＋2kπ时，ymin＝1，k∈Z. [变式训练] 2．(1)y＝sin x，x∈的值域是(　　) A．[－1,1] B. C. D. (2)函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2的最大值为________． 解析：(1)由正弦函数的图像可知，当x＝时， ymin＝，当x＝时，ymax＝1. ∴y＝sin x的值域是. (2)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝(cos2x－sin2x)＋(2cos2x－1)＋ ＝cos 2x＋cos 2x＋＝cos 2x＋， ∴f(x)的最大值为＋＝4. 答案：(1)B　(2)4 　三角函数的图像 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质． 　在(0,2π)内，使sin x≥cos x成立的x的取值范围是________． [解析]　在同一个坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x在(0,2π)内的函数图像，如图所示，则使sin x≥cos x成立的x的取值范围是. [答案]　 [变式训练] 3．方程3sin x＝x的实根个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[方程3sin x＝x的实根个数等于函数y＝3sin x与函数y＝x的交点个数，做出函数y＝3sin x与函数y＝x的图像，如图所示：由图可知，函数y＝3sin x与函数y＝x的图像的交点个数为3个．] 　三角函数的性质 三角函数在考查时，往往和后面的三角函数知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质． 　(1)函数y＝sin xcos x是__________函数(填奇或偶)． (2)比较大小：cos______cos. [解析]　(1)y＝sin xcos x的定义域为R， f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴y＝sin xcos x是奇函数． (2)∵cos＝cos＝cos， 又y＝cos x在[0，π]上是减函数，＞， ∴cos＜cos. [答案]　(1)奇　(2)＜ [变式训练] 4．(1)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是__________． [解析]　(1)因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． [答案]　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①cos 与cos；②sin 250°与sin 260°. [解]　①cos＝cos，∵0＜＜＜π，且y＝cos x在(0，π)内为减函数，∴cos＞cos，即cos＞cos. ②∵90°＜250°＜260°＜270°，且y＝sin x在(90°，270°)内为减函数，∴sin 250°＞sin 260°. 　三角函数式的求值 三角函数求值，主要有三种类型，即： 1．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要诱导公式．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得到． 2．“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． 3．“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的三角函数值，求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 　(1)sin x＋cos x＝，则sin xcos x＝______. [解析]　∵sin x＋cos x＝，(sin x＋cos x)2＝2，∴cos2 x＋sin2 x＋2sin xcos x＝2，又cos2 x＋sin2 x＝1，∴2sin xcos x＝1，∴sin xcos x＝. [答案]　 (2)已知sin(π＋α)＝－，且α为第二象限角，求cos(π－α)的值． (3)已知tan α＝3，求的值． [解]　(2)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－＝－，∴cos(π－α)＝－cos α＝. (3)∵tan α＝3，∴＝＋－＝tan2 α＋tan α－5＝32＋3－5＝7. [变式训练] 5．(1)已知sin α＝，且α∈(0，π)，则tan α＝(　　) A. B. C．± D．± (2)sin xcos x＝，且＜x＜，则cos x－sin x＝________. 解析：(1)∵sin α＝，α∈(0，π)，cos α＝ ±＝±，tan α＝＝±. (2)∵sin xcos x＝，∴(cos x－sin x)2＝cos2x＋sin2x－2sin xcos x＝1－2×＝，又＜x＜，∴cos x－sin x＜0，∴cos x－sin x＝－. 答案：(1)C　(2)－ 　三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则 (1)切化弦；(2)异名化同名；(3)异角化同角； (4)常数的处理(特别注意“1”的代换)． 2．三角函数式化简常用公式 诱导公式，同角三角函数基本关系式． 　(1)化简的结果为(　　) A．sin 50°－cos 50° B．sin 50°＋cos 50° C．cos 50°－sin 50° D．－sin 50°－cos 50° [解析]　A　[＝ ＝＝|cos 50°－sin 50°|＝sin 50°－cos 50°.] (2)化简：. [解]　＝＝－cos θ. [变式训练] 6．(1)化简的结果是_______． 解析：＝＝|sin 440°|＝|sin(80°＋360°)|＝|sin 80°|＝sin 80°. 答案：sin 80° (2)化简cos2(－x)－tan(2π＋x)sin(π＋x)cos x. 解：cos2(－x)－tan(2π＋x)sin(π＋x)cos x＝cos2x－tan x(－sin x)cos x＝cos2x＋sin2 x＝1. 　三角函数恒等式的证明 1．三角函数恒等式的证明的基本原则：从繁到简，从一边到另一边或从两边往中间． 2．证明三角恒等式的常用方法技巧 (1)分析左、右两边式子结构的异同； (2)分析式中不同角之间的联系； (3)注意常数“1”的代换． 　证明：＝－1. [证明]　左边＝＝ ＝＝＝＝－1＝右边． [变式训练] 7．证明：＝1. 证明：左边＝＝＝＝1＝右边，即原等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ [基础过关] 1．已知tan A＝－，且A是三角形的一个内角，则A＝(　　) A．45°　　B．60°　　　C．135°　　　D．120° 解析：D　[∵tan A＝－， 且0°＜A＜180°，∴A＝120°.] 2．已知sin x＝，且0≤x≤π，则x＝(　　) A. B.或 C.或 D．－ 解析：C　[∵sin ＝， sin ＝，且0≤x≤π，∴x＝或.] 3．已知tan x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．60° C．150° D．120° 解析：C　[∵tan 150°＝tan(180°－30°)＝－tan 30°＝－，且0°≤x≤180°，∴x＝150°.] 4．已知cos x＝－，且0°≤x≤180°，则x＝(　　) A．45° B．135° C．120° D．160° 解析：B　[∵cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－，且0°≤x≤180°，∴x＝135°.] 5．已知tan x＝－，且0°≤x≤360°，则x＝(　　) A．60° B．60°或300° C．120°或300° D．300° 解析：C　[∵tan 120°＝－，tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－，且0°≤x≤360°，∴x＝120°或300°.] 6．已知sin x＝，且0°≤x≤360°，则x＝__________________. 解析：∵sin60°＝，sin 120°＝，且0°≤x≤360°，∴x＝60°或120°. 答案：60°或120° 7．已知tan x＝，x∈[0,2π]，那么x＝________. 解析：∵tan ＝，tan ＝，又∵x∈[0,2π]，∴x＝或. 答案：或 8．已知tan x＝－1，且0≤x≤2π，则x＝________________. 解析：∵tan ＝－1，tan＝tan＝－tan ＝－1，∴x＝或. 答案：或 9．已知sin x＝－，x∈，那么x＝________. 解析：∵sin＝－，又∵x∈，∴x＝. 答案： 10．已知cos A＝－，且角A是三角形的一个内角，则A＝_______________. 解析：∵cos ＝cos＝－， 且角A是三角形的一个内角，即0＜A＜π，∴A＝. 答案： [能力提升] 11．已知cos x＝－0.766 0，且0°≤x≤180°，求x.(精确到度) 解：由余弦函数在闭区间0°≤x≤180°上是减函数和cos x＝－0.766 0，可知符合条件的角只有一个，这个角为钝角．按科学计算器步骤计算，得到0°≤x≤180°内的角为x≈140°. 12．已知sin x＝－0.332 2，且－90°≤x≤90°，求x.(精确到秒) 解：∵sin x＝－0.332 2＜0，∴角x在第三、四象限，且－90°≤x≤90°， ∴角x在第四象限，按科学计算器步骤计算，得到－90°≤x≤90°内的角为x≈－19°24′8.5″. 13．已知tan x＝，求0°～360°范围内的角x的值．(精确到秒) 解：因为tan x＝＞0，所以角x在第一或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第一象限角为x≈18°26′5.82″. 利用周期性得到相应第三象限的角为x2＝180°＋18°26′5.82″＝198°26′5.82″. 所以在0°～360°范围内，正切值为的角为18°26′5.82″和198°26′5.82″. 14．已知cos x＝－0.398 8，且－180°≤x≤180°，求x的值．(精确到秒) 解：∵cos x＝－0.398 8＜0，∴角x在第二或三象限． 利用计算器按步骤计算，得到所求的第二象限角为x≈113°33′56.43″. 由诱导公式cos(－α)＝cos α，得到所求的第三象限角为x≈－113°33′56.43″. 所以在－180°≤x≤180°范围内，cos x＝－0.398 8的角为113°33′56.43″和－113°33′56.43″. 学科网（北京）股份有限公司 $$